黑龍江省2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試考試數(shù)學(xué)試卷

黑龍江省2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、多選題1．下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是（

）A．某工廠從老年、中年、青年職工中按2∶5∶3的比例選取職工代表B．用抽簽的方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)C．福利彩票用搖獎機(jī)搖獎D．規(guī)定凡買到明信片最后四位號碼是“6637”的人獲三等獎2．若直線a平行于平面α，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)平行于α內(nèi)的有限條直線B．α內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行C．直線a上的點(diǎn)到平面α的距離相等D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與a成90°角3．設(shè)，，為不同的直線，，，為不同的平面，下列四個命題中錯誤的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，，，，則4．小王于2017年底貸款購置了一套房子，根據(jù)家庭收入情況，小王選擇了10年期每月還款數(shù)額相同的還貸方式，且截止2021年底，他沒有再購買第二套房子．如圖是2018年和2021年小王的家庭收入用于各項支出的比例分配圖：根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（

）A．小王一家2021年用于飲食的支出費(fèi)用跟2018年相同B．小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用是2018年的3倍C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍D．小王一家2021年用于房貸的支出費(fèi)用與2018年相同5．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動，則下列說法正確的是（

）A．若在線段上，則三棱錐的體積為定值B．若在線段上，則與所成角的取值范圍為C．若平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為D．若，則與平面所成角正切值的最大值為二、單選題6．已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，，，，則“，相交“是“，相交”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．某校有男生3000人，女生2000人，學(xué)校將通過分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人的身高數(shù)據(jù)，若按男女比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取到的學(xué)生平均身高為，其中被抽取的男生平均身高為，則被抽取的女生平均身高為（

）A． B． C． D．8．從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是（

）A．互為余角 B．相等 C．其和為周角 D．互為補(bǔ)角9．某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖,估計這次測試中數(shù)學(xué)成績的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．73.3，75，72 B．72，75，73.3C．75，72，73.3 D．75，73.3，7210．對于數(shù)據(jù)：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同學(xué)得出了下列結(jié)論：甲：平均數(shù)為5；乙：沒有眾數(shù)；丙：中位數(shù)是3；丁：第75百分位數(shù)是7，正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．411．為了貫徹落實(shí)《中共中央國務(wù)院全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》的文件精神，某學(xué)校結(jié)合自身實(shí)際，推出了《植物栽培》《手工編織》《實(shí)用木工》《實(shí)用電工》《烹飪技術(shù)》五門校本勞動選修課程，要求每個學(xué)生從中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)考核合格后方能獲得該學(xué)校榮譽(yù)畢業(yè)證，則甲?乙兩人的選課中僅有一門課程相同的概率為（

