江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研數(shù)學(xué)試題

蘇州市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué) 2注意事項(xiàng)考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）.本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等比數(shù)列，且，，則（）A.16 B.4 C.8 D.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.3.設(shè)數(shù)列各項(xiàng)非零，且平面的法向量為，直線的方向向量為，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.記橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為.過且傾斜角為30°的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，且在軸上的投影為.連接，的方向向量，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.5.如圖，正方形的邊長為14cm，，，，依次將，，，分為的兩部分，得到正方形，依照相同的規(guī)律，得到正方形、、…、.一只螞蟻從出發(fā)，沿著路徑爬行，設(shè)其爬行的長度為，為正整數(shù)，且與恒滿足不等式，則的最小值是（）A.19 B.20 C.21 D.226.已知數(shù)列，且，記其前項(xiàng)和為.若是公差為的等差數(shù)列，則（）A.200 B.20200 C.10500 D.101007.如圖1所示是素描中的由圓錐和圓柱簡單組合體，抽象成如圖2的圖像.已知圓柱的軸線在平面內(nèi)且平行于軸，圓錐與圓柱的高相同.為圓錐底面圓的直徑，，且.若到圓所在平面距離為2.若，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.8.在寫生課上，離身高的絮語同學(xué)不遠(yuǎn)的地面上水平放置著一個(gè)半徑為的正圓，其圓心與絮語同學(xué)所站位置距離2m.若絮語同學(xué)的視平面，，且，，則絮語同學(xué)視平面上的圖形的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.9.已知直線，，設(shè)兩直線分別過定點(diǎn)、，直線和直線的交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn) B.C.面積的最大值為5 D.若，，則恒滿足10.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左焦點(diǎn)為，且與拋物線有公共的焦點(diǎn).若是上的一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.和不存在交點(diǎn) B.若，則直線與相切C.若是等腰三角形，的坐標(biāo)是D.若，則的橫坐標(biāo)為11.數(shù)列是百余年前的發(fā)現(xiàn)，在近代數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用。數(shù)列是把中的分母不大于的分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)從小到大排成一列，該數(shù)列稱為階數(shù)列，記為，并記其所有項(xiàng)之和為.數(shù)列還有一個(gè)神奇的性質(zhì).若設(shè)的相鄰兩項(xiàng)分別為，，則.下列關(guān)于數(shù)列說法正確的是（）A. B.數(shù)列中共有18項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，的最中間一項(xiàng)一定是 D.若中的相鄰三項(xiàng)分比為，，，則12.如圖1，《瀑布》是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點(diǎn)為該正方體的中心，，，軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著軸，軸，軸旋轉(zhuǎn)45°，得到的三個(gè)正方體，結(jié)合在一起便可得到一個(gè)高度對稱的“三立方體合體”（圖7）.在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結(jié)論正確的是（）A.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則B.設(shè)，則C.點(diǎn)到平面的距離為D.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角最小為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，若兩個(gè)空，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分，共計(jì)20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，，且，則______.14.若數(shù)列和數(shù)列同時(shí)滿足，，，，則______，______.15.若，且在上，在圓上，則的最小值為______.16.已知圓的直徑上有兩點(diǎn)，，且有，為圓的一條弦，則的范圍是______.四、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎(chǔ)部分，關(guān)于基礎(chǔ)的音樂理論的著作浩如煙海，是學(xué)習(xí)音樂的必修課程.