2022年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷（解析版）

2022年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號

下的方框里）

1.（3分）2022的倒數(shù)是（）

A.2022B.-2022c]D.1

20222022

2.（3分）下列式子正確的是（)

A..325B.(a2)3a5C.Cab)2=加D.a3+a2=a5

3.（3分）一個小組10名同學的出生月份（單位：月）如下表所示:

編號12345678910

月份26861047887

這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（）

A.10B.8C.7D.6

4.（3分）下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

5.（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水電站一一云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)

清潔電能突破5000億千瓦時，相當于替代標準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億

噸.5000億用科學記數(shù)法表示為（）

A.50XIO10B.5X1O11C.0.5X1O12D.5X1012

6.(3分)一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知N1=80°,則/2=()

I11A---1---1---

C.-1012D.-I012

8.（3分）將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當于（）

A.向左平移2個單位B.向左平移1個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

9.（3分）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”.當時有位父親為了準

確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細到粗（右細左粗），滿

七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（）

10.（3分）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的

黑色部分和白色部分關(guān)于等邊aABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△

A2C的面積之比是（）

A.近兀-B.近C.立兀.D.近

181899

11.（3分）在平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知點P（加，1）、Q（1,m）（膽>0且

相片1）,過點P、。的直線與兩坐標軸相交于A、8兩點，連接OP、0Q,則下列結(jié)論中

成立的有（）

①點尸、。在反比例函數(shù)>=典的圖象上；

x

②△AOB為等腰直角三角形；

③0°<ZPOQ<90°；

④NPOQ的值隨m的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

12.（3分）若1O'=N,則稱x是以10為底N的對數(shù).記作：x=lgN.

例如：1。2=]00,則2=/glOO；10°=1,則0=/gl.

對數(shù)運算滿足：當M>0,N>0時，lgM+lgN=lg（MN）.

例如：依3+這5=如5,則（這5）2+/g5X/g2+/g2的值為（）

A.5B.2C.1D.0

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.（3分）函數(shù)的自變量x的取值范圍是_______.

Vx-l

14.（3分）已知實數(shù)XI,X2是方程/+X-1=0的兩根，則XU2=.

15.（3分）黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1?15號臺球共15個，攪拌均勻

后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是.

16.（3分）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）

比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AO的黃金分割點，即OE~0.618AD延

長，尸與A￡>相交于點G,則反>?DE.（精確到0.001）

17.（3分）菱形ABCD的邊長為2,N48C=45°,點P、。分別是BC、BD上的動點,

CQ+PQ的最小值為.

18.（3分）如圖，已知等腰△ABC的頂角/BAC的大小為仇點。為邊BC上的動點（與

8、C不重合），將繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。角度時點。落在￡>'處，連接.給

出下列結(jié)論：

①△4C￡>絲△AB?！?；

②△ACBS/XA。。'；

③當8￡>=C￡>時，的面積取得最小值.

其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對應的應號）.

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算：（2022-n）°+（A）'+|1-V3I-2sin60°.

2

彳3

20.（6分）先化簡，再求值：（x+2+_紅）——，其中x是滿足條件xW2的合適的

x-2X2-4X+4

非負整數(shù).

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）按國務院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責任督學進行“五項管理”

督導的通知》要求，各中小學校積極行動，取得了良好的成績.某中學隨機抽取了部分

學生對他們一周的課外閱讀時間（A：10〃以上，B：8〃?10力，C：6〃?8%，D：6〃以下）

進行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進行分類，統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的

信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的學生共名;

（2）a=.b=；

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點尸處，在無外力作用下，彈簧的長度

為3cm,即尸。=3。"開始訓練時，將彈簧的端點。調(diào)在點B處，此時彈簧長尸3=4cm,

彈力大小是100M經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓練強度，

于是將彈簧端點。調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00N,已知NPBC=120°,求8c的

長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即尸=HAx,A是勁度系數(shù)，是彈簧的形變量，在無

外力作用下，彈簧的長度為xo,在外力作用下，彈簧的長度為x,則Ax=x-xo.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）“綠水青山就是金山銀山”，科學研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能

夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均

滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,若一片國槐樹葉與一片銀杏樹

葉一年的平均滯塵總量為62〃?g.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共

有約50000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

24.（9分）如圖，以BC為邊分別作菱形BCOE和菱形BCFG（點C,D,廣共線），動點A

在以BC為直徑且處于菱形8CFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點O.設(shè)NG=&

（1）求證：無論。為何值，EF與相互平分：并請直接寫出使EFL8c成立的0值.

