專題6-2 角【十二大題型】（原卷版）

專題6.2角【十二大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1角的概念及角的度量】 2【題型2角的單位及其換算】 2【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】 3【題型4鐘面上角的特征】 4【題型5方向角】 5【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 7【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】 8【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】 11【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】 13【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】 14【題型11對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】 16【題型12點(diǎn)到直線的距離、垂線段最短】 17【知識(shí)點(diǎn)1角的概念】定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．【知識(shí)點(diǎn)2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個(gè)大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間.用一個(gè)大寫字母表示AAA以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè).用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的概念及角的度量】【例1】（2022·甘肅蘭州·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．由兩條射線組成的圖形叫做角B．角的大小與角的兩邊長(zhǎng)度有關(guān)C．角的兩邊是兩條射線D．用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了【變式1-1】（2022·山東淄博·期中）∠ACB的兩邊分別是（

A．射線AC、BC B．射線CA，CB C．線段AC，BC D．直線CA，CB【變式1-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為______°．【變式1-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB也可用∠O來(lái)表示B．∠β與∠BOC是同一個(gè)角C．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠1與∠AOB是同一個(gè)角【題型2角的單位及其換算】【例2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）若∠1=25°15′，∠2=25°13′3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【變式2-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）下面等式成立的是（

）A．83.5°=83C．15°48'【變式2-2】（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．【變式2-3】（2022·天津南開·七年級(jí)期末）如圖1是一個(gè)14【題型3角的計(jì)數(shù)問(wèn)題】【例3】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個(gè)銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個(gè)銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個(gè)銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個(gè)數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【變式3-1】（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中）如圖所示，∠AOB=90°，則圖中銳角有（）A．12個(gè) B．14個(gè) C．15個(gè) D．16個(gè)【變式3-2】（2022·黑龍江牡丹江·七年級(jí)期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式3-3】（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過(guò)的（

