第03講 平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）-(原卷版)

第03講平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．考點(diǎn)一：平行線的性質(zhì)【例題1】（2021秋?宜賓期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【變式訓(xùn)練1】（（2020秋?寧波期末）如圖，已知AB∥CD，則下列結(jié)論中正確的是（）A．∠EAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠DCA C．∠ADB＝∠DBC【變式訓(xùn)練2】（（2021?浙江模擬）如圖，三根木條相交形成∠1，∠2，∠3，∠4（∠1為銳角）固定木條b，c，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a，則可能和∠1相等的角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．不存在【變式訓(xùn)練3】（（2021秋?鄞州區(qū)月考）如圖，AB∥CD，∠A＝25°，∠E＝80°，則∠C的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練4】（（2020秋?溫州期末）一副直角三角板，按如圖方式疊放在一起，其中∠A＝45°，∠D＝30°．若DF∥BC，則∠AGE等于．【變式訓(xùn)練5】（（2021秋?溫州月考）已知：如圖，直線m∥n，將Rt△ABC按如圖方式放置，其中點(diǎn)C在直線n上，點(diǎn)A在直線m上，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練6】（（2021春?上虞區(qū)期末）如圖，將直角三角板ABC與直尺貼在一起，使三角板ABC的直角頂點(diǎn)C在直尺的一邊上，若∠1＝63°，則∠2的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練7】（（2021秋?瓊海期末）一副三角板擺放如圖所示，斜邊FD與直角邊AC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D在直角邊BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．95° B．105° C．115° D．125°【變式訓(xùn)練8】（（2021?浙江模擬）如圖，將一副直角三角板按如圖所示位置擺放，∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，點(diǎn)D在邊AC上，若EF∥BC，則∠ADE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．80°【變式訓(xùn)練9】（（2021?義烏市模擬）如圖，一輛汽車經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛的方向與原來保持平行，如果第一次轉(zhuǎn)過的角α為64°，則第二次轉(zhuǎn)過的角β為°．【變式訓(xùn)練10】（（2020秋?柯橋區(qū)期末）如圖，把△ABC剪成三部分，邊AB，BC，AC放在同一直線l上，點(diǎn)O都落在直線MN上，直線MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝125°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【變式訓(xùn)練11】（（2021秋?平陽縣期中）如圖1是一個(gè)消防云梯，其示意圖如圖2所示，此消防云梯由救援臺(tái)AB，延展臂BC（B在C的左側(cè)），伸展主臂CD，支撐臂EF構(gòu)成，在操作過程中，救援臺(tái)AB，車身GH及地面MN三者始終保持平行．當(dāng)∠EFH＝65°，BC∥EF時(shí)，∠ABC＝度；如圖3，為了參與另外一項(xiàng)高空救援工作，需要進(jìn)行調(diào)整，使得延展臂BC與支撐臂EF所在直線互相垂直，且∠EFH＝68°，則這時(shí)∠ABC＝度．【變式訓(xùn)練12】（（2021春?嵊州市期末）如圖，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分別平分∠ABO，∠OCD，則∠2﹣∠1＝．【變式訓(xùn)練13】（（2021春?嵊州市期末）如圖，將長方形紙片沿EB，CF折疊成圖1，使AB，CD在同一直線上，再沿BF折疊成圖2，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，BD'交CF于點(diǎn)P，若∠CEB＝37°，則∠CPB的度數(shù)為（）A．110° B．111° C．112° D．113°【變式訓(xùn)練14】（（2021春?諸暨市期末）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，則∠GFH＝．考點(diǎn)二：平行線的判定與性質(zhì)【例題2】（2021春?浦江縣期末）如圖是小聰同學(xué)的作業(yè)，在※處填的理由是（）如圖，∠A+∠D＝180°，則∠DCE＝∠B．完成下面的說理過程．解：已知∠A+∠D＝180°，根據(jù)（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），得AB∥CD又根據(jù)（※）得∠DCE＝∠BA．兩直線平行，同位角相等 B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．同位角相等，兩直線平行【變式訓(xùn)練1】（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，能判定BE∥CD的條件是（）A．∠BAD+∠2＝180° B．∠1＝∠B C．∠BAD+∠B＝180° D．∠1＝∠D【變式訓(xùn)練2】（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，已知直線AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分線，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，則∠3＝．【變式訓(xùn)練3】（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度數(shù)．請(qǐng)完善解答過程，并在括號(hào)內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù)．解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴∥（），∴∠3+∠4＝180°（），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝．【變式訓(xùn)練4】（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知a，b，c，d四條直線，若∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝65°，則∠4＝度．