（2）當。=90°時，試給出tan乙4BC的值，使得E尸垂直平分AC,請說明理由.

六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

25.（10分）如圖，已知8。是Rt^ABC的角平分線，點O是斜邊AB上的動點，以點。

為圓心，OB長為半徑的經(jīng)過點。，與OA相交于點E.

（1）判定AC與。。的位置關(guān)系，為什么？

(2)若BC=3,CD=3,

2

①求sinNOBC、sinNABC的值；

②試用sinN井BC和cosNQBC表示sinNABC,猜測sin2a與sina、cosa的關(guān)系，并用a

=30°給予驗證.

26.(10分)如圖，拋物線曠=12-2x-6與x軸相交于點A、點B,與y軸相交于點C.

(1)請直接寫出點A,B,C的坐標；

(2)點P(m,〃)(0<w<6)在拋物線上，當相取何值時，△PBC的面積最大？并求

出△尸5c面積的最大值.

(3)點尸是拋物線上的動點，作尸E〃AC交x軸于點E,是否存在點幾使得以4、C、

E、尸為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點尸的坐標；若不

存在，請說明理由.

yfyf

備用圖

2022年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號

下的方框里）

1.（3分）2022的倒數(shù)是（）

A.2022B.-2022C.―D.--」

20222022

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可得出答案.

【解答】解：2022的倒數(shù)是」

2022

故選：C.

【點評】本題考查了倒數(shù)，掌握乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）下列式子正確的是（）

A.a3'a1—a5B.（?2）i—a5C.（ab）2—ab2D.ai+a2=a5

【分析】根據(jù)基的乘方與積的乘方，合并同類項，同底數(shù)基的乘法法則，進行計算逐一

判斷即可解答.

【解答】解：A、。3加2=/,故A符合題意：

B、（/）3=/，故B不符合題意；

C、（ah'）2—a2b2,故C不符合題意；

D、/與/不能合并，故。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了累的乘方與積的乘方，合并同類項，同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握它

們的運算法則是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）一個小組10名同學的出生月份（單位：月）如下表所示：

編號12345678910

月份26861047887

這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（）

A.10B.8C.7D.6

【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義求出眾數(shù)即可.

【解答】解：這10名同學的出生月份出現(xiàn)次數(shù)最多的是8,共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是8,

故選:B.

【點評】本題考查眾數(shù)，理解眾數(shù)的意義是解決問題的前提，掌握眾數(shù)的意義是解決問

題的關(guān)鍵.

4.（3分）下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：人不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180

度后與自身重合.

5.（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水電站一一云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)

清潔電能突破5000億千瓦時，相當于替代標準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億

噸.5000億用科學記數(shù)法表示為（）

A.50XIO10B.5X1011C.0.5X1012D.5X1012

【分析】根據(jù)5000億=500000000000,再用科學記數(shù)法表示即可.

【解答】解：；5（X）0億=500000000000=5X10”，

故選：B.

【點評】本題主要考查科學記數(shù)法的知識，熟練掌握科學記數(shù)法的形式是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知Nl=80°,則N2=（）

C.100°D.120°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得結(jié)論.

【解答】解：如圖,

由平行線的性質(zhì)得：Z3=Zl=80°,

VZ2+Z3=180°,

.?./2=180°-80°=100°.

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和平角的定義，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解本

題的關(guān)鍵.

7.（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

"^>??1>

C.-10

【分析】先求出不等式組的解集，再確定符合條件的選項.

