2022年湖北省黃石市大冶市中考數(shù)學(xué)模擬試卷九

2022年湖北省黃石市大冶市中考數(shù)學(xué)模擬試卷（9）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.（3分）-l1的倒數(shù)是（）

A.工B.衛(wèi)C.D.

3522

2.（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.（3分）如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表

示該位置上小正方體的個數(shù)，則該幾何體的左視圖是（）

2

12

1

A.出B.口

Rn--□

C.I——I——D.——————

4.（3分）下列各運算中，計算正確的是（）

A.3=a5b3B.（-3a2）3=27a5

C.x64-x2=x4D.（〃+b）3=滔+〃3

5.（3分）若代數(shù)式工有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

（x-3）2

A.x2-1B.x2-l且xW3C.x>-\D.x>-l且xW3

6.（3分）不等式組］2X+7>1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

,5-3x>2

-J—i―11―i---->—>—~I~I~I~?1A

A.-3-2-10123B.-103X

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4的坐標(biāo)為（-1,“），以原點。為中心，將

點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°得到點則點A'坐標(biāo)為（）

B.（1,一退）C.（2,0）D.（遍，-1）

8.（3分）如圖，以正方形ABCZ）的一邊向形外作等邊△A8E,8。與EC交于點F,且。F

=EF,則NAFZ）等于（）

C.45°D.40°

9.（3分）如圖，點A,B,C,。四個點均在。。上，AO//DC,NAO￡>=20°,則NB為

）

C.80°D.70°

10.（3分）關(guān)于x的一元二次方程—+法+工二。有一個根是I,若二次函數(shù)），=公2+法+_1的

22

圖象的頂點在第一象限，設(shè)f=2a+b,貝h的取值范圍是（）

A.-Kr<0B.t<-1C.-1</<AD.t<-A

22

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.（3分）計算：（1-A/3）°+1-V2I-2COS45°+（A）-1=.

4

12.（3分）分解因式：x2/-4A2—.

13.（3分）有一種原子的直徑約為0.00000053米，用科學(xué)記數(shù)法表示為

14.（3分）一組數(shù)據(jù)1,2,a,4,5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的方差為.

15.（3分）已知圓錐的底面圓的半徑為2cm,側(cè)面積為8n?7z2,則該圓錐的母線長為

16.（3分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，NACB=90°,點E、F分別是邊BC與AC

的中點，P是AB上一點，以PF為一直角邊作等腰直角△PFQ,且NFPQ=90°,若AB

三、解答題（本大題共9小題，共72.0分）

2

17.（7分）先化簡，再求值：（工2-2二2）j箏飛,其中X滿足7-2r-2=0.

2

xx+1X+2X+1

18.（7分）如圖，某數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識測量廣告牌的高度（即圖中線段MN

的長），在地面A處測得點M的仰角為60°、點N的仰角為45°,在2處測得點M的

仰角為30°,AB=5m,于點P,且8、A、P三點在同一直線上.求廣告牌MN

19.（7分）在等邊三角形A8C中，點尸在aABC內(nèi)，點。在△ABC外，且/ABP=NACQ,

BP=CQ.

（1）求證：ZSABP名△CAQ；

（2）請判斷△AP。是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論.

A

R

20.(7分)如圖，在直角坐標(biāo)系xO)，中，一次函數(shù)y=%x+b的圖象與反比例函數(shù)y="的

x

圖象交于A(1.4),B(3,nt)兩點.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)求△AOB的面積.

21.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程W+(4w+l)x+2m-1=0；

(1)求證：不論加任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程的兩根為xi、m且滿足」一」_=」，求〃?的值.

X1x22

22.(8分)學(xué)校就“你最想?yún)⒓幽姆N課外活動項目”問題進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查，調(diào)查分為

四個類別：A、舞蹈；從繪畫與書法；C、球類；。、其它項目.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果整理并

繪制成如下不完整的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖：

請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：

(1)這次統(tǒng)計共抽查了名學(xué)生；請補全條形統(tǒng)計圖.

