2022年中考數(shù)學(xué)壓軸專題思維突破（尖子生專用）隱圓2直角圓周角模型解析版

直魚圓周窗演型

公基礎(chǔ)必備

根據(jù)圓周角定理，直徑所對圓周角為直角。這句話反過來說也是正確的，即當(dāng)一動點(diǎn)對一固定線段所成張

角始終為直角時，那么這個動點(diǎn)的軌跡就是圓。利用上述原理確定隱形圓的方法，我們稱為直角圓周角模

型。

出圖形呈現(xiàn)

在平面中，線段AB位置和長度都是固定的，動點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，對AB線段所成張角NAPB始終為直角，則點(diǎn)P

的軌跡為圓?。[形圓）。從本質(zhì)上講，因?yàn)镺P=OA=OB（斜中定理），所以可以回歸到最原始的動點(diǎn)定長模型（定

義法）理解。

Q知識點(diǎn)津

動點(diǎn)P到圓上一點(diǎn)距離PQ的最大值和最小值：連接動點(diǎn)何圓心（0P）,與圓交于M、N兩點(diǎn)

PQ最大值:PM（OP+r）,PQ最小值:PN（OP-r）

※思路提煉

見定角（直角）f尋定長（直徑）f定圓心（確半徑）f現(xiàn)圓形

題型一條件直接給出直角三角形

【典例1】如圖，RtZXABC中，NACB=90。，AC=BC=4,D為線段AC上一動點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)C作CHJ_BD于H,連接AH,則

AH的最小值為—.

如圖，取BC中點(diǎn)G,連接HG,AG,

A

點(diǎn)G是中點(diǎn)

HG=CG=BG=1B（7=2,

在中，

AG=y/AC2+CG2=2/

在△4HG中，AH^AG-HG,

即當(dāng)點(diǎn)H在線段4G上時，最小值為

2^/5-2,

故答案為：2收一2

【變式1】如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn)C在半圓。上，AB=10,AC=8.。是弧BC上的一個動點(diǎn)，連接AQ,過點(diǎn)C

作CELA。于E,連接BE.在點(diǎn)。移動的過程中，2E的最小值為.

答案為：2至一4

【分析】E是動點(diǎn)，E點(diǎn)由點(diǎn)C向4。作垂線得來，NAEC=90。，且4c是一條定線段，所以E點(diǎn)軌跡是以AC為直徑的

圓弧.當(dāng)5、E、M共線時，8E取到最小值.連接8C,勾股定理求2M,再減去EM即可.

【變式2】如圖，以G（0,1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。G

上一動點(diǎn)，CFLAE于F,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為.

連接4C,AG,

?：GOYAB,

，0為的中點(diǎn)，即

AO=BO=^AB,

?.?G(O,1),即OG=1

i

.?.在中，根據(jù)勾股定理得:

AO=yjA0-0"=V3.

AB=2AO=2y/3t

又CO=CG+GO=2+1=3,

.?.在空期勾股定理得：

AC=J。。?+。。2=273,

CF±AE,

△力CFi臺終是直角三角形，點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡

為以4。為直徑的半圓，

當(dāng)E位于點(diǎn)8時，COL4E,此時F與O重合；

當(dāng)E位于。時，CA1AE,此時F與4重合，

當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)3型順時針運(yùn)動到點(diǎn)。時，點(diǎn)F

所經(jīng)過的路徑長彩，

AO_V3

在中，tanco=V

Z4C0=30°,

右度數(shù)為60°,

?.,直徑4。=2避，

二益的長為明￥=等，

則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)。時，點(diǎn)F

所經(jīng)過的路徑長

O

題型二由三角形全等得到直角

【典例2】(2013?武漢中考)如圖，E、F是正方形ABC。的邊AO上的兩個動點(diǎn)，滿足AE=Z)F,連接CF交8。于點(diǎn)G,

連接BE交AG于點(diǎn)H,若正方形邊長為2,則線段?！ㄩL度的最小值是.