【解答】解

2x〉-2②

解①,得xW2,

解②，得x>-1.

所以原不等式組的解集為：-I<xW2.

故符合條件的選項是C.

故選：C.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，掌握不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵.

8.（3分）將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當于（）

A.向左平移2個單位B.向左平移1個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

【分析】根據(jù)直線丫=履+力平移%值不變，只有匕發(fā)生改變解答即可.

【解答】解：將直線y=2x+l向上平移2個單位后得到新直線解析式為：y=2x+\+2,即

y=2x+3.

由于y=2x+3=2（x+l）+1.

所以將直線y=2x+l向左平移1個單位即可得到直線y=2x+3.

所以將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當于將直線y=2r+l向左平移1個單位.

故選：B.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減、左加右減”的原

則是解答此題的關(guān)鍵.

9.（3分）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”.當時有位父親為了準

確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細到粗（右細左粗），滿

七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（）

A.1335天B.516天C.435天D.54天

【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，所以從右到左的數(shù)分別為5,

3X7,3X7X7和1X7X7X7,然后把它們相加即可.

【解答】解：孩子自出生后的天數(shù)是：

1X7X7X7+3X7X7+3X7+5

=343+147+21+5

=516,

答：那么孩子已經(jīng)出生了516天.

故選：B.

【點評】本題考查了用數(shù)字表示事件.本題是以古代“結(jié)繩計數(shù)”為背景，按滿七進一

計算自孩子出生后的天數(shù)，運用了類比的方法，根據(jù)圖中的數(shù)學列式計算；本題題型新

穎，一方面讓學生了解了古代的數(shù)學知識，另一方面也考查了學生的思維能力.

10.（3分）如圖，等邊AABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的

黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△

A8C的面積之比是（）

A.M兀B.C.我冗D.-

181899

【分析】根據(jù)題意和圖形，可知圓中的黑色部分的面積是圓的面積的一半，然后即可計

算出圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比.

【解答】解：作AQLBC于點作BELAC于點E,AQ和BE交于點O,如圖所示，

設(shè)AB=2a,則

；408=90°，

."￡>=在12_812=?4,

AOD

，圓中的黑色部分的面積與aABC的面積之比是:

2

故選：A.

A

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、圓的面積、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

11.（3分）在平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知點P（加，1）、Q（1,機）（膽>0且

加"1）,過點P、。的直線與兩坐標軸相交于4、8兩點，連接OP、OQ,則下列結(jié)論中

成立的有（）

①點P、。在反比例函數(shù)尸&的圖象上；

x

②△AOB為等腰直角三角形；

③0°<ZPOQ<90°；

@ZPOQ的值隨m的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可判斷①；根據(jù)P、Q點的坐標特征即

可判斷②③；求得直線OP、OQ的解析式，根據(jù)正比例函數(shù)的系數(shù)即可判斷.

【解答】解：?.,點P（/?,1）、Q（1,m）（m>0且機#1）,則1=1

...點尸、Q在反比例函數(shù)）=處的圖象上，故①正確；

X

設(shè)直線P0為產(chǎn)丘+6,貝4111k+b=l,解得（k=-l,

lk+b=mlb=m+l

直線PQ為y=-x+m+1,

當y=0時，x=m+\\當x=0時，y=m+\,

AA（機+1,0）,B（0,/H+1）,

：?OA=OB,

VZAOB=90°,

???△A03為等腰直角三角形，故②正確；

丁點P（m，1）、Q（1,m）（加>0且加W1）,

???P、。都在第一象限，

.,.0°V/POQ<90°,故③正確;

；直線OP為產(chǎn)工x,直線。。為y^mx,

m

.?.當0<相<1時，ZPOQ的值隨m的增大而減小，當〃?>1時，ZPOQ的值隨m的增

大而增大，

故④錯誤；

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,

等腰直角三角形的判定等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

12.(3分)若1>=N,則稱x是以10為底N的對數(shù).記作：x=lgN.

例如：1()2=100,則2=/gl00；10°=1,則0=/gl.