(2)表示學(xué)生中想?yún)⒓?類活動的扇形的圓心角為

(3)若甲，乙兩名同學(xué)各自從A,B,C三個項目中隨機(jī)選一個參加，請用列表或畫樹

狀圖的方法，求他們選中同一項目的概率.

23.(8分)綿陽某工廠從美國進(jìn)口4、B兩種產(chǎn)品銷售，已知每臺A種產(chǎn)品進(jìn)價為3000元,

售價為4800元；受中美貿(mào)易大戰(zhàn)的影響，每臺8種產(chǎn)品的進(jìn)價上漲500元，進(jìn)口相同數(shù)

量的B種產(chǎn)品，在中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之前只需要60萬元，中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后需要

80萬元.

(1)中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后，每臺B種產(chǎn)品的進(jìn)價為多少？

(2)中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后，如果A種產(chǎn)品的進(jìn)價和售價不變，每臺B種產(chǎn)品在進(jìn)價的

基礎(chǔ)上提高40%作為售價.公司籌集到不多于35萬元且不少于33萬元的資金用于進(jìn)口

4、8兩種產(chǎn)品共150臺，請你設(shè)計--種進(jìn)貨方案使銷售后的總利潤最大.

24.(10分)如圖1所示，在中，直徑AB與非直徑弦CD垂直，垂足為點E,連接月C,

點尸為CO上一點，且以=FC.

(1)求證：CA2=CF-CD；

(2)如圖1所示，點G是曲延長線上一點，連接DG,且GD=GF.試判斷GD是否

與O。相切，并說明理由；

(3)如圖2所示，在(2)的條件下，設(shè)。。半徑為4,點E是。A的中點，點〃是。。

上的動點，求線段GH的最大值.

25.(10分)如圖，已知，拋物線y=x2+fev+c與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點，過

點A的直線y=kx+k與該拋物線交于點C,點P是該拋物線上不與A,B重合的動點，過

點P作尸軸于。，交直線AC于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若％=-1,當(dāng)尸E=2O￡時，求點P坐標(biāo)；

(3)當(dāng)(2)中直線PD為x=l時，是否存在實數(shù)匕使△4OE與△PCE相似？若存在

請求出k的值；若不存在，請說明你的理由.

2020年湖北省黃石市大冶市車橋中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（8）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.（3分）_12的倒數(shù)是（）

3

A./B.C.-1旦D.

3522

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

【解答］解：的倒數(shù)是一旦.

35

故選：B.

【點評】本題主要考查了倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

2.（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖

形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出.

【解答】解：A、?.?此圖形旋轉(zhuǎn)180。后不能與原圖形重合，，此圖形不是中心對稱圖形,

是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

8、???此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，.?.此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖

形，故此選項錯誤；

C、：此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，，此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形,

故此選項正確；

。、：此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，,此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形,

故此選項錯誤.

故選：C

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決

問題的關(guān)鍵.

3.（3分）如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表

示該位置上小正方體的個數(shù)，則該幾何體的左視圖是（）

2

12

1

【分析】根據(jù)俯視圖中每列正方形的個數(shù)，再畫出從正面，左面看得到的圖形即可.

【解答】解：從該幾何體的俯視圖中得到：該幾何體有兩層，兩列組成，

該幾何體的左視圖是：

故選：D.

【點評】此題主要考查了畫幾何體的三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖分別是

從物體的正面，左面看得到的圖形；看到的正方體的個數(shù)為該方向最多的正方體的個數(shù).

4.(3分)下列各運算中，計算正確的是()

A.(/匕)三//B.(-3/)3=27M

C.x6-；-%2—x4D.(.a+b)3=/+/

【分析】利用同底數(shù)累的除法的法則，積的乘方的法則，多項式乘以多項式的法則對各

項進(jìn)行運算即可.

【解答】解：A、(。2匕)3=//,故A不符合題意；

B、(-3/)3=_27a6,故B不符合題意；

C、尤6+)=彳4,故C符合題意；

D、(a+h)3=/+3//)+3"2+/,故。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查同底數(shù)幕的除法，積的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的

掌握.

Nx+1

5.（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)X的取值范圍是（)

(x-3)2

A.x2-1B.x2-l且xW3C.x>-1D.x>-l且xW3

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，x+l>0且x-3#0,

解得：x》-1且xW3.