【變式訓(xùn)練5】（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請(qǐng)完成下面的說理過程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【變式訓(xùn)練6】（2021?椒江區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1+∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度數(shù)．【變式訓(xùn)練7】（2021春?嵊州市期末）如圖，D是BC上一點(diǎn)，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．（1）若∠1＝∠A，判斷DF與AC是否平行，并說明理由；（2）若DF∥AC，∠B+∠C＝120°，求∠1的度數(shù)．【變式訓(xùn)練8】（2021春?任丘市期末）如圖，直線l1，l2被l3所截，下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③l1∥l2，其中能判斷AC∥BD的條件是．【變式訓(xùn)練9】（2021?溫州三模）如圖，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．（1）請(qǐng)說明BD∥FG的理由．（2）若D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，已知AB＝4，BC＝3，求FG的長度．【變式訓(xùn)練10】（2021春?長興縣月考）如圖，已知CF∥AG，E是直線AB上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，射線CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度數(shù)；（2）若∠1＝32°，說明：AB∥CD．類型一、平行線的性質(zhì) 例1、如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù).【變式】如圖，直線AB∥CD，∠C=44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°類型二、兩平行線間的距離例2、如圖，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)B在l2上．設(shè)△ABC1的面積為S1，△ABC2的面積為S2，△ABC3的面積為S3，小穎認(rèn)為S1=S2=S3，請(qǐng)幫小穎說明理由．【變式】下圖是一個(gè)方形螺線．已知相鄰均為1厘米，則螺線總長度是厘米.類型三、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用例3、如圖所示，在長為50m，寬為22m的長方形地面上修筑寬度都為2m的道路，余下的部分種植花草，求種植花草部分的面積．【變式】如圖①，在寬為20m、長為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得耕地的面積為()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2例4、如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，下面給出三個(gè)論斷：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．請(qǐng)你以其中的兩個(gè)論斷為條件，填入“已知”欄中，以一個(gè)論斷為結(jié)論，填人“試說明”欄中，使之成為一個(gè)完整的正確命題，并將理由敘述出來．已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，________，________，試說明________．【變式】已知，如圖，∠1=∠2，∠3=65°，則∠4＝.例5、如圖，AB∥CD，點(diǎn)M，N分別為AB，CD上的點(diǎn).（1）若點(diǎn)P1在兩平行線內(nèi)部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，則∠MP1N＝；（2）若P1，P2在兩平行線內(nèi)部，且P1P2不與AB平行，如圖，請(qǐng)你猜想∠AMP1+∠P1P2N與∠MP1P2+∠P2ND的關(guān)系，并證明你的就論；（3）如圖，若P1，P2，P3在兩平行線內(nèi)部，順次連結(jié)M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不與AB平行，直接寫出你得到的就論.【變式】如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?上虞區(qū)期末）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，設(shè)∠1為x度，用關(guān)于x的代數(shù)式表示α，則表示正確的是（）A．α＝120°﹣x B．α＝90°﹣x C．α＝60°+x D．α＝45°+x2．（2021春?北侖區(qū)期末）如圖，平行直線a，b被直線c所截，∠1＝120°，則∠2的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°3．（2021春?西湖區(qū)期末）如圖，直線a與直線b被直線c所截，b⊥c，垂足為點(diǎn)A，∠1＝60°，若使直線b與直線a平行，則可將直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）A．60° B．40° C．30° D．20°4．（2021春?拱墅區(qū)期中）下列語句中正確的是（）A．經(jīng)過一點(diǎn)有只有一條直線與已知直線平行 B．如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等 C．垂直于同一直線的兩條直線互相平行 D．平行于同一條直線的兩條直線互相平行5．（2020?奎文區(qū)一模）如圖，若∠A+∠ABC＝180°，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠36．（2020春?曹縣期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有條件（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD二．填空題（共6小題）7．（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，AB∥CD，CB∥DE，若∠D＝2∠B+30°，則∠C的度數(shù)為°．8．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠A＝60°，∠B＝76°，則∠EDC的度數(shù)為．9．（2021?寧波模擬）如圖，AB⊥CD于點(diǎn)B，BE∥AC，∠DBE＝40°，則∠A的度數(shù)為度．10．（2021?江干區(qū)模擬）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)B，F(xiàn)．若∠E＝35°，∠EFC＝120°，則∠A＝．11．（2020春?如皋市期末）如圖，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝70°，則∠4＝．12．