解析幾何圓錐曲線性質(zhì)

第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)(小題)熱點一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2.求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值.例1(1)(2022·石嘴山模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過右焦點F2的直線l：x＋y＝c在第一象限內(nèi)與雙曲線E的漸近線交于點P，與y軸正半軸交于點Q，且點P為QF2的中點，△QF1F2的面積為4，則雙曲線E的方程為()\f(x2,2)－y2＝1 \f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 \f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1(2)(2022·南充模擬)P是雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1的右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為()\r(3)\r(7)跟蹤演練1(1)已知以圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點，B點是拋物線C2：x2＝8y上任意一點，BM與直線y＝－2垂直，垂足為M，則|BM|－|AB|的最大值為()C.－1(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，左、右頂點為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4eq\r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq\f(2,3)，則C的方程為()\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 \f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(x2,3)＋y2＝1熱點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1.橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).2.雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.例2(1)(2022·濟南模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為()\f(2,3)\f(3,4)\f(\r(5),3)\f(\r(7),4)(2)已知雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c.若雙曲線M的右支上存在點P，使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(3c,sin∠PF2F1)，則雙曲線M的離心率的取值范圍為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2＋\r(7),3))) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(2＋\r(7),3)))C.(1,2) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2))跟蹤演練2(1)(2022·北京市海淀區(qū)模擬)橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率之積為1，則雙曲線C2的兩條漸近線的傾斜角分別為()\f(π,6)，－eq\f(π,6)\f(π,3)，－eq\f(π,3)\f(π,6)，eq\f(5π,6)\f(π,3)，eq\f(2π,3)(2)(2022·上饒模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左焦點為F，過原點的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，若∠BAF的范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π，\f(π,2)))，則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A.(1,2]B.(1，eq\r(2)]C.(1，eq\r(3)]D.[eq\r(2)，eq\r(3))熱點三圓錐曲線與圓、直線的綜合問題圓錐曲線與圓、直線的綜合問題的注意點：(1)注意使用圓錐曲線的定義；(2)引入?yún)?shù)，注意構(gòu)建直線與圓錐曲線的方程組；(3)注意用好平面幾何性質(zhì)；(4)涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解.例3(1)(2022·六安聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，以A為圓心，OA(O為坐標(biāo)原點)為半徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點為P，若PF2⊥PA，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線C的離心率為()＋eq\r(5)＋eq\r(3)\r(5)\r(3)(2)(2022·南充模擬)已知直線x＋y＝1與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(其中O為坐標(biāo)原點)，若橢圓的離心率e滿足eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2)，則橢圓長軸的取值范圍是()A.[eq\r(5)，eq\r(6)]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\f(\r(6),2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3))跟蹤演練3(1)(2022·合肥質(zhì)檢)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P，若F2B∥AP，則該橢圓的離心率是()\f(\r(3),3)\f(\r(2),3)\f(\r(3),2)\f(\r(2),2)(2)(2022·內(nèi)江、眉山等六市模擬)設(shè)點P是拋物線C：y2＝4x上的動點，Q是C的準(zhǔn)線上的動點，直線l過Q且與OQ(O為坐標(biāo)原點)垂直，則點P到l的距離的最小值的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.(0,2]真題體驗1.(2022·全國Ⅰ，理，10)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()\f(x2,2)＋y2＝1 \f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 \f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝12.(2022·全國Ⅱ，理，12)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()\f(2,3)\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)3.(2022·全國Ⅰ，理，16)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F