【分析】根據(jù)條件可知：/D4G=/DCG=/48E,易證AG_LBE,即乙4”8=90。，所以“點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧

當(dāng)。、H、。共線時，?！叭〉阶钚≈?，勾股定理可求.答案為6-1

【變式1】如圖，正方形ABCD中，AB=2,動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動，同時動點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E、F

運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P,則線段DP的最小值為

又?.?正方形中，AB=2,

AD=AB,

在△ABE和△D4F中，

'AB=AD

<Z.BAE=ZADF,

^AE=DF

：./\ABE=/\DAF,

ZABE=ADAF.

^ABE+ABEA=90°,

/.乙PAD+NBB4=90°.

：,AAPB=^°,

:點(diǎn)P在運(yùn)動中保持N4PB=90°,

，點(diǎn)理路徑是一段以4B為直徑的弧

設(shè)處的中點(diǎn)為G連接CG交弧于點(diǎn)H此時

CP的長度最小,

AG=BG=-AB=1.

2

在RtABCGG

DG=海+初=機(jī)2+22=0

)

PG=AG=1,

：,DP=DG-PG=^-1

即線段DP的最小值為mL

故答案為：V5-1.

【變式2】如圖，正方形ABCD中，AB=2,動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動，同時動點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E、F

運(yùn)動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時停止運(yùn)動，運(yùn)動過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P,M是線段BC上任意一點(diǎn)，則

MD+MP的最小值為.

如圖作點(diǎn)。關(guān)于BC的對稱點(diǎn)連接PZ7,

V1

由軸對稱的性質(zhì)可知：MD=D'M,

CD=erf=2

：.PM+DM=PM+MD=PD1

過點(diǎn)P作PE垂直。。，垂足為G,

易證4FLBE,故可知尸的軌跡為以AB為直徑

的四分之一圓弧上，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)0重合，點(diǎn)F與

點(diǎn)。重合時，PG和G。'均最短，

.?此時,PD'最短

?.?四邊形4BCD為正方形，

;.PG=]-AD=1,GC=]-DC=1.

LL

：,GD'=3.

在用"GD'中，由勾股定理得:

PD=yPG2+GDa=02+32

故答案為：視.

【變式3】直線y=x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N,邊長為2的正方形OABC一個頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AN與MC相交

于點(diǎn)P,若正方形OABC繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P的位置也發(fā)生變化，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)距離的最小值為—.

在△MOC和△NO4中,

'OA=OC

<ZMOC=^AON,

、OM=ON

△MOC三△NO4

/.ACMO=乙ANO、

ZC,MO+ZMCO=90o,

ZMCO=乙NCP,

：.ANCP+ACNP=90°,

：.NMPN=90°

MP±NP,

在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中，同理可證，

NCMO=AANO,可得/MPN=90°

,MPLNP,

.?.P在以MN為直徑的圓上，

?.?/(一4,0),N(0,4),

.咽心G為(-2,2),半徑為2蝕，

:PG-GC&PC,

.,?當(dāng)圓心G點(diǎn)P,C(0,2)三點(diǎn)共線時,PCI

小，

VGN=GM,CN=CO=2,

：,GC=^OM=2,

這個最小值為GP—GC=2播一2.

故答案為：24一2.

【變式4】如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=4cm,CO是中線，點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)。出發(fā)，以相同的速

度分別沿。C、方向移動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時，運(yùn)動停止，直線AE分別與CEBC相交于G、H,則在點(diǎn)E、尸移動

過程中，點(diǎn)G移動路線的長度為

ADFB

D.正兀

A.2B.兀C.2兀

2

解：如圖,

*：CA=CB,ZACB=90°,AD=DB9

:?CD_LAB,

：.ZADE=ZCDF=90°,CD=AD=DB,

在△ADE和尸中，

AD=CD

</ADE=/CDF,

DE=DF

：./\ADE^/\CDF(SAS),

:.ZDAE=ZDCF9

VNAED=/CEG,

:.NAO"NCGE=90。，

???A、C、G、。四點(diǎn)共圓，

???點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡為弧CD,

VAB=4,AB=y/2AC,

?,.AC=2億

OA.=OC=-^2，

?：DA=DC,OA=OCf

：.DOA.AC,

：.ZDOC=90°9

：.點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡的長為907rx"=也九

1802

故選：D.