對數(shù)運算滿足：當M>0,N>0時，lgM+lgN=lg(MN).

例如：Ig3+lg5=lg\5,則(/g5)，/g5X/g2+/g2的值為()

A.5B.2C.1D.0

【分析】首先根據(jù)定義運算提取公因式，然后利用定義運算計算即可求解.

【解答】解：原式=四5(/g5+/g2)+信2

=/g5X/g(5X2)+lg2

=/g5/gl0+/g2

=/g5+/g2

=/gio

=1.

故選：c.

【點評】本題主要考查了定義運算，實際上是對數(shù)的運算，讀懂題目意思是關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)

13.（3分）函數(shù)y=1.的自變量x的取值范圍是x>l

【分析】根據(jù)五（”》0）,以及分母不能為0,可得x-l>0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

%-1>0,

解得：x>],

故答案為：X>1.

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握?（〃20）,以及分母不能為0

是解題的關(guān)鍵.

14.（3分）已知實數(shù)XI,X2是方程/+X-1=0的兩根，則XU2=-1.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答.

【解答】解：?方程7+、-1=0中的a=6=l,C=-1,

a

故答案是：-1.

【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程。/+版+c=0（〃W0）的根與系

數(shù)的關(guān)系為：X\+X2=~,Xl*X2=—.

aa

15.（3分）黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1?15號臺球共15個，攪拌均勻

后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是二.

-15一

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到一共有多少種可能性，其中摸出編號是偶

數(shù)的有多少種可能性，從而可以求得摸出的球編號為偶數(shù)的概率.

【解答】解：由題意可得，

從袋中隨機摸出1個球，一共有15種可能性，其中摸出編號是偶數(shù)的有7種可能性，

故摸出的球編號為偶數(shù)的概率是工，

15

故答案為：J-.

15

【點評】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應的概率.

16.（3分）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）

比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是4。的黃金分割點，即CEM）.618A。.延

長”廣與AD相交于點G,則EG20.618DE.（精確到0.001）

【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得理=嶇Q0.618,再根據(jù)題意可得EG=AE,即可解

ADDE

答.

【解答】解：?.?點E是AD的黃金分割點，且DE、0.6184。，

DE

A=AE^0618I

ADDE

由題意得：

EG=AE,

毀亡0.618,

DE

：.EG^0.6lWE,

故答案為：0.618.

【點評】本題考查了黃金分割，近似數(shù)和有效數(shù)字，熟練掌握黃金分割的定義是解題的

關(guān)鍵.

17.（3分）菱形A8C。的邊長為2,NABC=45°,點尸、。分別是SC、上的動點，

【分析】連接A。，作于H,利用SAS證明△ABQg^CBQ,得4Q=C。，當點

4、Q、P共線，AQ+P。的最小值為AH的長，再求出AH的長即可.

【解答】解：連接AQ,作A//LBC于H,

：.AB^CB,NABQ=NCBQ,

,:BQ=BQ,

：./XABQ^/\CBQ（.SAS'）,

：.AQ=CQ,

當點A、。、尸共線，AQ+P。的最小值為AH的長，

'：AB^2,ZABC=45°,

:.AH=5

.?.CQ+PQ的最小值為我，

故答案為：&.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識,

將CQ+PQ的最小值轉(zhuǎn)化為AH的長是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）如圖，已知等腰△A8C的頂角NBAC的大小為。，點。為邊BC上的動點（與

B、C不重合），將AZ）繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。角度時點。落在處，連接B。'.給

出下列結(jié)論：

①△AC。絲△AB?！?/p>

②△ACBS/XA。。'；

③當8Q=CQ時，的面積取得最小值.

其中正確的結(jié)論有①②③（填結(jié)論對應的應號）.

C

【分析】由題意可知AC=AB,AO=A。’，NC4O=/8A。'，即可根據(jù)SAS判斷△4C。

絲△43。'；根據(jù)N8AC=N。'AD=Q,￡=3_,即可判斷；由

ADAD'

s

△4CBSAW。'，得出.△赳匕二（空/，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，當BD

2AJiCBAC

=CD,則A￡?J_BC時，AD最小，△A。?！拿娣e取得最小值.