故選：B.

【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0;二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

6.（3分）不等式組]2X+7>1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

,5-3x>2

【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等

式組的解集表示在數(shù)軸上即可.

【解答】解：儼+7>1①，

[5-3x>2②

解不等式①，得尤>-3,

解不等式②，得xWl,

所以原不等式組的解集為：-3<xWl,

在數(shù)軸上表示為：

-4???->

^3-2-10I23

故選：D.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，每個不等式的

解集在數(shù)軸上表示出來（>,，向右畫；V,W向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，

如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式

組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時“》“，“W”要用實心圓點表示；

要用空心圓點表示.

7.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-1,“），以原點。為中心，將

點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°得到點4,則點A，坐標(biāo)為（)

A.(0,-2)B.(1,-5/3)C.(2,0)D.(?,-1)

【分析】作軸于點B,由AB=?、08=1可得/AOy=30°,從而知將點A順

時針旋轉(zhuǎn)150°得到點A'后如圖所示，OA'=OA=J^2+12=2,繼而可得答案.

【解答】解：作ABLx軸于點8,

:.AB=M、08=1,

...NAOB=60°,

N4Oy=30°

將點A逆時針旋轉(zhuǎn)150。得到點A'后，如圖所示,

°爪=OA=J(炳)2+/=2,

???A’(0,-2),

故選：A.

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，根據(jù)點A的坐標(biāo)求出N4OB=60°,再

根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

8.(3分)如圖，以正方形ABC。的一邊向形外作等邊△ABE,BD與EC交于點、F,且。尸

R

A.60°B.50°C.45°D.40°

【分析】分別求證△OCF之△OAF絲△EA尸可得NOFC=NAFD=NAFE,根據(jù)/OFC+

ZAFD+ZAFE=180°,可得N￡>FC=NAFQ=/AFE=60°

【解答】解：連接AC,

：BQ為AC的垂直平分線，

：.FA=FC,

'：四邊形ABCD是正方形，

：.AD=DC=AB,

在△QCF和△D4F中，

，DA=DC

,DF=DF>

CF=AF

：./\DCF^/\DAF,

；三角形ABE是等邊三角形，

??AE—AH—A.D

在廠和△E4F中，

，AD=AE

<AF=AF>

DF=EF

：./\DAF^^\EAF,

：.△OCP也△D4F絲/\EAF,

得：ZDFC=ZAFD=ZAFE,

又NDFC+NAFD+NAFE=180°

ZDFC=ZAFD=NAFE=60°

【點評】本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，考查了正三角形各邊長相等的性質(zhì)，本

題中求證△。。/名△。4/^△叢尸是解題的關(guān)鍵.

9.（3分）如圖，點A,B,C,。四個點均在。。上，AO//DC,NAO￡>=20°,則NB為

()

A.40°B.60°C.80°D.70°

【分析】連接OC,如圖，利用平行線的性質(zhì)得/0。。=/40。=20°,再根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出NAOC=160°,然后根據(jù)圓周角定理可計算出N8的

度數(shù).

【解答】解:連接。C,如圖，

a：AO//DC,

：.ZODC=ZAOD=20°,

9：0D=0C,

：.ZOCD=ZODC=20°,

：.ZDOC=\SO°-20°-20°=140°,

ZAOC=20°+140°=160°,

.\ZB=-1ZAOC=800.

2

故選：c.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的

圓周角所對的弦是直徑.

10.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+反+工=0有一個根是1,若二次函數(shù)丫=以2+法+工的

22

圖象的頂點在第一象限，設(shè)f=2a+b,則f的取值范圍是（）

A.-Kr<0B.t<-1C.-1</<AD.t<-A

22

【分析】二次函數(shù)的圖象過點（1,0）,則“+〃+』=0,ffi]t=2a+b=a-A,由二次函數(shù)

22

的圖象的頂點在第一象限，可得a<0,/\=h2-Aac=a1+—+a-2a=（a-A）2>0,0

42

〈一旦<1,即可求解.

