高三復習：三角函數(shù)模型及解三角形應用舉例(含解析答案)

§4.8 三角函數(shù)模型及解三角形應用舉例解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確與未知，理清量與量之間的關系．(2)依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．依據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．將三角形問題復原為實際問題，留意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等．題型一測量距離、高度問題1(2023·江蘇)AC處有兩種A沿直線步行到CA沿索道乘纜車到BC.AAC50m/min.2minABB1min后，BC.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/minAC1260m，經(jīng)測量cos 12 cos 3.A＝13， C＝5AB的長；②問：乙動身多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？C3題型二測量角度問題2A45°A處(3－1)海BA75°A2海里C103海里/小時的速度追截走私船，10海里/B30°方向逃跑．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．題型三利用三角函數(shù)模型求最值例3 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊相互垂直的十字形，其中y>x>0.θ的函數(shù)；θ滿足何種條件時，十字形的面積最大？最大面積是多少？變式如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.80.8米，且60OAOAθOBB點與地h.hθ間關系的函數(shù)解析式；OA開頭轉(zhuǎn)動，經(jīng)過tOBht之間的函數(shù)關系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？課堂練習：

0 △ABC，CO，A(1，sinα)，B(cosα，1)，α∈到達最大值時，α＝ .

，2，則當△OAB的面積某人向正東方向走xkm后向右轉(zhuǎn)150°，然后朝方向走3km，結(jié)果他離動身點恰好是3km，那么x的值為 ．如下圖位于A處的信息中心得悉在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C處的乙船現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ等于 ．4.8 三角函數(shù)模型及解三角形應用舉例作業(yè)如圖為一半徑是3m的水輪，水輪的圓心O距離水面2m．水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，則ω＝ ，A＝ .甲乙兩樓相距20米從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是 ．ABBC與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30mCA60°，求AB.A處得悉后，45°10nmileC處，并測得漁船正105°10nmile/hB靠攏，我海軍艦艇馬上以103nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．π5.某運輸裝置如下圖，其中鋼構造ABDAB＝BD＝l，∠B＝3的AB上可滑動的點C使CDC不與AB，CD可伸縮(當CDABD隨之繞D在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn))，DD→C→AA物從DCv，從CA3v.為了使運送t最短，需在運送前調(diào)整運輸裝置中∠DCB＝θ的大?。萾θ的函數(shù)(vl的式子表示)；t最小時，CAB的什么位置？6某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇動身時，輪船位于O30°20A30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．假設期望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？假設小艇的最高航行速度只能到達30海里/(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．§4.8 三角函數(shù)模型及解三角形應用舉例解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確與未知，理清量與量之間的關系．(2)依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．依據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．將三角形問題復原為實際問題，留意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等．題型一測量距離、高度問題1(2023·江蘇)AC處有兩種A沿直線步行到CA沿索道乘纜車到BC.AAC50m/min.2minABB1min后，BC.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/minAC1260m，經(jīng)測量cos 12 cos 3.A＝13， C＝5AB的長；②問：乙動身多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？3C33(1)答案30＋30解析12 3 2 1

6－

PB

2×60－cos45°sin30°＝30( 6＋ 2)，

sin30°＝sin15°，∴PB＝

＝6－ 242∴樹的高度為PB·sin45°＝30( 6＋ 2)×22＝(30＋30 3)m.13 (2)解①在△ABC中，由于cosA＝12，cosC＝3，13 13 sinA＝5，sinC＝13 從而sinB＝si[A＋＝sinAC)＝5 3 12 4 63＝sinA＝5 3 12 4 6313×5＋13×5＝65.AB AC由正弦定理sinC＝sinB，得AC 1260 4AB＝ ×sinC＝ ＝1040(m)．sinB 63×565AB的長為1040m.②假設乙動身t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t) 12＝200(37t2－70t＋50)，

×13由于0 1040，即0≤t≤8，≤t≤130故當t故當t＝37min

時，甲、乙兩游客距離最短．BC AC③由正弦定理sinA＝sinB，得BC＝AC×sinA＝1260 5＝500(m)．sinB 63×1365乙從B動身時，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710m才能到達C.設乙步行的速度為vm/min，由題意得－3

500－710

3，解得1250

v 625，≤v 50≤

43≤

≤14所以為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3min，乙步行的速度應掌握在1250，625(單位：m/min)范圍內(nèi)．題型二測量角度問題2A45°A處(3－1)海BA75°A2海里C103海里/小時的速度追截走私船，10海里/B30°方向逃跑．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．

43

14思維點撥設緝私船t小時后在DBC，再利用正弦定理求出時間．解設緝私船應沿CD方向行駛t小時才能最快截獲(在D點)走私船則CD＝10 3t(海里)，BD＝10t(海里)，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝ 6(海里)．又∵ ＝ ，BC AC又∵ ＝ ，sin∠BAC sin∠ABCAC·sin∠BAC 2·sin120° 2∴sin∠ABC＝ BC ＝ 6 ＝2，∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，BD CD在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝sin∠CBD，BD·sin∠CBD 10t·sin120° 1∴sin∠BCD＝

