高考數(shù)學精編　簡單幾何體的面積和體積

PAGE計時雙基練四十四簡單幾何體的面積和體積A組基礎必做1．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7B．6C．5D．3解析設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r。由S側＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7。答案A2．(唐山市2015—2016學年度高三年級第一學期期末考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．6π＋4 B．π＋4C.eq\f(5π,2) D．2π解析由三視圖可知，該幾體體為一圓柱裁去一個小的半圓柱，∴V＝π×12×3－eq\f(1,2)π×12×2＝2π。故選D。答案D3．(2015·課標全國Ⅱ卷)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,7)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析由題意知該正方體截去了一個三棱錐，如圖所示，設正方體棱長為a，則V正方體＝a3，V截去部分＝eq\f(1,6)a3，故截去部分體積與剩余部分體積的比值為eq\f(1,6)a3∶eq\f(5,6)a3＝1∶5。答案D4.(2015·課標全國Ⅰ卷)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依坦內角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析設圓錐的底面半徑為R，高為h?！呙锥训撞康幕￠L為8尺，∴eq\f(1,4)·2πR＝8，∴R＝eq\f(16,π)?！遠＝5，∴米堆的體積V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(1,12)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5?！擀小?，∴V≈eq\f(320,9)(立方尺)?！喽逊诺拿准s有eq\f(320,9×1.62)≈22(斛)。答案B5．(2015·江西九江一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則此棱錐的表面積為()A．6＋4eq\r(2)＋2eq\r(3) B．8＋4eq\r(2)C．6＋6eq\r(2) D．6＋2eq\r(2)＋4eq\r(3)解析直觀圖是四棱錐P－ABCD，如圖所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△PBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×sin60°＝2eq\r(3)，S四邊形ABCD＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2)，因此所求棱錐的表面積為6＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)。故選A。答案A6．一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是eq\f(32π,3)，那么這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)解析如圖設球的半徑為R，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，得R＝2?！嗾庵母遠＝4。設其底面邊長為a，則eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3)?！郪＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3)。答案D7．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3。解析由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，其上部是一個圓錐，且底面圓半徑為2，高為2；下部是一個圓柱，底面圓半徑為1，高為4，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)·π·22·2＋π·12·4＝eq\f(8π,3)＋4π＝eq\f(20π,3)。答案eq\f(20π,3)8．(2015·山西四校聯(lián)考)將長、寬分別為4和3的長方形ABCD沿對角線AC折起，得到四面體A－BCD，則四面體A－BCD的外接球的體積為________。解析設AC與BD相交于O，折起來后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，∴外接球的半徑r＝eq\f(\r(32＋42),2)＝eq\f(5,2)，從而體積V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125π,6)。答案eq\f(125π,6)9．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________。解析根據(jù)題意得底面正六邊形面積為6eq\r(3)，設六棱錐的高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh，∴eq\f(1,3)×6eq\r(3)h＝2eq\r(3)，解得h＝1。設側面高為h′，則h2＋(eq\r(3))2＝h′2，∴h′＝2?！嗾忮F的側面積為6×eq\f(1,2)×2×2＝12。答案1210．如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積。解(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示。(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P由PA1＝PD1＝eq\r(2)cm，A1D1＝AD＝2cm，可得PA1⊥PD1。故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)。11．(2015·杭州一模)已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形，側面是全等的等腰梯形，且側面面積等于兩底面面積之和，求棱臺的體積。解如圖所示，在三棱臺ABC－A′B′C′中，O′，O分別為上下底面的中心，D，D′分別是BC，B′C′的中點，則DD′是等腰梯形BCC′B′的高，又A′B′＝20cm，AB＝30cm，所以S側＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′。S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)。由S側＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3)，所以DD′＝eq\f(13,3)eq\r(3)cm，又因為O′D′＝eq\f(\r(3),6)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3),6)×30＝5eq\r(3)(cm)，所以棱臺的高h＝O′O＝eq\r(D′D2－OD－O′D′2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(3),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r(3)－\f(10\r(3),3)))2)＝4eq\r(3)(cm)，由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為V＝eq\f(h,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))＝eq\f(4\r(3),3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(325\r(3)＋\f(\r(3),4)×20×30))＝1900(cm3)。故棱臺的體積為1900cm3。B組培優(yōu)演練1．(2015·課標全國Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點。若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36π B．64πC．144π D．256π解析由△AOB面積確定，若三棱錐O－ABC的底面OAB的高最大，則其體積才最大。因為高最大為半徑R，所以VO－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，解得R＝6，故S球＝4πR2＝144π。答案C2．(2015·甘肅蘭州診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是一個直角梯形，底面積S＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，高h＝x，所以其體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×3x＝3，解得x＝3。故選D。答案D3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8π,3)B．3πC.eq\f(10π,3)D．6π解析由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的eq\f(1,4)，根據(jù)對稱性，可補全此圓柱如圖，故體積V＝eq\f(3,4)×π×12×4＝3π。答案B4．(2016·鄭州模擬)已知三棱錐P－ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，則三棱錐P－ABC的側面積的最大值為________。解析如圖所示，因為PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以三棱錐P－ABC的外接球就是以PA，PB，PC為棱長的長方體的外接球。設PA＝a，PB＝b，PC＝c，則有a2＋b2＋c2＝4×32＝36。而三棱錐P－ABC的側面積為S＝eq\f(1,2)ab＋e