（2020春?下城區(qū)期末）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4＝．三．解答題（共8小題）13．（2021春?寧陽縣期末）如圖，CD是∠ACB的平分線，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．14．（2019春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，∠B＝60°，∠FCG＝90°，CF平分∠BCE，求∠BCG的度數(shù)．15．（2018春?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度數(shù)．16．（2021春?嘉興期末）如圖，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判斷DF與AC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度數(shù)．17．（2021春?慈溪市期末）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，說明AD∥BC的理由．18．（2021春?雙遼市期末）如圖所示，AD與BE相交于點(diǎn)F，∠A＝∠C，∠1與∠2互補(bǔ)．證明：AB∥CE．19．（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，試說明∠ACB＝∠DEB．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵+∠5＝180°（平角的意義），∴∠2＝（同角的補(bǔ)角相等），∴AB∥EF（），∴∠3＝（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴＝∠A（等量代換），∴∥AC（），∴∠ACB＝∠DEB（）．20．（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，F(xiàn)G∥CD，∠1＝∠3，∠B＝60°，求∠BDE的度數(shù)，請(qǐng)把下面的解答過程補(bǔ)充完整．解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝（）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝（），∴BC∥（），∴∠B+＝180°（）．又∵∠B＝60°（已知），∴∠BDE＝（）．聲題組B能力提升練一．選擇題（共7小題）1．（2021春?浦江縣期末）如圖，AD∥BE，AC與BC相交于點(diǎn)C，且∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA．若∠C＝45°，則n＝（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021春?椒江區(qū)期末）如圖，BD為∠ABC的角平分線，AD∥BC，∠BDC＝90°，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠A+∠C＝180° B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝90°3．（2021春?望城區(qū)期末）將一個(gè)直角三角板和一把直尺按如圖所示擺放，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．50° D．55°4．（2021?啟東市模擬）如圖，把長方形ABCD沿EF對(duì)折，若∠1＝44°，則∠AEF等于（）A．136° B．102° C．122° D．112°5．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一副三角板如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，則有BC∥AE；③如果∠2＝30°，則有DE∥AB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正確的有（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④6．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，則下列結(jié)論：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，小明用兩塊同樣的三角板，按下面的方法作出了平行線，則AB∥CD的理由是（）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°二．填空題（共9小題）8．（2021?深圳模擬）將一把直尺和一塊含30°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度數(shù)為．9．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）在平面內(nèi)，將一個(gè)直角三角板按如圖所示擺放在一組平行線上，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是．10．（2020春?東陽市期末）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按順時(shí)針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時(shí)針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)45秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒時(shí)，PB′∥QC′．11．（2021秋?平陽縣期中）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB，EF與上拉桿CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB＝40°時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，則∠H的度數(shù)是．12．（2020春?海曙區(qū)期末）兩塊不同的三角板按如圖所示擺放，兩個(gè)直角頂點(diǎn)C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接著保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，但保證點(diǎn)D在直線AC的上方，若三角板CDE有一條邊與斜邊AB平行，則∠ACD＝．13．（2021春?濱江區(qū)校級(jí)期末）如圖a，已知長方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝°．14．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OB交∠AOB的平分線OE于點(diǎn)F，作CH⊥OB交BO的延長線于點(diǎn)H，若∠EFD＝α，現(xiàn)有以下結(jié)論：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正確的是（填序號(hào)）．15．