初三培優(yōu)易錯(cuò)試卷初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練附詳細(xì)答案

初三培優(yōu)易錯(cuò)試卷初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練附詳細(xì)答案一、旋1．已知正方形ABCD的長為4，個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的角點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線交于點(diǎn)E、，連接EF，設(shè)CE＝，＝b．（）圖1，＝4時(shí)求的；（）＝時(shí)在圖中出相應(yīng)的圖形并求出b的；（）圖3，直接寫EAF繞旋的過程中a、b滿的關(guān)系式．【答案】（）2；（）＝；）ab＝．【解析】試題分析：1）正方形ABCD的長為4，得AC＝

2，ACB＝．再＝a＝

2，得CAE，而可得的度數(shù)，既而可得b=AC；（）過證eq\o\ac(△,)△ECA，即可；（）過證eq\o\ac(△,)△ECA，即可.試題解析：1）正形的長為4，＝，ACB＝．CE＝＝

2，CAE＝AEC＝

＝，∠CAF＝EAF＝22.5°，＝ACD－＝，CAF＝，b=ACCF＝

2；（）＝，＝45°，＋CAE＝，CAE＋＝45°，F(xiàn)AC＝．又＝ECA＝，，8，即＝．（）＝．

AC42CF，EC2

，CF＝提示：由（）可eq\o\ac(△,)△，

4，a

，ab＝．2．如圖，銳eq\o\ac(△,)ABC中ABC=45°，高線、BE相于點(diǎn)．（）斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（）圖2，eq\o\ac(△,)沿段AD對，點(diǎn)落上的點(diǎn)，與BE相于點(diǎn)N當(dāng)DEAM時(shí)，判斷NE與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

【答案】（），由解析；）

，理由見解.【解析】試題分析：1）圖1，eq\o\ac(△,)ADCBDF（）可得BF=AC；（）圖2，折疊得MD=DC，先根三角形中位線的推論可得AE=EC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AB=BC，CBE結(jié)合1）eq\o\ac(△,)BDFADM，則，后證ANE=NAE=45°得，所以EN=試題解析：（）理由是：如圖，，，ADB=AEF=90°，是腰直角三角形，AD=BD，BFD，DAC=，eq\o\ac(△,)和BDF中，DBF，BDFADBDF（），BF=AC；

AC．（）

AC，理由是：如圖，折疊得，DEAM，，BEAC，AB=BC，ABE=，由（）eq\o\ac(△,)BDF，ADM，

BDF，DBF=MAD，DBA=BAD=45°，DBA﹣﹣MAD，即ABE=，ANE=ABE+，NAD=2，ANE=NAE=45°，，

AC．3．如圖eq\o\ac(△,)是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線上且OA=6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)發(fā)，沿OM的向以1cm/s的度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D不點(diǎn)重時(shí)，eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得eq\o\ac(△,)BCE，結(jié)DE．（）證eq\o\ac(△,)CDE是邊三角形；（）圖2，6＜＜10時(shí)的長是否存在最小值？若存在，eq\o\ac(△,)BDE的小周長；若不存在，請說明理由；（）圖3，點(diǎn)在線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以D、、為點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（）解析）見解析（）在【解析】試題分析：1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DCE=60°，=，可得到結(jié)論；（）＜＜時(shí)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到=AD，是得到

=BEDBDEABDEDE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，垂線段最短得到當(dāng)CDAB時(shí)eq\o\ac(△,)BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（）在①點(diǎn)D于B重合時(shí)，，，不構(gòu)成三角形②當(dāng)0≤＜時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABE=60°，BDE＜，求得BED=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DEB=60°，得CEB=30°求得OD=OA-，是得到t=2÷1=2；當(dāng)＜t＜s時(shí)，此時(shí)不存在④t＞s時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DBE=60°，求BDE＞于是得到=14÷1=14s.試題解析：1）明：將ACD繞點(diǎn)逆針方向旋轉(zhuǎn)得eq\o\ac(△,)，，=，CDE是邊三角形；（）在，當(dāng)＜＜時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=，C