）A． B． C． D．12．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B． C． D．1三、填空題13．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)，P是底面ABCD上的一點(diǎn)，若平面GEF，則下面的4個判斷①點(diǎn)P的軌跡是一段長度為的線段；②線段的最小值為；③；④與一定異面．其中正確判斷的序號為__________．14．甲、乙兩同學(xué)參加“建黨一百周年”知識競賽，甲、乙獲得一等獎的概率分別為、，獲得二等獎的概率分別為、，甲、乙兩同學(xué)是否獲獎相互獨(dú)立，則甲、乙兩人至少有人獲獎的概率為___________.15．?dāng)?shù)據(jù)，，…，平均數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為________.16．將正方形沿對角線折起，并使得平面垂直于平面，直線與所成的角為__________.四、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，G是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)證明：平面平面．18．甲、乙兩臺機(jī)床同時生產(chǎn)一種零件，在天中，兩臺機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲：；乙：．（1）分別求兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計算結(jié)果比較兩臺機(jī)床性能．19．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從總體的名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于的概率；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于的學(xué)生有人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.20．某學(xué)校招聘在職教師，甲、乙兩人同時應(yīng)聘．應(yīng)聘者需進(jìn)行筆試和面試，筆試分為三個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都必須參與，甲筆試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，乙筆試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，筆試三個環(huán)節(jié)至少通過兩個才能夠參加面試，否則直接淘汰；面試分為兩個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都必須參與，甲面試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，乙面試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，若面試部分的兩個環(huán)節(jié)都通過，則可以成為該學(xué)校的在職教師．甲、乙兩人通過各個環(huán)節(jié)相互獨(dú)立．(1)求甲未能參與面試的概率；(2)記乙本次應(yīng)聘通過的環(huán)節(jié)數(shù)為，求的值；(3)記甲、乙兩人應(yīng)聘成功的人數(shù)為，求的的分布列和數(shù)學(xué)期望21．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面，分別為的中點(diǎn)，(1)求證：MN//平面PAC(2)求證：平面PBC平面PAM22．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為菱形，其對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，，，.(1)證明：平面ABCD；(2)求三棱錐的體積.參考答案：1．BC【分析】由題意，根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的定義，可得答案.【詳解】對于A，此為分層抽樣；對于B，此為隨機(jī)數(shù)表法；對于C，此為簡單隨機(jī)抽樣；對于D，此為系統(tǒng)抽樣.故選：BC.2．BCD【分析】根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因為直線a平行于平面α，所以a與平面α內(nèi)的直線平行或異面，選項A錯誤；選項B，C，D正確.故選：BCD.3．ACD【分析】選項ACD，可借助正方體構(gòu)造反例；選項B，在平面分別取直線滿足，直線滿足，可證明，，即得證.【詳解】A選項：取平面，，但是不垂直于平面，命題A錯誤．B選項：設(shè)，，在平面分別取直線滿足，直線滿足．因為，，所以，，又，，所以，，所以．命題B正確．C選項：平面，平面，但平面與平面不平行，命題C錯誤．D選項：平面平面，交線為，平面，，但與平面不垂直，命題D錯誤．故選：ACD4．BD【分析】由題意，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，小王一家2021年用于飲食的支出比例與跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∴小王一家2021年用于飲食的支出費(fèi)用比2018年多，故A錯誤；對于B，設(shè)2018年收入為a，∵相同的還款數(shù)額在2018年占各項支出的60%，在2021年占各項支出的40%，∴2021年收入為：，∴小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用為，小王一家2018年用于其他方面的支出費(fèi)用為，∴小王一家2021年用于其他方面的支出費(fèi)用是2018年的3倍，故B正確；對于C，設(shè)2018年收入為a，則2021年收入為：，故C錯誤；對于D，小王一家2021年用于房貸的支出費(fèi)用與2018年相同，故D正確．故選：BD．5．ACD【分析】A.如圖，當(dāng)在線段上時，當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x不變，又底面的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以該選項正確；B.如圖，分析得與所成角的取值范圍為，所以該命題錯誤；C.如圖，分別是中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是線段，所以該選項正確；D.點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，以1為半徑的半圓，,所以的最小值為,所以與平面所成角正切值的最大值為.所以該選項正確.【詳解】A.如圖，因為平面平面所以平面所以當(dāng)在線段上時，當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x不變，又底面的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以該選項正確；B.如圖，因為所以與所成角就是與所成的角（銳角或直角），當(dāng)點(diǎn)在時，由于△是等邊三角形，所以這個角為，當(dāng)時，這個角為，由圖得與所成角的取值范圍為，所以該命題錯誤；C.如圖，分別是中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是線段,由于,平面,平面,所以平面，同理可得平面，又平面,,所以平面平面，所以平面，，所以點(diǎn)的軌跡的長度為，所以該選項正確；D.如圖，由題得與平面所成角為,,即求的最小值，因為,平面,所以平面,所以,所以點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，以1為半徑的半圓，,所以的最小值為,所以與平面所成角正切值的最大值為.所以該選項正確.故選：ACD6．C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：①若，相交，，，則其交點(diǎn)在交線上，故，相交，②若，相交，可能，為相交直線或異面直線．綜上所述：，相交是，相交的充分不必要條件．故選：C．7．A【分析】由分層抽樣求出100人中的男女生數(shù)，再利用平均數(shù)公式計算作答.【詳解】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣原理，被抽取到的男生為60人，女生為40人，設(shè)被抽取到的女生平均身高為，則，解得，所以被抽取的女生平均身高為.