題型三由幾何關(guān)系得到直角

【典例3】(2016?安徽中考)如圖，RtA48C中，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足/%B=

NPBC,則線段CP長的最小值是.

A

【分析】?:NPBC+NPBA=90。,NPBC=/PAB,

：.ZR\B+ZPBA=90°,

：.ZAPB=90°,

點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧.

當(dāng)0、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求。C,再減去0P即可.

【變式1］（2021?湖北鄂州）如圖，R/AABC中，NACB=90°,AC=2百，BC=3.點(diǎn)P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿

足PA?+PC?=.當(dāng)PB的長度最小時，A4CP的面積是（）

A.3B,3；3C.乎。.吟

A

B

【答案】D

【分析】

由題意知NAPC=90。，又AC長度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以AC中點(diǎn)。為圓心，,AC長為半徑的圓弧，所以當(dāng)

2

B、尸、。三點(diǎn)共線時，B尸最短：在K3CO中，利用勾股定理可求B。的長，并得到點(diǎn)尸是5。的中點(diǎn)，由線段長度

即可得到APCO是等邊三角形，利用特殊用AAPC三邊關(guān)系即可求解.

【詳解】

解：PA1+PC2=AC2

ZAPC=90°

取AC中點(diǎn)。，并以。為圓心，,AC氏為半徑畫圓

2

由題意知：當(dāng)8、P、。三點(diǎn)共線時，最短

.-.AO^PO^CO

VCO=-AC=-x2y/3=>j3,BC=3

22

BO=VBC2+CO2=2百

/.BP=BO-PO=6

，點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)

..在R/AfiCO中，CP=LB0=6=P0

2

APCO是等邊三角形

ZACP=60°

二在用AAPC中，AP=CPxtan60°=3

【點(diǎn)睛】

本題主要考察動點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動態(tài)幾何綜合題型，中檔難度.解題的關(guān)鍵

是找到動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，即隱形圓.

題型四由幾何性質(zhì)得到直角

【典例4】如圖，在Rt^ABC中，NAC8=90。，BC=4,4C=10,點(diǎn)。是AC上的一個動點(diǎn)，以C。為直徑作圓O,連接

BD交圓O于點(diǎn)E,則AE的最小值為.

(分析］連接CE,由于CO為直徑，故/CEC=90°,考慮到CD是動線段，故可以將此題看成定線段CB對直角ZCEB.取

C8中點(diǎn)仞，所以E點(diǎn)軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓弧.連接AM,與圓弧交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)，此時AE值最小，

AE^AM-EM=>J102+22-2=2426-2.

【變式1］在RtAABC中,ZC=90°,4c=10,8c=12,點(diǎn)。為線段8c上一動點(diǎn).以C。為。。直徑，作4。交。O

于點(diǎn)E,連BE,則BE的最小值為.

【解答】解：解：如圖，連接CE,

.?.NCE￡)=NCEA=90。，

...點(diǎn)E在以AC為直徑的0Q上，

：AC=10,

：.QC=QE=5,

當(dāng)點(diǎn)。、E、B共線時BE最小，

VBC=12,________

：.QB=^C2+QC2=13,

：.BE=QB-QE=S,

.,.BE的最小值為8,

故答案為8._

【變式2】如圖，在等腰RSABC中，N84C=90。，AB=AC,BC=幺次，點(diǎn)。是AC邊上一動點(diǎn)，連接B。，以4。為

直徑的圓交BD于點(diǎn)E,則線段CE長度的最小值為2亞-2.