=BEDBDE+DE=4+，由（）eq\o\ac(△,)CDE是邊三角形，DECD，C

=CD+4由垂線段最短可知，當(dāng)CD時(shí)eq\o\ac(△,)BDE的長最小此時(shí)，3cm，BDE的最小周=CD

3+4（）在①點(diǎn)D與重合時(shí)D，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)D與重時(shí)不符合題意；②當(dāng)＜時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知ABE，BDE＜，BED=90°，由（）知eq\o\ac(△,)CDE是邊三角形，DEB=60°，=30°，CDA，CDA=30°，CAB，ACDADC，=4ODOA﹣=6﹣，=2÷1=2；③當(dāng)6t＜s時(shí)由DBE＞90°，此不存在；④當(dāng)＞s時(shí)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DBE=60°又由（）知，BDECDEBDC∠BDC而BDC＞0°，BDE＞，只BDE=90°，從而BCD=30°，BDBC，ODcm，=14÷1=14s.綜上所述：當(dāng)t=2或14s時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．點(diǎn)睛：在不帶坐標(biāo)的幾何動(dòng)點(diǎn)問題中求最值，通常是將其表達(dá)式寫出來，再通過幾何或代數(shù)的方法求出最值；像第三小問這種探究性的題目，一定要多種情況考慮全面，控制變量，從某一個(gè)方面出發(fā)去分類

4．（分）如圖，等eq\o\ac(△,)中，點(diǎn)D，分別在邊AB，上，，接BE，，點(diǎn)M、、分別是BE、、的點(diǎn)．（）察猜想圖1中eq\o\ac(△,)PMN的狀是；（）究證明eq\o\ac(△,)繞逆針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的置eq\o\ac(△,)PMN的狀是否發(fā)生改變？并說明理由；（）展延伸eq\o\ac(△,)繞在面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1AB=3，請直接eq\o\ac(△,)PMN的周長的最大值．【答案】等三角形(2)PMN的狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角理見解析；（）【解析】分析：1）圖1，根據(jù)等邊三角形的性得到ABAC，ABC=60°，則=，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM，=

1，AD，，而得到2PMPNMPN，而可判eq\o\ac(△,)為邊三角形；（）接、，圖，先利旋轉(zhuǎn)的定義，eq\o\ac(△,)繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到CAE，BD=CE=ACE，與）一樣可得PM=PN=BCE，CPN=CBD則計(jì)算出BPM+=120°，而得到MPN，于是可判eq\o\ac(△,)PMN為等邊三角形．（）用﹣AD≤BD+AD（且僅當(dāng)點(diǎn)B、、D共時(shí)取等號）得到BD的大值為4，則PN的大值為2，然后可確eq\o\ac(△,)的長的最大值．詳解：1）圖1．ABC為邊三角形，AB=ACABC．AD=，BDCE．點(diǎn)M、、分是BE、CD、的點(diǎn)CE，=

1CE，ADPN，2=PN，，CPN=，MPN，PMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（）的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形．理由如下：連接、，圖2．=，=AD，BAC=DAE=60°

eq\o\ac(△,)ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得eq\o\ac(△,)CAEBDCEABD，與（）樣得PM，=

CE，，PNBD，2=PN，，CBD，BPMCPNCBDCBD=ABC﹣+ACB=60°+60°=120°，MPN，PMN為等邊三角形．（）PN=

，當(dāng)BD的值最大時(shí)的最大．﹣AD≤BD≤AB+（且當(dāng)點(diǎn)、、共時(shí)取等號）BD的大值為1+3=4，PN的大值為，的周長的最大值為6．點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)．5．如圖，等eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)中，AB=AC，AD=AE，且BAC=．（）證eq\o\ac(△,)ACE；（）eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖的位置，連接CD，M、、分為、、的點(diǎn)，連接、、，eq\o\ac(△,)PMN的狀，并說明理由；（）（）中，eq\o\ac(△,)ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=6，請分別求出PMN周的最小與最大值．【答案】（）明見解析；2eq\o\ac(△,)PMN是邊角形．理由見解析；3eq\o\ac(△,)PMN周的最小值為，最大值為15．【解析】分析：1）DAE=120°，BAD=CAE，由AD=AE，利用SAS即

可判eq\o\ac(△,)ADE；（2eq\o\ac(△,)PMN是邊三角形，利用三角形的中位線定理可得

CE，CEPN=，PN，同1）方法可得BD=CE，可得，eq\o\ac(△,)PMN是腰三角形；再由PM，BD，根據(jù)平行線的性可得DCE，，為DCB+DCB+DBC，所MPN=DPM+DCE+DCB+DBC=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC=ACB+ABD+DBC=ACB+，再由BAC=120°，可得ACB+ABC=60°，可得MPN=60°，所eq\o\ac(△,)PMN是等邊三角形；（3）（）eq\o\ac(△,)PMN是等邊三角形，