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即PQ∥MN．如圖所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行．16．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，AE∥CF，∠ACF的平分線交AE于點(diǎn)B，G是CF上的一點(diǎn)，∠GBE的平分線交CF于點(diǎn)D，且BD⊥BC，下列結(jié)論：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③與∠DBE互余的角有2個(gè)；④若∠A＝α，則∠BDF＝．其中正確的有．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）三．解答題（共9小題）17．（2021春?溫州期末）如圖，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，且∠ABE＝∠DBC，∠ABC＝∠AEB．（1）試判斷AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，求∠D的度數(shù)．18．（2021春?諸暨市月考）推理填空：如圖，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．將求∠AGD的過程及依據(jù)填寫完整．∵EF∥AD，∴∠2＝（），又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠BAC+＝180°（），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝．19．（2021春?鶴城區(qū)期末）如圖，E，G是分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判斷AD與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝145°，求∠B的度數(shù)．20．（2021春?拱墅區(qū)月考）如圖，已知點(diǎn)A在EF上，點(diǎn)P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求證：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度數(shù)．21．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠ABC和∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，延長CP交AB于點(diǎn)Q，且∠PBC+∠PCB＝90°．（1）求證：AB∥CD．（2）探究∠PBC與∠PQB的數(shù)量關(guān)系．22．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，D、E、F分別在△ABC的三條邊上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．（1）DF與AC平行嗎？請(qǐng)說明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度數(shù)．23．（2020秋?北侖區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，過點(diǎn)O引一條射線OC，使∠AOC＝50°，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）∠BOC的度數(shù)是，圖1中與它互補(bǔ)的角是．（2）三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可表示為（用含t的代數(shù)式表示）：當(dāng)t＝時(shí)，MO⊥OC．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（3）當(dāng)t為何值時(shí)，OM⊥OE，并說明理由？（4）試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)0≤t≤，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得∠COM與∠COE中其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．（2021春?諸暨市期末）如圖，直線FG∥直線HK，一塊三角板的頂點(diǎn)A在直線HK上，邊BC、AC分別交直線FG于D、E兩點(diǎn)．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．（1）如圖1，∠BAH＝40°，則：①∠FDB＝°；②若∠CDE與∠CAK的角平分線交于點(diǎn)I，則∠I＝°．（2）如圖2，點(diǎn)I在∠EDC的平分線上，連接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度數(shù)；（3）如圖3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，則∠I＝°（用含n的式子表示）．25．（2021春?嵊州市期末）如圖，直線AB、CD被DQ所截，AB∥CD，∠BDC＝50°，點(diǎn)E是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)D不重合），連結(jié)BE，作∠ABE的角平分線交直線CD于點(diǎn)F．（1）如圖1，點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)，若∠DBE＝20°，求∠EBF的度數(shù)．（2）射線BG平分∠EBQ．①如圖2，點(diǎn)E在點(diǎn)D左側(cè)，求∠FBG的度數(shù)．②若F′是BF反向延長線上的一點(diǎn)，求∠F′BG的度數(shù)．題組C培優(yōu)拔尖練一．解答題（共8小題）1．（2020秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F（1）當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時(shí)，則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為；（2）當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時(shí)，求證：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點(diǎn)O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度數(shù)．2．（2021春?臨邑縣期末）如圖，直線CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度數(shù)；（2）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個(gè)比值．（3）在平行移動(dòng)AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說明理由．3．（2021春?河北區(qū)期末）如圖