,：AD為直徑,

ZAED=90°,

：.ZAEB=90°,

...點(diǎn)E在以AB為直徑的。。上，

；。0的半徑為2,

當(dāng)點(diǎn)0、E、C共線時，CE最小，如圖2,

在RSA0C中，：0A=2,AC=4,

0C=VOA2+AC2=2加，

:.CE=OC-0E=2臟-2,_

即線段CE長度的最小值為2旄-2.

故答案為2旄-2.

【變式3】如圖，A(1,0)、B(3,0),以AB為直徑作圓M,射線0F交圓M于E、F兩點(diǎn)，C為弧AB的中點(diǎn)，D為EF

的中點(diǎn)，當(dāng)射線0F繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為,

。為EF的中點(diǎn)，

/,MD1EF,

NO0M=9O°,

.?.點(diǎn)。在以4點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，

當(dāng)0點(diǎn)為CA與。4的交點(diǎn)時，的值最小,

此時=4C-1=收一1,

即。。的最小值為，2—1.

故答案為收-1.

【變式4】如圖，aACB中，CA=CB=4,NACB=90。，點(diǎn)P為C4上的動點(diǎn)，連BP,過點(diǎn)A作尸于當(dāng)點(diǎn)P

從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A時，線段8M的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為（)

A,正兀

B.&兀C.垂)71D.2

2

設(shè)48的中點(diǎn)為Q,連接NQ,如圖所示：

,.?N為的中點(diǎn)，Q為4B的中點(diǎn)，

NQ為的中位線，

AMVBP,

：.QN1BN,

：.NQNB=90。，

.?.點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)。為圓心，^AB

長為半徑的圓交CB于。的

QD,

?：CA=CB=4,ZACB=90°,

AB=y/2CA=4退，（QBD=45°,

NDOQ=90°,

QO為00的1周長，

二線段的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為:

907rx1x4通通

180二〒死

故選：A.

題型五由圖形特性得到斜邊（直徑）

【典例5】如圖，在正方形中，43=40,E,F分別為BC,AD上的點(diǎn)，過點(diǎn)￡,F的直線將正方形AB8

的面積分為相等的兩部分，過點(diǎn)4作AGL防于點(diǎn)G,連接。G,則線段DG的最小值為.

過點(diǎn)E、F的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分,

.?.￡F過點(diǎn)O，

■.■AGA.EF,

ZAGO=90°,

.?.點(diǎn)G在以AO為直徑的半圓弧上，

設(shè)AO的中點(diǎn)為M,

連接DM交半圓弧于G,

則此時，OG最小，

?.?四邊形是正方形，AB=4應(yīng),

.?.AC=8，ACA.BD,

AO=OD=-AC=4<

2

.-.AM=OM=-AO=2,

2

DM=yJOM2+OD2=2后,

:.DG=2y/5-2.

【變式I】如圖，正方形ABC。的邊長為4,動點(diǎn)瓜尸分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿48、CO向終點(diǎn)

B、D移動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)2時，運(yùn)動停止，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG,垂足為點(diǎn)G,連接AG,則AG長的最小值為.

BC

【分析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有AE=CF,8G_LEF,但/BGE所對的8E邊是不確定的.

重點(diǎn)放在AE=CF,可得EF必過正方形中心。點(diǎn)，連接BC,與EF交點(diǎn)即為。點(diǎn).

/3G0為直角且8。邊為定直線，故G點(diǎn)軌跡是以80為直徑的圓.記50中點(diǎn)為M點(diǎn)，當(dāng)A、G、M共線時，AG取到

最小值，利用R3A0M勾股定理先求AM,再減去GM即可.答案為W—

【典例6】如圖，在矩形9CD中，AB=12,BC=9,點(diǎn)、E,尸分別為邊AB,CD上的動點(diǎn)，且BE=2FD.連接3D、

EF交于點(diǎn)、H.連接A”，過點(diǎn)A作AG_LE產(chǎn)于點(diǎn)G,連接8G,則8G的最小值為.

【解答】解：?.?8￡7/￡）「，

BHBE

??==2，

DHDF

:.BH=2DH,

.AG上EF,

.??點(diǎn)G在以AH為直徑的圓上，

設(shè)A”中點(diǎn)為O,連接GO,如圖所示.

則8G.8O—OG.

.,?當(dāng)6,G,O三點(diǎn)共線時，3G最小，此時3G=30-OG,

過點(diǎn)。作MN//A5分別交3C于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)N,交BDF點(diǎn)、P,

\OA=OH,

」.OP為AAB”的中位線，

:.OP=~AB=6,BP=PH=HD.

2

：.BP=-BD.

3

\-MN//AB//CD^

:.BM=AN=-BC=3,MP=-CD=4.

33

:.MO=\0,ON=2.

在RAAON中，AO=>JON2+AN2=413.

在RlABOM中，BO=^OM2+BM2=V109,

:.BG=BO-OG=BO-AO=y/lW--J\3.

故答案為Vio9-V13.

【變式1】（2020四川成都）.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E，F(xiàn)分別為AB，CD邊的中點(diǎn).動點(diǎn)P

從點(diǎn)E出發(fā)沿E4向點(diǎn)A運(yùn)動，同時，動點(diǎn)。從點(diǎn)尸出發(fā)沿尸C向點(diǎn)C運(yùn)動，連接PQ，過點(diǎn)8作8"，PQ于點(diǎn)”，

連接DH.若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)。的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動至點(diǎn)A的過程中，線段PQ長度的最大值為，

線段DH長度的最小值為.

【答案】3近,岳-亞.

【解析】解：連接所交尸。于“，連接取3M的中點(diǎn)O,連接OH,OD,過點(diǎn)。作ON_LC￡＞于N.

?.?四邊形45C￡＞是矩形，DF=CF,AE=EB,

二四邊形4萬E是矩形，

.?.EF=A￡＞=3,

■.■FQ//PE,

AM尸QsAMEP,

,MF_FQ

"~ME~~PE'

PE=2FQ,

:.EM=2MF,

:.EM=2,FM-\,

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時，P。的值最大，

此時PM=dAE。+ME?=+2?=20,MQ=JFQ?+MF?=J,+F=0,

PQ=3A/2,

■：MF//ON!IBC,MO=OB,

:.FN=CN=1,DN=DF+FN=3,ON=；(FM+BC)=2,

OD=yjDN2+ON2=V32+22=713,

BHVPQ,

?；OM=OB,

；.OH=LBM

2

-.DH..OD-OH,

:.DH..>/V3-y/2,

的最小值為屈-75,

故答案為3夜，V13-V2.

題型六直角圓周角+將軍飲馬

【典例6】（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖，動點(diǎn)/在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且尸是C。邊上

的一個動點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)，則線段PE+PM的最小值為（）

A.Vio-iB.V2+1c.VioD.V5+1

【答案】A

【分析】

作點(diǎn)E關(guān)于DC的對稱點(diǎn)EL設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)0,連接0E，，交DC于點(diǎn)P,連接PE,由軸對稱的性質(zhì)及90。的圓周角所

對的弦是直徑，可知線段PE+PM的最小值為OE，的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM,根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理

計算即可.

【詳解】

解答：解；作點(diǎn)E關(guān)于DC的對稱點(diǎn)EI設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O,連接OE，，交DC于點(diǎn)P,連接PE,如圖:

?.?動點(diǎn)M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且AMJ_BM,

...點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，0M=^AB=1,

2

?.?正方形ABCD的邊長為2,

；.AD=AB=2,ZDAB=90",

?.'E是AD的中點(diǎn),

11

；.DE=—AD=—x2=l,

22

?.?點(diǎn)E與點(diǎn)E，關(guān)于DC對稱，

.".DE'=DE=1,PE=PE',

.*.AE'=AD+DE'=2+1=3,

在RtAAOE'+，OE，=^AE'2+AO2=A/32+12=M'

線段PE+PM的最小值為：

PE+PM

=PE'+PM

=ME'

=OE'-OM

=Vio-i