，以當(dāng)PM最大時(shí)eq\o\ac(△,)PMN周最大，當(dāng)點(diǎn)在AB上最，最小，求得此時(shí)的長，即可eq\o\ac(△,)PMN周的最小值；當(dāng)點(diǎn)D在BA延線上時(shí)最大，PM的最大，此時(shí)求eq\o\ac(△,)PMN周的最大值即可詳解：（）為，所以BAD=CAE又AB=AC，AD=AE，所eq\o\ac(△,)ABD；（）PMN是邊三角形．理由：點(diǎn)P，分是CD，的點(diǎn)，

CE，CE點(diǎn)N，分是BC，的中點(diǎn)PN=

，，同（）方可得BD=CEPM=PN，PMN是腰三角形，DPM=DCE，PNC=DBC，DCB+DCB+，MPN=DPM+DCB+DBC=BCE+=ACE+DBC=ABD+DBC=ABC，，ABC=60°，MPN=60°PMN是邊三角形．（）（）知eq\o\ac(△,)PMN是邊三角形，PM最時(shí)eq\o\ac(△,)PMN周長最大，點(diǎn)D在上時(shí)，最小，PM最，BD=AB-AD=2PMN周的最小值為3；

，

點(diǎn)在BA延線上時(shí)最，最，BD=AB+AD=10eq\o\ac(△,)PMN周長的最大值為15．故答案eq\o\ac(△,)PMN長的最小值為，最大值為15點(diǎn)睛：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定，解決第3），要明確點(diǎn)D在AB上，最，最eq\o\ac(△,)PMN周的最??；點(diǎn)在BA延線上時(shí)最，最eq\o\ac(△,)PMN周長的最大值為6．已eq\o\ac(△,)是邊長為的邊三角形，邊在射線OM上且OA=6點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不點(diǎn)A重時(shí)，eq\o\ac(△,)繞逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得eq\o\ac(△,)BCE，接．（）圖1，想eq\o\ac(△,)CDE的形狀是

三角形．（）證明（）中的猜想（）OD=m，①當(dāng)6m＜時(shí)eq\o\ac(△,)BDE的長是否存在最小值？若存在，求eq\o\ac(△,)BDE周的最小值；若不存在，請說明理由．②是存在m的，eq\o\ac(△,)DEB是角三角形，若存在，請直接寫出m的；若不存在，請說明理由．【答案】（）邊；（2詳見解析；（）3+4；當(dāng)或14時(shí)以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（）旋轉(zhuǎn)的質(zhì)猜想結(jié)論；（）旋轉(zhuǎn)的質(zhì)得DCE=60°，，即可得到結(jié)論；（）當(dāng)＜＜時(shí)由旋轉(zhuǎn)的性得到BEAD，是得到

=BEDBDEABDEDE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，垂線段最短得到當(dāng)CDAB時(shí)eq\o\ac(△,)BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；②存，分四種情況討論a）點(diǎn)與點(diǎn)重時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；b）當(dāng)0m＜時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABE=60°，BDE＜，得BED，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DEB=60°，CEB，求得OD﹣DA=6﹣m；）6＜＜10時(shí)，此時(shí)不存在；d）當(dāng)10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DBE，得BDE＞，于是得到m=14【詳解】

（）邊；（）將ACD繞逆針方向旋轉(zhuǎn)60°得eq\o\ac(△,)BCEDCE，=，CDE是等邊三角形．（）存在，當(dāng)6t＜時(shí)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=AD，CC

=BEDBDE+DE=4+，由）知eq\o\ac(△,)是邊三角形DE=，=CD+4由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)eq\o\ac(△,)BDE的長最小，此時(shí)，=2

3，BDE的最小周=CD

3+4②存，分四種情況討論：a）當(dāng)D與重時(shí)，D，B不構(gòu)成三角形當(dāng)D與重時(shí)，不合題意；b）當(dāng)0m＜時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知ABE=60°，BDE＜，BED=90°，（）知，CDE是邊三角形DEB=60°，CEB=30°．CDA，CDA=30°．CAB，==30°，DA=4，ODOA﹣=6﹣=2；）6＜＜10時(shí)，DBE＞，此不存在；d）當(dāng)10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知DBE=60°，由（）知=60°，BDECDEBDC∠BDC而BDC＞，BDE60°只能BDE，從而BCD=30°，=，OD，=14綜上所述：當(dāng)m=2或14時(shí)，以D、為點(diǎn)的三角形是直角三形．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，形ABCD，AB，ADC120

o

，連接對角線AC、交于點(diǎn)O

如圖2，VAOD沿平移，使點(diǎn)D與點(diǎn)重，求平移后的V與菱形重合部分的面積．

如圖3，

VA'BO

繞點(diǎn)O逆針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)E'