故選：A8．D【分析】做出圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】如圖，A為二面角內(nèi)任意一點(diǎn)，，，過B作于D，連接CD，因為，，所以因為，，所以，且，所以平面，且面，所以則為二面角的平面角，，為兩條垂線AB與AC所成角，所以，所以兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補(bǔ)角.故選：D.9．B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖,結(jié)合平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法,即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知,平均數(shù)為眾數(shù)為最高矩形底邊的中點(diǎn),即中為數(shù)為:可得所以中為數(shù)為綜上可知,B為正確選項故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算,屬于基礎(chǔ)題.10．B【分析】分別求出平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，第75百分位數(shù)即可得解.【詳解】解：平均數(shù)為，故甲正確；眾數(shù)為：3，6，8，故乙錯誤；將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：，則中位數(shù)為，故丙錯誤；，則第75百分位數(shù)為，故丁正確，所以正確的個數(shù)為2個.故選：B.11．C【分析】先分析總的選課情況數(shù)，然后再分析甲、乙兩人的選課中僅有一門課程相同的情況數(shù)，然后兩者相除即可求解出對應(yīng)概率.【詳解】甲、乙總的選課方法有：種，甲、乙兩人的選課中僅有一門課程相同的選法有：種，（先選一門相同的課程有種選法，若要保證僅有一門課程相同只需要其中一人從剩余門課程中選取門，另一人選取剩余的門課程即可，故有種選法）所以概率為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析兩人的選課僅有門相同的選法數(shù)，可通過先確定相同的選課，然后再分析四門課程中如何做到兩人的選課不同，根據(jù)古典概型的概率計算方法完成求解.12．D【詳解】試題分析：因為線面平行，所求求線面距可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離，選用等體積法．平面，到平面的距離等于到平面的距離，由題計算得，在中，，邊上的高，所以，所以，利用等體積法，得:,解得:考點(diǎn)：利用等體積法求距離13．①③【分析】先證明平面平面，可判斷P的軌跡是線段，結(jié)合選項和幾何性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】分別連接，所以，又因為，則，同理，，故平面平面，又因為平面GEF，且P是底面ABCD上的一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上．所以點(diǎn)P的軌跡是一段長度為，故①正確；當(dāng)為中點(diǎn)時，線段最小，最小值為，故②錯；因為在正方體中，平面，又平面，則，故③正確；當(dāng)與重合時，與平行，則④錯．故答案為：①③14．【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，甲不中獎的概率為，乙不中獎的概率為，因此，甲、乙兩人至少有人獲獎的概率為.故答案為：.15．16【詳解】試題分析：由題意知，，則，，而，所以所求方差為．故正確答案為16．考點(diǎn)：兩組線性數(shù)據(jù)間的特征數(shù)的運(yùn)算．【方法點(diǎn)晴】此題主要考查兩組俱有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)的特征數(shù)關(guān)系，當(dāng)數(shù)據(jù)與中若有時，那么它們之間的平均數(shù)與方差（標(biāo)準(zhǔn)差）之間的關(guān)系是：，或是，掌握此關(guān)系會給我們計算帶來很大方便．16．60°【分析】將所求異面直線平移到同一個三角形中，即可求得異面直線所成的角.【詳解】如圖，取，，的中點(diǎn)，分別為，，，則，所以或其補(bǔ)角即為所求的角.因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.設(shè)正方形邊長為，，所以，則.所以.所以是等邊三角形，.所以直線與所成的角為．故答案為：60°17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面垂直得到，從而求出平面，得到；（2）根據(jù)正方形得到，結(jié)合第一問求出的，得到平面，從而證明面面垂直.（1）∵平面，且平面，∴．又因為，平面，所以平面．∵平面，∴．（2）∵，易知矩形為正方形，∴．由（1）知，又由于平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．18．（1）甲的眾數(shù)等于；乙的眾數(shù)等于和；甲的中位數(shù)等于；乙的中位數(shù)等于；（2）甲乙的平均水平相當(dāng)，但是乙更穩(wěn)定.【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的公式直接計算，眾數(shù)是指數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)是按從小到大排列，若是奇數(shù)個，則正中間的數(shù)是中位數(shù)，若是偶數(shù)個數(shù)，則正中間兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)；（2）平均數(shù)指數(shù)據(jù)的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差指數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，離散水平.【詳解】解：（1）由題知：甲的眾數(shù)等于；乙的眾數(shù)等于和；甲的中位數(shù)等于；乙的中位數(shù)等于（2）甲的平均數(shù)等于乙的平均數(shù)等于甲的方差等于

乙的方差等于所以甲的標(biāo)準(zhǔn)差等于，乙的標(biāo)準(zhǔn)差因此，甲乙的平均水平相當(dāng)，但是乙更穩(wěn)定！【點(diǎn)睛】本題考查樣本的眾數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，重點(diǎn)考查定義和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.19．（1）0.4；（2）20；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率組距高，可得分?jǐn)?shù)小于70的概率為：；（2）先計算樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率，進(jìn)而計算分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的頻率，可估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，分別求出男生、女生的人數(shù)，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于70的頻率為：故從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率為0.4；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，故樣本中分?jǐn)?shù)小于40的頻率為：0.05，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的頻率為：，估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間，內(nèi)的人數(shù)為人，（3）樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為：0.6，由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．故分?jǐn)?shù)不小于