重慶市江津區(qū)2022屆高三下學(xué)期5月預(yù)測模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高2022級(jí)高三七校第三聯(lián)考考試數(shù)學(xué)試題卷（文史類）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性求出y的取值范圍，即可得到集合P，集合Q中，解不等式，找出解集中的整數(shù)，即可求得集合Q，再求出交集即可.【詳解】集合P中由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以解得，集合Q中解不等式得：，因?yàn)閤為整數(shù)，所以，所以交集為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的求法與集合間的基本運(yùn)算，在求集合時(shí)要首先確定集合的代表元素，再求集合，避免求錯(cuò)，注意集合中的細(xì)節(jié)條件，尤其注意取整數(shù)、自然數(shù)等條件.2.復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則=A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算公式，求出復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求出共軛復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)模的公式求出共軛復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】化簡復(fù)數(shù)式可得：，解得：，所以：，由模的公式：.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，注意掌握本章節(jié)的小概念，如：虛部、實(shí)部、共軛復(fù)數(shù)、模、復(fù)數(shù)所在象限等.3.函數(shù)的圖像是由的圖像向左平移個(gè)單位得到，則的一條對(duì)稱軸方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的平移法則求出解析式，令括號(hào)內(nèi)式子等于的對(duì)稱軸，解出x即可得到對(duì)稱軸方程，對(duì)k賦值，求出復(fù)合題意的選項(xiàng).【詳解】將圖像向左平移后解析式為：，令，解得：，對(duì)k賦值，當(dāng)時(shí)，，即為一條對(duì)稱軸方程.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移以及對(duì)稱軸的求法，在左右平移時(shí)注意要將x括起來單獨(dú)加減，避免出現(xiàn)倍數(shù)錯(cuò)誤，求對(duì)稱軸時(shí)要注意不要忘記寫k.4.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”.設(shè)該問題中的金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，則其重量為（）A.6斤B.10斤C.12斤D.15斤【答案】D【解析】由題意知,由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為，設(shè)公差為，則，故選：D.5.若變量滿足約束條件，則的最大值是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由不等式組畫出可行域，由線性目標(biāo)函數(shù)結(jié)合圖像求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)求出最大值.【詳解】根據(jù)不等式組畫出可行域，設(shè)目標(biāo)函數(shù)，即，由圖像可知最優(yōu)解為圖中兩直線的交點(diǎn)，求出最優(yōu)解為：，代入目標(biāo)函數(shù)，求得最大值為10.故選D【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，要熟練掌握直線的性質(zhì)，根據(jù)圖像解題，求最優(yōu)解時(shí)，注意z的系數(shù)與y的系數(shù)是否相同，若相同，則求最大值時(shí)，直線與y軸交點(diǎn)最高點(diǎn)時(shí)取最優(yōu)解，若相反，則直線與y軸交點(diǎn)最低時(shí)取最優(yōu)解.6.曲線與雙曲線的漸近線相交所得的弦長為，則=A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程可求得漸近線方程，由圓心到漸近線距離和半徑，結(jié)合勾股定理，可表示弦長，列出等式，即可求得a的值.【詳解】由雙曲線方程可求得一條漸近線方程為：，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為：，由勾股定理求弦長：，解得：.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查漸近線方程和直線與圓相交所得的弦長問題，求漸近線方程時(shí)注意此雙曲線焦點(diǎn)在y軸，圓求弦長時(shí)，選擇幾何法結(jié)合勾股定理會(huì)使計(jì)算更加簡便，注意本題對(duì)a的符號(hào)無限制，無需取舍.7.某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三視圖可知此空間幾何體為三棱柱的切割體，相對(duì)于原三棱柱，只缺失了一個(gè)頂點(diǎn)，所以此幾何體的外接球即為三棱柱外接球，由于底面為直角三角形，所以該外接球可轉(zhuǎn)化為長方體外接球，進(jìn)而求出體積.【詳解】由三視圖可知，此幾何體為三棱柱的切割體，由于保留了大部分頂點(diǎn)，所以其外接球即為原三棱柱外接球，由于底面為直角三角形，所以該外接球是以此三棱柱底面直角邊為長和寬，以此三棱柱的高為高的長方體的外接球，由長方體外接球半徑公式可得：，所以體積為：.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原以及空間幾何體的外接球，三視圖中有兩圖為矩形，即可確定為柱體，一般三視圖中斜的虛線與實(shí)線為切割線.底面為直角三角形的三棱柱外接球?yàn)橐匀庵酌嬷苯沁吅透咦鳛殚L寬高的長方體的外接球.