，交BC于F，①求：BE'；②求四邊形

OE'BF

的面積．

【答案】

證明見解析【解析】【分析】(1)先斷eq\o\ac(△,)ABD是等邊三角形，進(jìn)而判斷eq\o\ac(△,)EOB是等邊三角形，即可得出結(jié)論；(2)先斷出≌，利用等式的性質(zhì)可得出結(jié)論；(3)借助的論即可得出結(jié)論．【詳解】

四邊形為菱形，

o

，ADO60

o

，ABD為等邊三角形，DAO

o

，60

o

，AD//A，A′OB=60°，EOB

為等邊三角形，邊長，

重合部分的面積：3，

在圖3中取中，由

知，，E，EOEBOF，又EO=BO，OEE′=OBF=60°，OEEOBF，′=BF，BE′+BF=BE′+EE；②由①知，在轉(zhuǎn)過程中始終eq\o\ac(△,)OEEOBF

eq\o\ac(△,)OEE

，

S

四

=

SV

.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容、正確添加輔助線是解題的關(guān).8．如圖，邊形是方形，是CD邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與、不合），以CG為一邊在正方形外作正方形CEFG，接BG，．（）猜想圖中段、段DE的度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明；②將1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C按時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2情形．請你通過觀察、測量等方法判①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證你的判斷．（）原題中方形改為矩形（如圖、）且AB=a，，，（a≠b，＞0），第（）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖為簡要說明理由．（）第2）圖4中，連接、，且a=3，，

，求BE

22

的值．【答案】（），BG=DE；②BGDE，證明見解析；2），證明見解析；（）．【解析】分析：1）根正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順針旋轉(zhuǎn)即可得到三角形，從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；②結(jié)正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍能夠判eq\o\ac(△,)，而證明結(jié)論；（）據(jù)兩條應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而可以得到（）的位置系仍然成立；（）接BE、．根據(jù)勾股定理即可把BE

+DG

轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長、寬平方和．

11111111詳解：1）DE，；②四形ABCD四邊形CEFG是方形，，CG=CE，BCD=ECG=90°，，BCGDCE，CDE，又CBG+BHC=90°，CDE+，．（）AB=a，BC=b，，

BCbDCCEa

，又BCG=DCEBCG，CDE，又CBG+BHC=90°，CDE+，．（）接BE、．根據(jù)題意，得AB=3BC=2，，，，BCD=ECG=90°BE

+DG=BO+OE22+CD+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．9．如圖，邊長分別為6和的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和E疊在一起．（）作：固eq\o\ac(△,)ABC，eq\o\ac(△,)CDE繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\o\ac(△,)，接，如圖

11112．探究：在圖2中線BE與AD之有怎樣大小關(guān)系？并請說明理由；（）作：固eq\o\ac(△,)ABC，eq\o\ac(△,)繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°eq\o\ac(△,)CDE，接ADCE的延長線交于點(diǎn)F，在線段上沿著CF方向平移，（點(diǎn)F與點(diǎn)P重合即停止平移）平移后eq\o\ac(△,)設(shè)eq\o\ac(△,)PQR，圖3．探究：在圖3中除三角形和CDE外，還有哪個(gè)三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）；（）究：如，（2）條件下，設(shè)，代式表示出的長．【答案】（）．由見解；2eq\o\ac(△,)是腰三角形；）2

-x．【解析】試題分析：1）據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BCCD=CE，ACB=ECD=60°，后求出ACD=BCE再利用“邊角邊證eq\o\ac(△,)和全，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（）出ACF=30°再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出CHQ=30°從而得到，判斷eq\o\ac(△,)CHQ是腰三角形；（）出CGP=90°，后利的余弦表示出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH，然后根據(jù)GH=CG-CH整理即可得解．試題解析：1）．理由如下：eq\o\ac(△,)CDE是等邊三角形，AC=BC，，ACB=．ACB-ACE=ECD-，即BCE=ACD．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)BCE中，BCE（），BE=AD；（）旋角為30°，BCF=30°，ACF=60°-30°=30°，CHQ=ACF=CHQ是腰三角形；（）ACF-RPQ=180°-30°-60°=90°，?cos30°=

（）CHQ是腰三角形，CH=2?CQcos30°=2x?x，

GH=CG-CH=

（）x=2-x．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．10．如1，eq\o\ac(△,)中，，是邊AC上意一點(diǎn)（點(diǎn)E與A，不合），以CE為直角邊作eq\o\ac(△,)ECD，ECD=90°，接BE，．（）CA=CB，CE=CD①猜線段BE，之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)，直接寫出結(jié)論；②現(xiàn)圖1中的eq\o\ac(△,)ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α，到圖2請判斷中結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（）CA=8,CB=6，CE=3，，eq\o\ac(△,)ECD繞點(diǎn)C順針轉(zhuǎn)銳角，圖，連接BD，AE，算