＝ 10

＝2.∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，6∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝ 6.6∴t＝10小時≈15(分鐘)．∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．思維升華測量角度問題的一般步驟(1)在弄清題意的根底上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．題型三利用三角函數(shù)模型求最值例3 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊相互垂直的十字形，其中y>x>0.θ的函數(shù)；θ滿足何種條件時，十字形的面積最大？最大面積是多少？思維點撥由題圖可得：x＝cosθ，y＝sinθ.列出面積函數(shù)后，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解，留意θ的范圍．解(1)設S為十字形的面積，π 4 1 則S＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θπ 4 1 (2)S＝2sinθcosθ－cos2θ＝sin2θ－2cos2θ－2＝ 5 1 12sin(2θ－φ)－2，其中tanφ＝2，2當sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π時，S最大．2所以，當θ＝π＋φ

φ＝1

時，S最大，最大值為

5－14 2(tan 2) 2 .思維升華三角函數(shù)作為一類特別的函數(shù)，可利用其本身的值域來求函數(shù)的最值．變式如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8米，圓上最低點與地0.860OAOA為始θOBBh.hθ間關系的函數(shù)解析式；設從OAt秒后到達Oh與t并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？解(1)以圓心O為原點，建立如下圖的平面直角坐標系，則以OxOB為終邊的角為－B(4.8cosπ4.8sinθ2 2)－π2))－π ∴h＝5.6＋4.8sinθ－π 30(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是π弧度/秒，3030t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為πt，3030 2∴h＝5.6＋4.8sinπt－π，t∈[0，＋∞)．30 2到達最高點時，h＝10.4米．30 2 30 2 由sinπt－π＝1，得πt－π＝π，∴t＝30秒，30 2 30 2 ∴纜車到達最高點時，用的最少時間為30秒．課堂練習：

0 π1．△ABC，CO，A(1，sinα)，B(cosα，1)，α∈到達最大值時，α＝ .π答案2

，2，則當△OAB的面積解析∵S＝1－1

1×sinα－1×1×cosα－1 －cosα)(1－sinα)2×＝＝－2 2sinαcosα＝＝－2 4sin2α.π

2 2(1∴當α＝2時，S取到最大值．3km，那么x的值為 ．3答案 3或2由余弦定理得( 3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－3 3x＋6＝0，解得x＝ 3或2 3.4．如下圖，位于A處的信息中心得悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援則cosθ等于 ．答案 2114解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20 7.由正弦定理，得AB 21sin∠ACB＝BC·sin∠BAC＝7.7.由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝7.cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝ 2114.4.8 三角函數(shù)模型及解三角形應用舉例作業(yè)如圖為一半徑是3m的水輪，水輪的圓心O距離水面2m．水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，則ω＝ ，A＝ .2π答案15 34解析每分鐘轉(zhuǎn)4T＝60＝15.4ω 15T＝2π＝15，∴ω＝2π，A＝3.ω 15甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是 ．40答案20 3米、3 3米解析如圖依題意有甲樓的高度為AB＝20·tan60°＝20 3(米又CM

1 ＝20

高度為CD＝20 3－20 3＝40 3米)．

tan60° 3 (3 3 (ABBC與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30mCA60°，求AB.解由正弦定理，得 BC

＝ CD ，sin∠BDC sin∠CBD2sin135°所以BC＝30sin30°＝152sin135°

(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15 2tan60°＝15 6(m)．所以塔高AB為15 6m.某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處得悉后，馬上測出該漁船45°10nmileC105°10nmile/hB103nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．解如下圖，設所需時間為t小時，則AB＝10 3t，CB＝10t.在△ABC中，依據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，可得：(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°.2整理得：2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－1(舍去)．2所以艦艇需1小時靠近漁船，此時AB＝10 3，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得：BC ABsin∠CAB＝sin120°，

310×3sin∠CAB

BC·sin120°＝

2＝1＝ AB所以∠CAB＝30°.

10 3 2.所以艦艇航行的方位角為75°.π某運輸裝置如下圖，其中鋼構造ABDAB＝BD＝l，∠B＝3的AB上可滑動的點C使CDC不與AB，CD可伸縮(當CDABD隨之繞D在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn))，DD→C→AA物從DCv，從CA3v.為了使運送t最短，需在運送前調(diào)整運輸裝置中∠DCB＝θ的大?。萾θ的函數(shù)(vl的式子表示)；πt最小時，CAB的什么位置？π解lsin2π－θ∴BC＝ 3 ，CD＝ 3l，sinθ 2sinθlsin2π－θ∴AC＝AB－BC＝l－

3sinθ ，lsin2π－θAC CD lt

3 ＋ 3l

θ2π．＝3v＋v＝3v－

3vsinθ 2vsinθ(3<

<3)l 3cosθ 3l l (2)t＝6v(1－

sinθ

)＋2vsinθ＝6v＋6v·

sinθ .m(θ)

3－cosθ

θ∈π，2π

，則m′(θ)

1－3cosθ＝ sinθ ，

(3 3)

＝ sin2θ .令m′(θ)＝0，得cosθ＝1，設cosθ＝1，θ∈

π，2π，3 0 3

0 (3 3)θ∈

π，θ)時，m′(θ)<0θ∈(θ

，2π時，m′(θ)>