【解答】解：由題意可知AC=4B,AD=AD',NCAD=NBAD',

.?.△4CD四△AB。'，故①正確；

\"AC=AB,AD=AD',ZBAC=ZD'AD=Q,

?AC_AB

ADAD'

：./\ACB^^ADD',故②正確；

V/\ACB^AADD',

.SAADDZ（AD）2,

2AAZBAC

:當4OJLBC時，AO最小，△400'的面積取得最小值.

而A8=AC,

：.BD=CD,

...當8￡>=C。時，AADD'的面積取得最小值，故③正確；

故答案為：①②③.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定

和性質(zhì)，垂線段最短以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算：（2022-TT）°+（A）'+|1-V3I-2sin600.

2

【分析】先計算零次基、負整數(shù)指數(shù)幕，再化簡絕對值、代入特殊角的三角函數(shù)值算乘

法，最后算加減.

【解答】解：原式=1+2+愿-1-2X返

2

=1+2+V3--yj~3

=2.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，掌握零指數(shù)幕、負整數(shù)指數(shù)幕、絕對值的意義及特殊

角的函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵.

20.（6分）先化簡，再求值：（x+2+工）+T——，其中x是滿足條件工忘2的合適的

x-2x2-4x+4

非負整數(shù).

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可.

23

【解答】解：原式=（^_zl+_L.）+—w一

2

x-2x-2（x-2）

_x2.（x-2）2

x-2>3

——x-2",

x

W0且X-2W0,

且xW2,

Ax=L

則原式=上2=-1.

1

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算

法則.

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）按國務院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責任督學進行“五項管理”

督導的通知》要求，各中小學校積極行動，取得了良好的成績.某中學隨機抽取了部分

學生對他們一周的課外閱讀時間（A：107）以上，B：8/?-10/j,C：6〃?8/2,D：6；!以下）

進行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進行分類，統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的

信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查的學生共200名;

（2）。=30，b=50；

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

人數(shù)（單位：名）

【分析】（1）根據(jù)。類人數(shù)以及所占的百分比即可求解;

（2）根據(jù)總數(shù)以及A類、8類的人數(shù)即可求解;

（3）根據(jù)C類所占的百分比，求出C類人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖.

【解答】解：（1）本次調(diào)查的學生共：10?5%=200（名）,

故答案為：200；

⑵TX100=30,fe=-10CLx100=50,

200

故答案為：30,50；

【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關(guān)系是正確

解答的關(guān)鍵.

22.(8分)“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器(如實物圖所示)

鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度

為3cm即PQ=3cm.開始訓練時，將彈簧的端點。調(diào)在點B處，此時彈簧長PB=4cm,

彈力大小是100M經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓練強度，

于是將彈簧端點Q調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00N,已知NPBC=120°,求BC的

長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即尸=&?△》，上是勁度系數(shù)，是彈簧的形變量，在無

外力作用下，彈簧的長度為期，在外力作用下，彈簧的長度為x,則Ax=x-xo.

【分析】由題意可以先求出k的值，然后即可求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得到

附和AB的長，由圖可知：BC=AC-AB,代入數(shù)據(jù)計算即可.

【解答】解：由題意可得，

xo=3cm,

100=/(4-3),

解得k=100,

A100Ax,

當尸=300時，300=100X(PC-3),

解得PC=f>cm,

由圖可得，

ZMB=90°,NP8C=120°,

AZAPB=30°,

9

：PB=4cmf

；?AB=2cm,PA==25/3(cm),

,:PC=6cm,

?'?AC="^PQ2_p^2=2;\/6(cM,

.,.BC=AC-AB=(2^6-2)cm,

即8c的長是(2A/6-2)cm.