的值．【答案】（）BEAD；見析；）．【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD，；BE與的點(diǎn)為點(diǎn)F，與AD的點(diǎn)為點(diǎn)G，據(jù)ACB=得ACD=BCE，后結(jié)合AC=BC，CD=CE得eq\o\ac(△,)ACDBCE，則CAD=，根BFC=AFG得AFG+，而說明直；首先根據(jù)題意得出，后說AGE=BGD=90°，后根據(jù)直角三角形的勾股理將所求的線段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案．試題解析：1）解BE=ADBE，仍成立證明：設(shè)BE與AC的點(diǎn)為點(diǎn)，BE與AD的點(diǎn)為點(diǎn)，如圖．ACB=ECD=90°，ACD=CD=CEACDBCE∠BFC=BFC+CBE=90°AFG+CAD=90°AGF=90°BE（）明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，BE的長線與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)，圖．ACB=ECD=90°，ACD=，，，CD=4△ACD△CAD=BFC=BFC+CBE=90°AFG+CAD=90°AGF=90°BEBGD=90°

，，

．，

．

考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理．11．觀猜想如圖，eq\o\ac(△,在)中，BAC=90°，點(diǎn)D是BC的點(diǎn)．以為頂點(diǎn)作正方形，點(diǎn)A，C分在DG和DE上連AEBG則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_____；(2)拓探究將正方形繞點(diǎn)逆針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，于或等于）如圖2，(中結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由(3)解問題若，(2)的轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為大值時(shí)直接寫出AF的．【答案】（）＝AE．（）立．如圖，連接AD．ABC是等腰三直角角形＝，D是BC的點(diǎn)．

90°，且BD＝．BDG＝－ADG90°＝，DG＝．BDG，BG＝．………7分（）（）知BG＝，故當(dāng)BG最時(shí)AE也大．正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)最，如圖．若＝＝，＝，＝．在eq\o\ac(△,)AEF中，2＝2＋EF＝＋

＋2＝＋

2＋

＝＝【解析】解：（）＝AE．（）立．如圖，接ADABC是腰三直角角形，＝，是的中點(diǎn)．90°，且BD＝．BDG＝－ADG90°＝，DG＝．BDG，BG＝．（）（）知BG＝，故當(dāng)BG最時(shí)AE也大．Z+X+X+K]因?yàn)檎叫蜠EFG在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)為心，DG為徑的圓，故當(dāng)正方形旋到點(diǎn)于BC的長線上（即正方形DEFG繞逆針方向旋轉(zhuǎn)270°）時(shí)，最，如圖．若＝＝，＝，＝．在eq\o\ac(△,)AEF中，2＝2＋EF＝＋

＋2＝＋

2＋

＝＝．即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為大值時(shí)＝

．

12．們定義如一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條那這個(gè)三角形叫等高底”三角形這邊叫做這個(gè)三角形的等底。（）念理解如圖1,在ABC中,BC.30斷ABC是是等”三角形，請說明理由（）題探究如圖2,

ABC

是等底三形

是等底，

ABC

關(guān)于

所在直線的對稱圖形得到

結(jié)AA點(diǎn)D.若B是

z,zi1

的重心求

的值.（）用拓展如圖3,已知

l,l與l之的距離2.等”2

ABC

的等底

在直線l上點(diǎn)A1

在直線

l2

上有邊的長是BC的2倍將

ABC

繞點(diǎn)

C

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

45

得到

所在直線交l于D.求CD值.2【答案】（）明見解析；2）

（）CD的值為

,

2,2【解析】分析：1）點(diǎn)作AD直線CB于，可以得到AD=3，即可得到結(jié)論；（）據(jù)ABC是“等高底三形是等，得到AD=，再由ABC與ΔABC關(guān)直線對，得ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得BC=2BD．=x，則=BC，CD=3x由勾股定理得=x即可得到結(jié)論；（）兩種情討論即可①當(dāng)=2時(shí)，再分兩種情況討論；

121212121212當(dāng)AC=

時(shí)再分兩種情況討論即可．詳解：1）．理由如下：如圖，點(diǎn)作AD直CB于，Δ為角三角形，=90°．ACB，=6，=AD==3即是等底三角形．

AC=3，（）圖2，∵ΔABC“高底三角形，BC是等”，AD，′BC與關(guān)于直線對，ADC=90°．點(diