高中統(tǒng)計(jì)案例及算法初步 統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體

第十章統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例及算法初步第二節(jié)統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計(jì)總體基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)熱點(diǎn)命題深度剖析思想方法感悟提升最新考綱

1.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解他們各自的特點(diǎn)；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋?zhuān)?.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。J

基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數(shù)據(jù)中_________與________的差；②決定____________與________；③將數(shù)據(jù)________；④列_______________；⑤畫(huà)______________________。Δxi(分組的寬度)頻率fi

1最大值最小值分組的寬度組數(shù)分組頻率分布表頻率分布直方圖2．頻率折線圖(1)定義：在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在______和_____各加一個(gè)區(qū)間。從所加的左邊區(qū)間的_______開(kāi)始，用線段依次連接各個(gè)矩形的____________，直至右邊所加區(qū)間的_______，就可以得到一條折線，我們稱(chēng)之為頻率折線圖。(2)作用：可以用它來(lái)估計(jì)________________情況。3．莖葉圖(1)莖葉圖表示數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：①莖葉圖上___________的損失，所有的____________都可以從這個(gè)莖葉圖中得到。②莖葉圖可以隨時(shí)記錄，方便________________。(2)莖葉圖表示數(shù)據(jù)的缺點(diǎn)：當(dāng)數(shù)據(jù)量很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀清晰了。左邊右邊中點(diǎn)頂端中點(diǎn)中點(diǎn)總體的分布沒(méi)有信息原始數(shù)據(jù)表示與比較4．樣本的數(shù)字特征及意義(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：數(shù)字特征定義與求法眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按__________排列，處在_________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))平均數(shù)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)＝__________________最多大小順序最中間(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差：①標(biāo)準(zhǔn)差：表示樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝

______________________________________。②方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差。s2＝__________________________________，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是__________，是_______________。樣本容量樣本平均數(shù)[判一判](1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率。(

)解析錯(cuò)誤。在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距。(2)頻率分布直方圖中各個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為1。(

)解析正確。根據(jù)頻率分布直方圖的意義可知，其中各個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和為1。(3)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次。(

)解析錯(cuò)誤。在莖葉圖中，數(shù)據(jù)不需要按從小到大的順序?qū)懀蚁嗤臄?shù)據(jù)需重復(fù)記錄，不能只記一次?！痢獭?4)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。(

)

解析正確。根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義可知正確。(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。(

)解析正確。方差是描述數(shù)據(jù)集中與離散程度的量，方差越小，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中，反之則說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大?！獭蘙練一練]

1．(2015·重慶卷)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(

)A．19 B．20C．21.5 D．232．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻率如下表：則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(

)A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)2345423．為了解一片大約10000株樹(shù)木的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)。根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)出的樣本頻率分布直方圖如圖所示，那么在這片樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于110cm的株數(shù)大約是(

)A．3000 B．6000C．7000 D．8000解析底部周長(zhǎng)小于110cm的頻率為(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周長(zhǎng)小于110cm的株數(shù)大約是10000×0.7＝7000。答案C4．某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝________。3.240R熱點(diǎn)命題

深度剖析【例1】

(1)(2015·安徽卷)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(

)A．8 B．15C．16 D．32考點(diǎn)一樣本的數(shù)字特征(2)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則(

)A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差變式訓(xùn)練1

(1)在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是(

)A．眾數(shù)

B．平均數(shù)C．中位數(shù)

D．標(biāo)準(zhǔn)差解析(1)對(duì)樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)非零常數(shù)時(shí)不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變。答案D(2)甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖。①分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；②根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)?！纠?】

(1)(2015·山東卷)為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖?？紤]以下結(jié)論：①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；③甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差。其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為(

)A．①③

B．①④C．②③

D．②④考點(diǎn)二

莖葉圖

(2)某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是(

)【解析】

由分組可知C，D一定不對(duì)；由莖葉圖可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，∴第一、二小組頻率相同，頻率分布直方圖中矩形的高應(yīng)相等，可排除B?！敬鸢浮?/p>

A【規(guī)律方法】

在使用莖葉圖時(shí)，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個(gè)圖中數(shù)字的特點(diǎn)，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義。變式訓(xùn)練2

(1)將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示：(2)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱(chēng)為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)。試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0．6'1.2'2.7'1.5'2.8'1.8'2.2'2.33．2'3.5'2.5'2.6'1.2'2.7'1.5'2.93．0'3.1'2.3'2.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3．2'1.7'1.9'0.8'0.9'2.4'1.2'2.61．3'1.4'1.6'0.5'1.8'0.6'2.1'1.12．5'1.2'2.7'0.5①分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？

②由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：【例3】

(1)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)。所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，……，第五組。下圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖。已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(

)A．6 B．8C．12 D．18考點(diǎn)三頻率分布直方圖【解析】

設(shè)樣本容量為n，由題意，得(0.24＋0.16)×1×n＝20，解得n＝50，所以第三組頻數(shù)為0.36×1×50＝18。因?yàn)榈谌M中沒(méi)有療效的有6人，所以第三組中有療效的人數(shù)為18－6＝12?！敬鸢浮?/p>

C(2)(2015·湖北卷)某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示。①直方圖中的a＝________；②在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)_______。3

6000【解析】

①由頻率分布直方圖，得(1.5＋2.5＋a＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1，解得a＝3；②消費(fèi)金額在[0.5,0.9]的購(gòu)物者的人數(shù)為：10000×(1－1.5×0.1－2.5×0.1)＝10000×0.6＝6000。變式訓(xùn)練3

為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(jī)(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次B．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次C．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30次的人數(shù)約有320人D．該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有32人解析由題圖可知中位數(shù)是26.25次，眾數(shù)是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30次的頻率為0.2，所以估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30次的人數(shù)約有320人；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的頻率為0.1，所以該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有160人。故D是錯(cuò)誤的，選D。答案DS