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的結(jié)果為A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖流程，運(yùn)行該框圖即可求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該框圖，可得：；；；，；此時(shí)，輸出.故選B.【點(diǎn)睛】程序框圖問題需要根據(jù)框圖的流程逐步運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)注意按照順序?qū)懗雒恳徊降挠?jì)算結(jié)果，輸出時(shí)注意n的取值.9.函數(shù)的圖像大致是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將定義域分為、兩段，分段化簡函數(shù)解析式，由函數(shù)解析式判斷圖像即可求出結(jié)果.【詳解】分段化簡討論：當(dāng)時(shí)，，對(duì)勾型函數(shù)，排除A、D；當(dāng)時(shí)，，所以排除B.故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，可以根據(jù)奇偶性、化簡解析式、代入特殊點(diǎn)等方法判斷，代入特殊點(diǎn)排除法比較方便，但有時(shí)很難判斷，必要時(shí)要輔助求導(dǎo)等方法.10.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將內(nèi)層函數(shù)化簡為對(duì)勾型函數(shù)，求出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)外層函數(shù)m值進(jìn)行分類討論，求出不同情況下的函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合題干中單調(diào)區(qū)間，求出m的取值范圍.【詳解】將內(nèi)層函數(shù)化簡：，此函數(shù)為對(duì)勾型函數(shù)，所以內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，外層函數(shù)：當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為，所以，無解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為，所以，解得.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”，由參數(shù)的范圍進(jìn)行分類討論，注意區(qū)分題干中的區(qū)間為單調(diào)區(qū)間還是單調(diào)區(qū)間的子集，避免理解錯(cuò)誤，注意函數(shù)本身的定義域與參數(shù)的范圍.11.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若，則A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的位置特點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示出兩個(gè)向量，由向量之間的數(shù)量關(guān)系列方程組，結(jié)合點(diǎn)M在拋物線上，求出點(diǎn)N、點(diǎn)M的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離求出線段長.【詳解】由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，點(diǎn)N的坐標(biāo)，所以向量：，，由向量線性關(guān)系可得：，，解得：，代入拋物線方程可得：，則，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的有關(guān)問題，注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置，若根據(jù)比例求坐標(biāo)注意橫縱坐標(biāo)比例關(guān)系會(huì)有不同.12.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題知，為函數(shù)的一個(gè)極大值，所以，得，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，故選A.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的橫線上.13.已知單位向量，若向量與垂直，則向量與的夾角為__________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，，故答案為.14.定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則_____________【答案】【解析】【分析】由題意知此函數(shù)為周期函數(shù)，將由周期轉(zhuǎn)化至合適的區(qū)間內(nèi)，由奇函數(shù)的定義將函數(shù)轉(zhuǎn)化至已知解析式的區(qū)間內(nèi)，求出函數(shù)值即可.【詳解】由可知函數(shù)周期為4，所以，由奇函數(shù)定義：，代入解析式即可求得：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇偶性，根據(jù)周期性可將函數(shù)變化至相近的定義區(qū)間內(nèi)，再由奇函數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果，也可以根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求出對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的解析式，再求值.15.某校為保證學(xué)生夜晚安全，實(shí)行教師值夜班制度，已知共5名教師每周一到周五都要值一次夜班，每周如此，且沒有兩人同時(shí)值夜班，周六和周日不值夜班，若昨天值夜班，從今天起至少連續(xù)4天不值夜班，周四值夜班，則今天是周___________.【答案】四【解析】因?yàn)樽蛱熘狄拱?，所以今天不是周一，也不是周日若今天為周二，則周一值夜班，周四值夜班，則周二與周三至少有一人值夜班，與至少連續(xù)天不值夜班矛盾若今天為周三，則周二值夜班，周四值夜班，則周三與周五至少有一人值夜班，與至少連續(xù)天不值夜班矛盾若今天為周五，則周四值夜班，與周四值夜班矛盾若今天為周六，則周五值夜班，周四值夜班，則下周一與周二至少有一人值夜班，與至少連續(xù)天不值夜班矛盾，綜上所述，今天是周四16.