）A．8個(gè)銳角，6個(gè)直角，2個(gè)鈍角 B．12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角C．8個(gè)銳角，10個(gè)直角，2個(gè)鈍角 D．6個(gè)銳角，8個(gè)直角，2個(gè)鈍角【知識(shí)點(diǎn)3鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題】鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【題型4鐘面上角的特征】【例4】（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．3時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角是90° B．6時(shí)30分，時(shí)針與分針重合C．8時(shí)45分，時(shí)針與分針的夾角是30° D．9時(shí)整，時(shí)針與分針的夾角是90°【變式4-1】（2022·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）時(shí)鐘的分針從8點(diǎn)整轉(zhuǎn)到8點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)了（）度．A．20 B．120 C．90 D．150【變式4-2】（2022·山東煙臺(tái)·期中）當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成120°的角，此時(shí)的時(shí)刻是______．【變式4-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵惶?4小時(shí)中，當(dāng)鐘面角為0°時(shí)，時(shí)針與分針重合_____次．【知識(shí)點(diǎn)4方向角】在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【題型5方向角】【例5】（2022·山東煙臺(tái)·期末）如圖，某海域中有A，B兩個(gè)小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對(duì)于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【變式5-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏東70°方向走到點(diǎn)B，乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西15°方向走到點(diǎn)C，則∠BAC的度數(shù)是（）A．85° B．105° C．125° D．160°【變式5-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向這兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)確定．問(wèn)：(1)漁船B相對(duì)小島的位置應(yīng)怎樣表述？(2)小島的北偏東30°方向，距離小島30km處是哪艘漁船？【變式5-3】（2022·重慶綦江·七年級(jí)期中）某部隊(duì)在大西北戈壁灘上進(jìn)行軍事演習(xí)，部隊(duì)司令部把部隊(duì)分為“藍(lán)軍”、“紅軍”兩方．藍(lán)軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地B地，A地在B地的正西邊（如圖）．部隊(duì)司令部在C地．C在A的北偏東60°方向上、在B的北偏東30°方向上．(1)∠BAC=______°；(2)演習(xí)前，司令部要藍(lán)軍、紅軍派人到C地匯報(bào)各自的準(zhǔn)備情況．紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍(lán)軍一部越野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時(shí)到達(dá)C地．已知吉普車行駛了18分鐘．A到C的距離是B到C的距離的1.7倍．越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米．求越野車、吉普車的速度及B地到C地的距離（速度單位用：千米/時(shí)）．【知識(shí)點(diǎn)5角的比較與運(yùn)算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小．方法2：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【知識(shí)點(diǎn)6角的和、差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【知識(shí)點(diǎn)7角平分線】從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【題型6與角平分線相關(guān)的角的運(yùn)算】【例6】（2022·江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，(1)如圖1，當(dāng)OC在OB左側(cè)，且α=80°(2)當(dāng)OC的位置不確定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究∠DOE的大小與α(3)當(dāng)∠DOE的度數(shù)為36°時(shí)，請(qǐng)直接寫出α【變式6-1】（2022·山東煙臺(tái)·期末）有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，∠AOB=∠COD，且OE為∠BOC的角平分線．(1)如圖1，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦OE和∠DOE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，∠AOE和∠DOE是否仍然滿足（1）中關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若∠AOB=90°，∠AOC=64°，求出∠BOE的度數(shù)．【變式6-2】（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大?。?3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過(guò)多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【變式6-3】（2022·內(nèi)蒙古·察哈爾右翼前旗教學(xué)研究室七年級(jí)期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“平分”條件改為“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度數(shù)為．【題型7與角n等分線相關(guān)的角的運(yùn)算】【例7】（2022·貴州畢節(jié)·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)在一直線上，從點(diǎn)C引射線CD、CE、CF，∠DCE＝13∠ECA，∠FCE＝13∠(1)求∠DCF的大小，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)∠DCE＝1n∠ECA，∠FCE＝1n∠ECB時(shí)，直接寫出∠DCF的大?。ㄓ煤咀兪?-1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝1n∠BOC，∠BOD＝1n∠AOB，則∠DOE＝________°．（用含【變式7-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知:∠AOB和∠COD是直角．（1）如圖，當(dāng)射線OB在∠COD內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦OD和∠BOC之間的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)射線OA,射線OB都在∠COD外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)О作射線OE，射線OF，滿足∠BOE=13∠BOC，∠DOF=（3）如圖3，在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線OG，使得∠GOF:∠GOE=2:3，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出∠GOF的度數(shù)．【變式7-3】（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠【解決問(wèn)題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長(zhǎng)線重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．問(wèn)：當(dāng)射線OC運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【題型8在三角板中的角的運(yùn)算】【例8】（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）將一副三角板如圖1擺放．∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．(1)∠MON=___________；(2)將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，求∠MON；(3)將圖1中的三角板OCD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求∠MON．【變式8-1】（2022·山東棗莊·七年級(jí)期中）如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)疊放在一起進(jìn)行探究．(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分線，請(qǐng)你猜想此時(shí)CB是不是∠ECD的平分線，并簡(jiǎn)述理由；(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在∠DCE的內(nèi)部，請(qǐng)猜想∠ACE與∠DCB是否相等，并簡(jiǎn)述理由．【變式8-2】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板ABC、ADE按如圖1放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（∠EAD=30°、∠BAC=45°），并將三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持0°<∠CAD≤30°．(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、E在同一直線上時(shí)，則∠BAD=____；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖3，當(dāng)∠BAE=30°時(shí)．請(qǐng)說(shuō)明AC平分∠DAE；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖4，當(dāng)∠BAE=4∠CAD時(shí)，求此時(shí)∠CAE的度數(shù)．【變式8-3】（2022·安徽·宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=30°，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在O處，即∠DOE=90°．(1)如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD=______；(2)如圖2，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，①若OE恰好平分∠AOC，則∠COD=______；②若OD在∠BOC內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出∠BOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系為______；(3)將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（OD與OB重合時(shí)為停止）的過(guò)程中，恰好有∠COD=15∠AOE，求此時(shí)【知識(shí)點(diǎn)8余角和補(bǔ)角】（1）定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（2）性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．【題型9余角和補(bǔ)角的計(jì)算】【例9】（2022·河南平頂山·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥AB，∠1=28°，OE是∠AOD的平分線，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度數(shù)．(2)找出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角，并求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)．【變式9-1】（2022·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的15【變式9-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第136中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是和；∠BOD的余角是和．(2)已知∠COD=40°，求∠COE的度數(shù)．【變式9-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）已知：如圖所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；（2）求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，則∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由．【題型10同（等）角的余角和補(bǔ)角相等的運(yùn)用】【例10】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在同一平面內(nèi)，∠AOB=∠COD=90°，∠AOF=∠DOF，點(diǎn)E為OF反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)（圖中所有角均指小于180°的角）．下列結(jié)論：①∠COE=∠BOE；②∠AOD+∠BOC=180°；③∠BOC?∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-1】（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AOE是一條直線，OB⊥AE,OC⊥OD，圖中互補(bǔ)的角有（

）A．4對(duì) B．5對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì)【變式10-2】（2022·河北秦皇島·七年級(jí)期中）如圖，已知直線AB、CD、EF、MN相交于點(diǎn)O，CD⊥AB，OC平分∠EOM，圖中∠EOC的余角的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式10-3】（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，直線b經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．在下面的五個(gè)式子中：①180°?∠2；②∠3；③2∠1+∠2；④2∠3?2∠1?∠2；⑤180°?∠1，等于∠2的補(bǔ)角的式子的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【題型11對(duì)頂角的識(shí)別及其性質(zhì)】【例11】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)期中）下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A． B．C． D．【變式11-1】（2022·廣東·