【點評】本題考查解直角三角形的應用、正比例函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是求出k的值，

以及AC和AB的值.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）“綠水青山就是金山銀山”，科學研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能

夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均

滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg,若一片國槐樹葉與一片銀杏樹

葉一年的平均滯塵總量為62mg.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共

有約50000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

【分析】（1）設(shè)一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為xmg,一片國槐樹葉一年的平均滯塵

量為ymg,由題意：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量

的2倍少4〃?g,一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62%g.列出二元一

次方程組，解方程組即可；

（2）由（1）的結(jié)果列式計算即可.

【解答】解：（1）設(shè)一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為xmg,一片國槐樹葉一年的平均

滯塵量為ymg,

由題意得：卜號=62.

Ix=2y-4

解得：尸曲,

ly=22

答：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40〃@一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22〃%；

(2)50000X40=2000000(mg)=2kg,

答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組

是解題的關(guān)鍵.

24.(9分)如圖，以8c為邊分別作菱形8cOE和菱形2CFG(點C,D,F共線)，動點A

在以8c為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接E尸交8c于點O.設(shè)NG=0.

(1)求證：無論。為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF_L8C成立的。值.

(2)當。=90°時，試給出tanNABC的值，使得EF垂直平分AC,請說明理由.

【分析】(1)證明四邊形OEGF是平行四邊形，可得結(jié)論；

(2)當tanNABC=2時，E/垂直平分線段4c.證明Q/〃AC,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：：四邊形BCFG,四邊形8CDE都是菱形，

C.CF//BG,CD//BE,CB=CF=CD=BG=BE,

,:D,C,二共線,

：.G,B,E共線，

C.DF//EG,DF=GE,

四邊形DEGF是平行四邊形，

與8c互相平分.

當EF_LFG時，'：GF=BG=BE,

：.EG=2GF,

：.ZG￡F=30°,

.?.0=90°-30°=60°；

（2）解：當tanNABC=2時，M垂直平分線段AC

理由：如圖（2）中，設(shè)AC交EF于點J.

???四邊形5CFG是菱形，

：.ZG=ZFCO=9O0,

r與8c互相平分，

:.OC=OB,

:.CF=BC,

:?FC=20C,

tanZFOC=tan/ABC,

???/ABC=NFOC,

：.OJ//AB,

?IOC=OB,

CJ=AJi

???8C是直徑，

：.ZBAC=ZOJC=90°,

???E/垂直平分線段AC.

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題

的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

25.（10分）如圖，已知20是RtZ\ABC的角平分線，點O是斜邊A8上的動點，以點。

為圓心，08長為半徑的經(jīng)過點。，與。A相交于點E.

（1）判定AC與。。的位置關(guān)系，為什么？

(2)若BC=3,CD=3,

2

①求sinNOBC、sinNABC的值；

②試用sinN井BC和cosNQBC表示sinNABC,猜測sin2a與sina、cosa的關(guān)系，并用a

=30°給予驗證.

【分析】（1）連接OD,證明OQ〃BC,則NOD4=NC=90°,再根據(jù)圓的切線的判定

定理證明AC是。。的切線；

（2）①根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論；

②計算cos/OBC的值，并計算2sin/DBC?cosNOBC的值，可得結(jié)論：sin乙4BC=2sin

ZDBC'cosZDBC；并用a=30°可得結(jié)論.

【解答】解：（1）AC是。。切線，理由如下：

如圖，連接?！辏?

,:OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

:BD是△ABC的角平分線,

：.ZOBD=ZDBC,

：.NODB=NDBC,

：.OD//BC,

：.ZODA=ZC=90°,

是。。的半徑，HAC±OD,

.?.AC是O。的切線；

(2)①在RtZSOBC中，：BC=3,CD=1,

_________2

??-BZ)=VCD2+BC2=^(-1)2+32=^--

3

2

如圖2,連接DE,OD,過點0作OG_LBC于G,

圖2

...NOOC=/C=/CGO=90°,

...四邊形OQCG是矩形，

OG=CZ)=3,

2

：BE是。。的直徑，

:./BDE=90°,

cosZDBE=cosZCBD,

.