我們平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎(chǔ)部分，解決有關(guān)聲音的性質(zhì)、律制、記譜法、音樂的基本要素、音與音之間結(jié)合的基本規(guī)律等等，而記譜（和讀譜）的方法是其中很重要的一個(gè)部分。音樂是人類共同的語言.音樂中，我們常用音階描述音符音調(diào)高低的關(guān)系，即1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（sol），6（la），7（ti），i（do）.如圖，在鋼琴上，一個(gè)八度內(nèi)白鍵、黑鍵共有13個(gè)（不計(jì)入圖中最右側(cè)的半個(gè)黑鍵），相鄰琴鍵對應(yīng)的音符頻率比相等且1的頻率與的頻率比為2.（1）若兩音與的音程關(guān)系為一度，求兩音的頻率比；（2）利用“五度相生”可以構(gòu)造出被稱為“宮商角徵羽”的五聲音階.設(shè)1的頻率為，在1的基礎(chǔ)上不斷升高五度，生成新的音符，并為方便辨認(rèn)新的音符，將生成的頻率大于的音降一個(gè)八度，請你利用五度相生的理論推斷出“宮商角徵羽”可能對應(yīng)的音符（無需一一對應(yīng)）.參考數(shù)據(jù)：1234567891011121.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.89218.（本小題滿分12分）已知拋物線，記其焦點(diǎn)為.設(shè)直線到在直線左側(cè)的拋物線上的一點(diǎn)的距離為，且.（1）求的方程；（2）如圖，過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若分別交于兩點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，證明：為定值.19.（本小題滿分12分）如圖，三棱錐中，，且平面平面，，設(shè)為平面的重心，為平面的重心.（1）棱可能垂直于平面嗎？若可能，求二面角的正弦值，若不可能，說明理由；（2）求與夾角余弦值的最大值.20.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩定點(diǎn)，與一動(dòng)點(diǎn).已知直線與直線的斜率之積為3.（1）求的軌跡；（2）記的左、右焦點(diǎn)分別為、.過定點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).若、兩點(diǎn)滿足，求的方程.21.（本小題滿分12分）（1）如圖，一個(gè)半徑為的圓在一條直線上無滑動(dòng)地滾動(dòng)，與軸的切點(diǎn)為，設(shè)，圓上一點(diǎn).①設(shè)平行于軸的單位向量為，平行于軸的單位向量為，用表示；②在①的條件下，用題中所給字母表示，并以的形式寫出運(yùn)動(dòng)軌跡的方程.（2）如圖，設(shè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)從開始，以的角速度繞著軸作圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)沿著平行于軸向上作線速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng).用題中所給字母表示的運(yùn)動(dòng)軌跡的方程.22.（本小題滿分12分）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一橢圓，記兩焦點(diǎn)分別為，，且.（1）求的方程；（2）設(shè)上有三點(diǎn)、、，直線、分別過，，連接.①若，求的面積；②證明：當(dāng)面積最大時(shí)，必定經(jīng)過的某個(gè)頂點(diǎn).蘇州市2022~2023學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)參考答案 2一、單項(xiàng)選擇題：題號12345678答案CBDCCDCD1.【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，，，，因此，取，所以，，因此，，因此.2.【答案】B【解析】直線方程可化為，可知傾斜角滿足，因此.3.【答案】D【解析】若已知數(shù)列為等比數(shù)列，則可知，因此，所以可知，但無法得知是否在平面內(nèi)，因此充分性不成立；若已知平面平行于直線，則可知，根據(jù)定義，及即可得到，即，但不能認(rèn)為為等比數(shù)列，即必要性不一定成立.4.【答案】C【解析】畫出圖形：由于，可知，即.由此得到，，，所以離心率.5.【答案】C【解析】由題意可知，，.所以，因此由數(shù)學(xué)歸納的思想可知，.設(shè)數(shù)列，則，因此，選C.6.【答案】D【解析】容易得到的首項(xiàng)，因此，，將替換為，則有，兩式相減得.由于，，所以，可得，因此，所以.7.【答案】C【解析】設(shè)，.，，所以，，所以所以，，這里取，所以，，因此由余弦定理，.8.【答案】D【解析】畫出題中所述圖：可知圓在視平面上得到的是橢圓，且長軸長為圓的直徑，即通過相似關(guān)系，由及，代入數(shù)據(jù)：，，所以，所以，，所以.二、多項(xiàng)選擇題：題號9101112答案ABBDCDACD9.【答案】AB【解析】對于A，可化作，可發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)，同理，過定點(diǎn)，A正確；對于B，可知恒成立，因此是以為直徑的圓上的點(diǎn)，根據(jù)定義，，B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，可知在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，而由題設(shè)，化簡可得，與的方程不符合，故D錯(cuò)誤.10.