2a

【解答】解：?.?關(guān)于X的一元二次方程"2+尿+工=0有一個根是1,

2

.?.二次函數(shù)丫=以2+版+工的圖象過點（1,0）,

2

**?a+Z?+2~=0,

2

：.b=-a-k,

2

而t=2a+h,

.,.t—2a-a-——a-A,

22

?.?二次函數(shù)尸及+法+工的圖象的頂點在第一象限，

2

.".a<0,/X—b1-Aac—c^+—+a-2a—（a-—）2^0,0<--L_<1,

422a

.\b>0,

：.-a--l>0,

2

'.a<-A,

2

:*a-—<-1

2

：.t<-

故選：B.

【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用拋物線頂點坐標(biāo)所在象限確

定系數(shù)的取值范圍，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，方程根的代數(shù)意義的熟練運用.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.（3分）計算：（1-e）°+|-圾|-2cos45°+（工）r=5.

4

【分析】首先計算零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算

乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可.

【解答】解：（1-V3）°+|-V2I-2cos45°+（1）

=1+V2-2XX1+4

2

=l+&-血+4

=5.

故答案為：5.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行

實數(shù)運算時;和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最

后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外，

有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

12.(3分)分解因式：/丫2-4/=j(y+2)(y-2).

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=/(y2-4)=，(y+2)(y-2),

故答案為：x2(y+2)(y-2)

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關(guān)鍵.

13.(3分)有一種原子的直徑約為0.00000053米，用科學(xué)記數(shù)法表示為5.3*10-7.

【分析】較小的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的一般形式為：aXl(T",在本題中“應(yīng)為5.3,10的指

數(shù)為-7.

【解答】解：0.00000053=5.3X107.

故答案為：5.3X10”.

【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，--般形式為aXl(T",其中l(wèi)W|a|<10,

〃為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

14.(3分)一組數(shù)據(jù)1,2,a,4,5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的方差為2.

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義先求出a的值，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計算即可.

【解答】解：???數(shù)據(jù)1,2,a,4,5的平均數(shù)是3,

二(l+2+a+4+5)+5=3,

，a=3,

這組數(shù)據(jù)的方差為a(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2.

5

故答案為：2.

【點評】本題考查了方差，一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，xi,%2,-xn的平均數(shù)為7,則方差S2

=—［（XI-X）2+（無2-X）?+…+（我-X）2］，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越

n

大，波動性越大，反之也成立.

15.（3分）已知圓錐的底面圓的半徑為2ca,側(cè)面積為8W,則該圓錐的母線長為

cm.

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計算即可.

【解答】解：設(shè)該院的半徑為/cm

設(shè)由題意得，8n=n/X2,

解得，1—4,

故答案為：4.

【點評】本題考查的是圓錐的計算，掌握圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周

長是扇形的弧長是解題的關(guān)犍.

16.（3分）如圖，ZVIBC是等腰直角三角形，/ACB=90°,點E、尸分別是邊BC與AC

的中點，P是AB上一點，以PF為一直角邊作等腰直角△PFQ,且/尸尸。=90°,若AB

=8,尸8=1,則0E=3點.

【分析】取AB中點D,連接F。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，由△A8C為等腰直角三

角形得到4c=8。=4M，NA=45°,再根據(jù)點力、E、尸分別是△4BC三邊的中點，

則A￡）=B￡>=4,DP=3,EF為△ABC的中位線，于是可判斷△ADF為等腰直角三角形，

得到NFD4=45°,利用三角形中位線的性質(zhì)得E/〃AB,EF=1AB=4,根據(jù)平行線性

2

質(zhì)得NE/P+NOFP=45°；又由于4尸。尸為等腰直角三角形，則NE尸P+NE尸。=45°,

所以NDFP=NEFQ,然后根據(jù)有兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的三角形相似，得出△

FDPs叢FEQ,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得.