已知函數(shù)，，，，則關(guān)于的不等式的解集為__________．【答案】【解析】由，得，，，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，從而，令，故不等式的解集為，故答案為.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．（1）求角的大小；（2）若等差數(shù)列的公差不為零，且，且、、成等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）;（2）.【解析】試題分析：（1）由變形得,根據(jù)余弦定理求出角,由有,求出角；（2）由已知條件求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和．試題解析：（1）由，，所以，又，∴，由，，，∴，則為鈍角，，則，∴，解得，∴．（2）設(shè)的公差為，由已知得，且，∴．又，∴，∴．∴，∴．考點(diǎn)：1.余弦定理；2.裂項(xiàng)相消法求和.18.已知某中學(xué)聯(lián)盟舉行了一次“盟校質(zhì)量調(diào)研考試”活動(dòng)，為了解本次考試學(xué)生的某學(xué)科成績情況，從中抽取部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（滿分為分，得分取正整數(shù)，抽取學(xué)生的分?jǐn)?shù)均在之內(nèi)）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（莖葉圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù)）（Ⅰ）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；（Ⅱ）在選取的樣本中，從成績?cè)诜忠陨希ê郑┑膶W(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生參加“省級(jí)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)競賽”，求所抽取的名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關(guān)系易得答案；（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為，列舉法易得試題解析：（Ⅰ）由題意可知，樣本容量，……2分，……4分．……6分（Ⅱ）由題意可知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為，抽取2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：．其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)恰有一人在內(nèi)的情況有10種，∴所抽取的2名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率．考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，在底面ABCD中，AD（Ⅱ）通過垂直關(guān)系證明線與底面垂直，確定高線，由中點(diǎn)性質(zhì)，先求出大的三棱錐體積再乘以即可.【詳解】（Ⅰ）證明：∵，，是的中點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴．又，，是的中點(diǎn)，故．又，由勾股定理得．又，∴平面，∴平面底面．（Ⅱ）∵，是的中點(diǎn)，∴．∵平面平面，平面平面，∴平面．又是的中點(diǎn)，故【點(diǎn)睛】證明垂直一般考慮勾股定理、等腰三角形、直徑所對(duì)圓周角、相似以及線面垂直等方法，求立體圖形的體積可以采用直接求或者用割補(bǔ)法，求三棱錐體積時(shí)可以底面可以選取較容易求的三角形.20.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓：，定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）不垂直于軸且不過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，若直線、的斜率之和為0，則動(dòng)直線是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)？若過一定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）由垂直平分線性質(zhì)與橢圓的定義可知點(diǎn)Q的軌跡為橢圓，長軸長等于半徑,點(diǎn)F、點(diǎn)N分別為左右焦點(diǎn)，由橢圓參數(shù)的性質(zhì)可求得橢圓方程；（Ⅱ）由題意假設(shè)直線l的方程與交點(diǎn)坐標(biāo)，與橢圓聯(lián)立，由斜率公式，表示出兩直線斜率，由斜率之和為0列式可求得參數(shù)的等量關(guān)系，代入直線，即可求得恒過某點(diǎn).【詳解】（Ⅰ）由題意可知，又，由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是為焦點(diǎn)的橢圓，故，即所求橢圓的方程為（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立曲線與直線的方程得，由已知，直線、的斜率之和為，，即有：，化簡得：直線的方程為，所以直線過過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題綜合考察直線與圓錐曲線的知識(shí)，若求軌跡方程時(shí)與圓有關(guān)，則一般會(huì)根據(jù)圓的半徑列等式，證明恒過某點(diǎn)需要將直線表示出來，說明參數(shù)對(duì)某個(gè)點(diǎn)的取值無影響即可.21.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，由求出切線斜率及點(diǎn)，即可求出切線方程；（2）由在定義域區(qū)間上恒成立得，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可求出的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，由在區(qū)間上，函數(shù)至少存在一點(diǎn)使，即由在區(qū)間上，求出的范圍即可.試題解析：已知函數(shù).（1），，，，故切線方程為：.（2），由在定義域內(nèi)為