【答案】BD【解析】對于A，聯(lián)立：，發(fā)現(xiàn)有解，A錯(cuò)誤；對于B，，因此的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得僅一解，B正確；對于C，不在拋物線上，故C錯(cuò)誤；對于D，，，因此，解得D正確.11.【答案】CD【解析】對于A，每個(gè)數(shù)列內(nèi)同分母的所有項(xiàng)相加不等于1，也不成立，A錯(cuò)誤；對于B，列舉可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19項(xiàng)，B錯(cuò)誤；對于C，由于數(shù)列按照大小排列，因此中間一項(xiàng)一定為，C正確；對于D，由于，，整理即可得到，D正確.12.【答案】ACD【解析】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉(zhuǎn)后，，，，，，，，，，，，對于A，旋轉(zhuǎn)過程中，正方體的頂點(diǎn)到中心的距離不變，始終為，因此選項(xiàng)A中，，2，3，正確；，設(shè)，則，，，則存在實(shí)數(shù)，使得，，，，∴，B錯(cuò)誤；，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設(shè)，，，，令，則∴，又，，所以，即，，所以，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確.三、填空題：13. 14.； 15.1 16.13.【答案】【解析】，.14.【答案】；【解析】令前式-后式，化簡可得①，令前式+后式，化簡可得②由①，且，故是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.可得由②，且，故是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.可得所以.15.【答案】1【解析】如圖，等號在、、共線時(shí)取到.16.【答案】【解析】方法一：以方向?yàn)檩S，為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，.由于圓，故設(shè)，，則，化簡可得：，因此.令，則，等號可取.，令，則，等號可取.綜上，.方法二：由于，且.所以，所以.四、解答題：17.本題考查數(shù)列的定義及其數(shù)學(xué)文化，考察了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力，本題滿分10分.解：（1）由題，若兩個(gè)音距離一個(gè)八度，則頻率比為2，所以若兩個(gè)音的音程為一度，半個(gè)音（即相鄰琴鍵）之間的頻率比為，……2分所以兩個(gè)成一度之間的音符頻率比為.……4分（2）通過五聲調(diào)式，可以先構(gòu)成一組“五聲調(diào)式”：，，，，，，…………6分將其中大于的降一個(gè)八度，即除以：，，，，，，…………9分根據(jù)參考數(shù)據(jù)可以估計(jì)得到，五個(gè)音分別為1，5，2，6，3.因此“宮商角徵羽”對應(yīng)的音高為1，2，3，5，6.……10分18.本題考察拋物線的定義，同時(shí)考察學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，本題滿分12分.解：（1）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線的方程為，則可知，解得，……2分所以的方程為.……3分（2）作于，于.由拋物線定義，，，……5分又因?yàn)?，，所以，，…?分由此，，，所以，，……10分所以，為定值.……12分19.本題考察空間向量的運(yùn)算與應(yīng)用，考察學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的能力，本題滿分12分.解：（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，由于，因此，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?以為原點(diǎn)作空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則.……2分所以，，.設(shè)平面的法向量為，則有，所以取，則.因?yàn)槔饪赡艽怪庇谄矫妫?，則，無解，所以不可能……4分（2）由重心的性質(zhì)，，同理，所以……7分，所以……8分設(shè)，令，則，……10分.令，，，則，因?yàn)?，，所以，即，又因?yàn)椋栽谏鲜菧p函數(shù)……11分因此，因此，求與夾角余弦值的最大值為.……12分20.本題考察雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，同時(shí)考察學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的能力，本題滿分12分.解：（1）設(shè)，由題意，化簡可得所以的軌跡為.……3分（不去點(diǎn)扣1分）（2）由向量積的幾何意義，作，垂足為.所以，因此，.……5分設(shè)，聯(lián)立：，可得二次方程判別式有，解得……6分由方程可得，，……7分由弦長公式……9分解得，，，……11分因此的方程為或.……12分（注：每少一個(gè)解扣1分）21.本題考察向量的綜合運(yùn)用，同時(shí)考察學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等能力，本題滿分12分.解：（1）①.……2分②由題，，可以分解為.……4分所以，……5分因此的運(yùn)動(dòng)軌跡可以表示為.……6分（2）設(shè)該坐標(biāo)系的基底為.……7分設(shè)在平面內(nèi)的投影為，所以由物理學(xué)知識，，.……8分由題設(shè)，可以將記作……10分因此類似（1）②中可以表示的