【解答】解：連接F。，。是48的中點，如圖，

?:△ABC為等腰直角三角形，AB=S,PB=\,

:.AC=BC=4?乙4=45。，

?.?點。、E、F分別是△ABC三邊的中點，AB=S,PB=1,

：.AD=BD=4,DP=DB-PB=4-1=3,EF、。F為△ABC的中位線,

：.EF//AB,EF=^AB=4,DF=、BC=2M，/EFP=NFPD,

22

：.ZFDA=45°,更=返

EF2

AZDFP+ZDPF=45°,

???△尸。尸為等腰直角三角形，

：.ZPFE+ZEFQ=45°,FP=FQ,

：.ZDFP=ZEFQ,

?：/XPFQ是等腰直角三角形，

?PF-V2

??..,?,

FQ2

?DF=PF(

"EF而'

:./XFDPSAFEQ,

膽=空=&,

DPFD

:.QE=42-DP=342

故答案為：3M.

【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相

似，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì).

三、解答題(本大題共9小題，共72.0分)

2

17.(7分)先化簡，再求值：(2Z1-3二2)+-2工二4一,其中X滿足f-2x-2=0.

2

xx+1X+2X+1

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由7-2x-2=0得/=2r+2

=2(x+1),整體代入計算可得.

【解答】解：原式x：-2x|.x(2x-l)

x(x+1)x(x+1)(x+l)2

2x-l?(x+1)2

(x+1)x(2x-l)

_x+1

2

X

；/-2x-2=0,

.?.7=2x+2=2(x+1),

則原式=x+1=1

2(x+1)~2

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算

法則.

18.（7分）如圖，某數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識測量廣告牌的高度（即圖中線段MN

的長），在地面A處測得點M的仰角為60°、點N的仰角為45°,在5處測得點M的

仰角為30°,AB=5m,MN_LA8于點P,且8、A、P三點在同一直線上.求廣告牌MN

的長（結(jié)果保留根號）.

【分析】在Rt^APN中根據(jù)已知條件得到PA=PN,設(shè)PA=PN=x米，解Rt/XAPM得

到MP=AP?tan/M4P=心，然后在中，根據(jù)?列方程即可得

到結(jié)論.

【解答】解：：在RtAAPN中，NNAP=45°,

:.PA=PN,

在中，tan/MAP=處,

AP

設(shè)%=PN=x米，

；NM4P=60°,

MP=AP'tanZMAP—y/^,

在RtZXBPM中，tanNMBP=1L

BP

,AB=5,

-V3_V3x

??,,-----，

3x+5

.?.X="，符合題意，

2

:.MN=MP一樵=五一x=5MT(米)，

_2

答：廣告牌MN的長為尻回七米.

2

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)已知直角三角形得

出AP的長是解題關(guān)鍵.

19.(7分)在等邊三角形A8C中，點尸在△A8C內(nèi)，點Q在△ABC外，且NABP=NACQ,

BP=CQ.

(1)求證：△ABP嶺△CAQ；

(2)請判斷△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得A8=AC,再根據(jù)SAS證明AAB尸之△ACQ；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=4Q,再證N出。=60°,從而得出△APQ是等邊

三角形.

【解答】證明：(1);△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

在△ABP和△4CQ中，

<AB=AC

<NABP=NACQ，

,BP=CQ

.,.△ABP絲△ACQ(SAS),

(2)V/\ABP^^ACQ,

：.ZBAP=ZCAQ,AP=AQ,

VZBAP+ZCAP=60°,

：.ZPAQ^ZCAQ+ZCAP=60Q,

...△APQ是等邊三角形.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了

正三角形的判定，本題中求證AABP烏△AC。是解題的關(guān)鍵.

20.（7分）如圖，在直角坐標(biāo)系xO），中，一次函數(shù)y=%x+b的圖象與反比例函數(shù)y="的

X

圖象交于A（1,4）,B（3,m）兩點.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式.

【分析】（1）先把A點坐標(biāo)代入y="得&2=4,則反比例函數(shù)解析式為曠=匹，再利用

XX

反比例解析式確定8點坐標(biāo)（3,2）,然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式；

3

（2）先確定一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的兩交點坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式和

S^OCD-SzxOCA-進(jìn)彳亍計算.

