高中數(shù)學(xué)同步練習(xí) 事件與概率

10-4事件與概率基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.對(duì)某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，數(shù)據(jù)如下：抽取臺(tái)數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4792192285478954則該廠生產(chǎn)的電視機(jī)是優(yōu)等品的概率約為()A．0.92B．0.94C．0.95D．0.96[答案]C[解析]由頻率與概率關(guān)系知答案為C.2．(2011·安徽合肥模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3[答案]C[解析]事件“抽到的不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，由于P(A)＝0.65，所以由對(duì)立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.3．(2012·皖南八校第三次聯(lián)考)某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取2聽進(jìn)行檢測(cè)，則檢測(cè)出至少有一聽不合格飲料的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(3,5)C.eq\f(8,15) D.eq\f(14,15)[答案]B[解析]記4聽合格的飲料分別為A1、A2、A3、A4,2聽不合格的飲料分別為B1、B2，則從中隨機(jī)抽取2聽有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15種不同取法，而至少有一聽不合格飲料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9種，故所求概率為P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，選B.4．(2012·安徽文，10)袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[答案]B[解析]1個(gè)紅球記作R,2個(gè)白球記作B1、B2,3個(gè)黑球記作H1、H2、H3，則從中任取2個(gè)球的所有方法種數(shù)有如下15種：RB1，RB2，RH1，RH2，RH3，B1B2，B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，H1H2，H1H3，H2H3，而兩球顏色為一黑一白的種數(shù)有如下6種：B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，所以所求概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[點(diǎn)評(píng)]準(zhǔn)確求出古典概型概率公式p＝eq\f(m,n)中的m、n是解題關(guān)鍵，通常有列舉法、樹狀圖法、坐標(biāo)系法等．5．甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是()A.eq\f(3,18) B.eq\f(4,18)C.eq\f(5,18) D.eq\f(6,18)[答案]C[解析]甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，所得的直線共有6×6＝36(對(duì))，而相互垂直的有10對(duì)，故根據(jù)古典概型概率公式得P＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).6．(文)羊村村長(zhǎng)慢羊羊決定從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草，則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(6,7)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[答案]C[解析]將喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次編號(hào)為1、2、3、4、5，從中任取兩個(gè)的所有可能取法為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中喜羊羊與美羊羊恰好只有一只被選中的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．∴所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011·濱州月考)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝5下方的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,9)[答案]A[解析]試驗(yàn)是連續(xù)擲兩次骰子．故共包含6×6＝36個(gè)基本事件．事件“點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6個(gè)基本事件，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).7．(文)(2011·德州期末)現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，取出的是理科書的概率為________．[答案]eq\f(3,5)[解析]共有取法5種，其中理科書為3種，∴P＝eq\f(3,5).(理)拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為x、y，則eq\f(x,y)為整數(shù)的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]將拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的正四面體所得的數(shù)字x、y記作有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，共包含16個(gè)基本事件，其中eq\f(x,y)為整數(shù)的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8個(gè)基本事件，故所求概率為P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).8．(2012·寧夏三市聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________．[答案]eq\f(5,12)[解析]圓心(2,0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當(dāng)d<eq\r(2)時(shí)，直線與圓相交，解eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)得b>a，滿足題意的b>a共有15種情況，又易知將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a、b的基本情況共有36種，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).9．