【解答】解：（1）把A（1,4）代入y=±2得上=1X4=4,

X

所以反比例函數(shù)解析式為y=匹，

X

把8（3,m）代入丁=芻得3根=4,解得匡,

x3

所以8點坐標(biāo)為（3,1）,

3

k[+b=4

把A(1,4),B(3,A)代入y=%ix+b得

4，

33kj

4

kl=

3

解得《

,16

r

所以一次函數(shù)解析式為），=-當(dāng)+西:

33

（2）如圖，把x=0代入y=-&+」旦得且

33'3

則C點坐標(biāo)為（0,西）；

3

把）'=0代入y=~Ar+-1^-W-Ar+-l^-=0,解得x=4,

'3333

則D點坐標(biāo)為（0,4）,

所以SMOB=S^OCD-S^OCA-S^OBD

=Jx4x￥-[x￥xr]x4X卷

232323

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的

交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式.也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能

力.

21.（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程％2+（4m+l）x+2m-1=0；

（1）求證：不論，”任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程的兩根為XI、也且滿足」-」-=二，求機(jī)的值.

X1x22

【分析】（1）要證明方程總有兩個不相等的實數(shù)根，那么只要證明A>0即可.

（2）因為」?！筥=二上2=-工，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得心匚L=-工，解方

X[x2xjx222m-12

程可得〃?的值.

【解答】解：（1）證明：△=（4血+1）2-4（2機(jī)-1）

=16成2+8，"+1-8"?+4=16川+5>0,

...不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

...由根與系數(shù)的關(guān)系可得*!=-工①，

2m-12

解得m=-―,

2

經(jīng)檢驗得出m=-上是方程①的根，

2

即m的值為-A.

2

【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根的情況與

判別式△的符號的關(guān)系，把求未知系數(shù)的范圍的問題轉(zhuǎn)化為解不等式的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想.

22.(8分)學(xué)校就“你最想?yún)⒓幽姆N課外活動項目”問題進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查，調(diào)查分為

四個類別：A、舞蹈；B、繪畫與書法；C、球類；。、其它項目.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果整理并

繪制成如下不完整的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖：

請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：

(1)這次統(tǒng)計共抽查了50名學(xué)生;請補全條形統(tǒng)計圖.

(2)表示學(xué)生中想?yún)⒓?類活動的扇形的圓心角為72°.

(3)若甲，乙兩名同學(xué)各自從A,B,C三個項目中隨機(jī)選一個參加，請用列表或畫樹

狀圖的方法，求他們選中同一項目的概率.

【分析】(1)用A類別的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去

其它類別的人數(shù)求出。類的人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖；

(2)用360。乘以基本中8類人數(shù)所占的百分比即可；

(3)畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出選中同一項目的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概

率公式求解.

【解答】解：(1)這次統(tǒng)計共抽查的學(xué)生數(shù)是：5?10%=50(名)，

D類人數(shù)為50-5-10-15=20(名)，

補全條形統(tǒng)計圖為:

(2)表示學(xué)生中想?yún)⒓?類活動的扇形的圓心角為：360°X改=72°；

50

故答案為：72；

(3)畫樹狀圖為：

開始

ABc

A小BC保ABC小ABC

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中他們選中同一項目的結(jié)果數(shù)為3,

所以選中同一項目的概率=3=1.

93

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求

出〃，再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目加，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件

B的概率.也考查了統(tǒng)計圖.

23.(8分)綿陽某工廠從美國進(jìn)口4、B兩種產(chǎn)品銷售，已知每臺A種產(chǎn)品進(jìn)價為3000元,

售價為4800元；受中美貿(mào)易大戰(zhàn)的影響，每臺8種產(chǎn)品的進(jìn)價上漲500元，進(jìn)口相同數(shù)

量的B種產(chǎn)品，在中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之前只需要60萬元，中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后需要

80萬元.

(1)中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后，每臺B種產(chǎn)品的進(jìn)價為多少？

(2)中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后，如果A種產(chǎn)品的進(jìn)價和售價不變，每臺B種產(chǎn)品在進(jìn)價的

基礎(chǔ)上提高40%作為售價.公司籌集到不多于35萬元且不少于33萬元的資金用于進(jìn)口

A、8兩種產(chǎn)品共150臺，請你設(shè)計一種進(jìn)貨方案使銷售后的總利潤最大.