(2011·廣東高州模擬)某市派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全省足球冠軍賽，甲、乙兩隊(duì)奪取冠軍的概率分別是eq\f(3,7)和eq\f(1,4)，則該市足球隊(duì)奪得全省足球冠軍的概率是________．[答案]eq\f(19,28)[解析]設(shè)事件A：甲球隊(duì)奪得全省足球冠軍，B：乙球隊(duì)奪得全省足球冠軍，事件C：該市足球隊(duì)奪得全省足球冠軍．依題意P(A)＝eq\f(3,7)，P(B)＝eq\f(1,4)，且C＝A＋B，事件A、B互斥，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).10．(2012·河南六市模擬)某班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?0與100之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組；第一組[50,60)，第二組[60,70)，…，第五組[90,100]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．(1)若成績(jī)大于或等于60且小于80，認(rèn)為合格，求該班在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)合格的人數(shù)；(2)從測(cè)試成績(jī)?cè)赱50,60)∪[90,100]內(nèi)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為m、n，求事件“|m－n|>10”[解析](1)由直方圖知，成績(jī)?cè)赱60,80)內(nèi)的人數(shù)為50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以該班在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)合格的有29人．(2)由直方圖知，成績(jī)?cè)赱50,60)的人數(shù)為50×10×0.004＝2，設(shè)成績(jī)?yōu)閤、y；成績(jī)?cè)赱90,100]的人數(shù)為50×10×0.006＝3，設(shè)成績(jī)?yōu)閍、b、c，若m、n∈[50,60)，則只有xy一種情況．若m、n∈[90,100]，則有ab、bc、ac三種情況，若m、n分別在[50,60)和[90,100]內(nèi)，則有abcxxaxbxc共6種情況．yyaybyc所以基本事件總數(shù)為10種，事件“|m－n|>10”∴P(|m－n|>10)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[點(diǎn)評(píng)]1.在頻率分布直方圖中，組距是一個(gè)固定值，各矩形面積和為1；2.通過頻率分布直方圖的識(shí)讀獲取信息是解決這一類問題的關(guān)鍵.能力拓展提升11.(2012·河南質(zhì)量調(diào)研)在區(qū)間[0,1]上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(5,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(2,9)[答案]A[解析]由已知a、b在區(qū)間[0,1]上，所以f′(x)＝x2＋a≥0，函數(shù)f(x)在[－1,1]內(nèi)是增函數(shù)，∵f(x)在[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－\f(1,3)－a－b≤0，,f1＝\f(1,3)＋a－b≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,3)≥0，,a－b＋\f(1,3)≥0.))在坐標(biāo)平面aOb中，畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，))與不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,3)≥0，,a－b＋\f(1,3)≥0，))表示的平面區(qū)域，易知，這兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域的公共區(qū)域的面積等于12－eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,9)，而不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤1，))表示的平面區(qū)域的面積為1，因此所求的概率等于eq\f(7,9)，選A.12．(文)從一個(gè)三棱柱ABC－A1B1C1A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[答案]D[解析]從6個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，共有15種選法，其中共面的情況有三個(gè)側(cè)面，∴概率P＝eq\f(15－3,15)＝eq\f(4,5).(理)(2012·山西聯(lián)考)連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m、n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈(0，eq\f(π,4))的概率為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)[答案]B[解析]依題意得，連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，可得到的向量a＝(m，n)共有6×6＝36個(gè)，由向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈(0，eq\f(π,4))得n<m，向量a＝(m，n)可根據(jù)n的取值分類計(jì)數(shù)：當(dāng)n＝1時(shí)，m有5個(gè)不同的取值；當(dāng)n＝2時(shí)，m有4個(gè)不同的取值；當(dāng)n＝3時(shí)，m有3個(gè)不同的取值；當(dāng)n＝4時(shí)，m有2個(gè)不同的取值；當(dāng)n＝5時(shí)，m有1個(gè)值，因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈(0，eq\f(π,4))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15個(gè)，所以所求的概率等于eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，選B.[點(diǎn)評(píng)]m＝n有6個(gè)，m>n與m<n的一樣多，有eq\f(1,2)(36－6)＝15個(gè)．或從1到6中任取兩數(shù)，小的為n，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種．13．(2012·龍巖質(zhì)檢)若在區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)a，則1∈{x|2x2＋ax－a2>0}的概率為________．