【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題；

(2)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式和一次函數(shù)，從而可以解答本題.

【解答】解：(1)設(shè)中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后，每臺B種產(chǎn)品的進(jìn)價為x元，

800000=600000

xx-500

解得，x=2000,

經(jīng)檢驗，x=2000是原分式方程的解，

答：中美貿(mào)易大戰(zhàn)開始之后，每臺8種產(chǎn)品的進(jìn)價為2000元；

(2)設(shè)購進(jìn)A種產(chǎn)品m臺，銷售后總利潤為w元，

330000W3000〃?+2000(150-/n)W35OOOO,

解得，3OW〃?W5O,

w=(4800-3000)W+2000X40%(150-w)=1000〃?+120000,

當(dāng)m=50時，w取得最大值，此時卬=170000,150-機(jī)=100,

答：購進(jìn)A種產(chǎn)品50臺，B種產(chǎn)品100臺，銷售后的總利潤最大.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找

出所求問題需要的條件，利用函數(shù)和方程的思想解答.

24.(10分)如圖1所示，在中，直徑AB與非直徑弦CC垂直，垂足為點E,連接AC,

點尸為CQ上一點，且以=FC.

(1)求證：CA2^CF-CD；

(2)如圖1所示，點G是磯延長線上一點，連接OG,且GO=GF.試判斷GD是否

與。。相切，并說明理由；

(3)如圖2所示，在(2)的條件下，設(shè)。。半徑為4,點E是OA的中點，點”是。0

上的動點，求線段G”的最大值.

【分析】(1)連接AD,利用垂徑定理得出俞=窟，得出NDCA=NCD4,由FC=FA

得出NOC4=/E1C,得出NfAC=NCDA,又/C=NC,得出△尸C4s2\4a),進(jìn)而得

1

出CA=CF-CDi

(2)連接?！?gt;,由以=FC得出NC=NE4尸，進(jìn)而NOFG=NC+NEAF=2NC,由圓

周角定理得出/￡>0A=2/C,得出NOFG=N￡>O4,結(jié)合GO=GF,進(jìn)而證明NGOF=

ZDOA,由A8_LC￡>得出NO￡)E+/￡>O4=90°,進(jìn)而得出NOOE+NG￡>F=90°,即可

證明GO與。。相切；

(3)在。。上取點“‘，連接。"‘、GH'、OD、AD,連接G。并延長交。。于點”,

由三角形三邊關(guān)系得出，當(dāng)G、0、H'三點共線時，GH'的值最大，即圖中GH的值,

由等邊三角形的判定與性質(zhì)求出OG的長度及/0￡>G=90°,根據(jù)勾股定理求出0G的

長度，0//+0G的長就是GH的最大值.

【解答】解：(1)證明：如圖1,連接AQ,

；直徑AB與非直徑弦CD垂直,

.*.AD=AC.

：.ZDCA=ZCDA,

"：FC=FA,

J.ZDCA^ZFAC,

：.ZFAC=ZCDAf

???NC=NC,

AAFCA^AACD,

???FC二CA一，

CACD

:.CA2=CF^D；

(2)GO與O。相切，理由如下：如圖2,連接OQ,

圖2

VM=FC,

：.ZC=ZEAFf

：.ZDFG=ZC+ZEAF=2ZC,

,：ZD0A=2ZCf

:?/DFG=/DOA,

?:GD=GF,

:?/GDF=/GFD,

：.ZGDF=ZDOA,

VAB1CD,

：.ZODE+ZDOA=90°,

：.ZODE+ZGDF=90°,

???。。為半徑，

???G。與。。相切；

(3)如圖3,在O。上取點”‘，連接?！?、GW、OD、AD,連接G。并延長交。。

于點H,

圖3

'：OH=OH'=4為定值，0G為定值,

：.H'GWOH'+OG,

.?.當(dāng)G、。、H'三點共線時，GH'的值最大，即圖中GH的值,

為0A的中點，ABLCD,

：.OD=AD,AE=OE=」OA=2X4=2,

22

：.OD=DA=OA^4,

.?.△0D4為等邊三角形