[答案]eq\f(3,10)[解析]∵1∈{x|2x2＋ax－a2>0}，∴a2－a－2<0，∴－1<a<2，故所求概率為P＝eq\f(3,10).14．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一個(gè)數(shù)，則雙曲線的離心率大于3的概率是________．[答案]eq\f(7,9)[解析]e>3，即eq\f(c,a)>3，∴eq\f(a2＋b2,a2)>9，∴eq\f(b,a)>2eq\r(2)，即m>2eq\r(2)，∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝eq\f(7,9).15．一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任意取出一只球．(1)“取出的球是紅球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？[分析]本題考查必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念及隨機(jī)事件的概率公式和分析判斷能力．[解析](1)由于口袋內(nèi)只裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”不可能發(fā)生，因此，它是不可能事件，其概率為0.(2)由已知，從口袋內(nèi)取出一個(gè)球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是隨機(jī)事件，它的概率為eq\f(3,8).(3)由于口袋內(nèi)裝的是黑、白兩種顏色的球，故取出一個(gè)球不是黑球，就是白球．因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.16．(2012·山西太原測(cè)評(píng))從某學(xué)校高一年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生測(cè)量身高，據(jù)統(tǒng)計(jì)被抽取學(xué)生的身高全部介于155cm至195cm之間，現(xiàn)將樣本數(shù)據(jù)分成八組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，…，第八組[190,195]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)根據(jù)已知條件填寫下面表格：組別12345678樣本數(shù)(2)估計(jì)這所學(xué)校高一年級(jí)800名學(xué)生中身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)；(3)在樣本中，第二組有1名男生，其余為女生；第七組有1名女生，其余為男生．若在第二組和第七組中各選一名同學(xué)組成實(shí)驗(yàn)小組，則實(shí)驗(yàn)小組恰為一男一女的概率是多少？[解析](1)由題圖得第七組頻率為1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06.組別12345678樣本數(shù)24101015432(2)后三組頻率和為0.08＋0.06＋0.04＝0.18.估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)為800×0.18＝144.(3)(文)第二組四人記為a、b、c、d，a為男生，b、c、d為女生，第七組三人記為1、2、3，其中，1、2為男生，3為女生．基本事件列表如下：abcd111b11d222b22d333b33d所以基本事件有12個(gè)，恰為一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a，因此實(shí)驗(yàn)小組中，恰為一男一女的概率是eq\f(7,12).(理)第二小組選到男生，第七小組選到女生的選法有1種，第二小組選到女生，第七小組選到男生的選法有3×2＝6種，∴實(shí)驗(yàn)小組恰為一男一女的方法數(shù)為1＋6＝7種，故所求概率為P＝eq\f(7,4×3)＝eq\f(7,12).1．(2011·山東臨沂質(zhì)檢)一個(gè)盒子中裝有4張卡片，上面分別寫著如下四個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x3，f2(x)＝|x|，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，現(xiàn)從盒子中任取2張卡片，將卡片上的函數(shù)相乘得到一個(gè)新函數(shù)，所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)[答案]C[解析]f1(x)與f3(x)是奇函數(shù)，f2(x)與f4(x)是偶函數(shù)．奇函數(shù)與偶函數(shù)相乘是奇函數(shù)，故所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是P＝eq\f(2×2,6)＝eq\f(2,3).2．(2011·北京西城一模)下面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損．則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(9,10)[答案]C[解析]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(83＋83＋87＋x＋99,5).由eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，得x<98，故被污損的數(shù)字可能是0,1，…，7，共8個(gè)數(shù)字，故甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).3．(2011·奉賢區(qū)檢測(cè)(一))在一次讀書活動(dòng)中，一同學(xué)從4本不同的科技書和2本不同的文藝書中任選3本，則所選的書中既有科技書又有文藝書的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)[答案]D[解析]因?yàn)槲乃嚂挥?本，所以選取的3本書中必有科技書，這樣問題就等價(jià)于求選取的3本書中有文藝書的概率．設(shè)4本不同的科技書為a，b，c，d,2本不同的文藝書為e，f，則從這6本書中任選3本的可能情況有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20種，記“選取的3本書中有文藝書”為事件A，則事件eq\o(A,\s\up6(－))包含的可能情況有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4種，故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).4．若一元二次方程x2＋mx＋n＝0中m、n的取值分別等于將一枚骰子連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則方程有實(shí)根的概率為()A.eq\f(19,36) B.eq\f(7,18)C.eq\f(4,9) D.eq\f(17,36)[答案]A[解析]∵方程有實(shí)根，∴m2－4n≥0，∴(m，n)的允許取值情形有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,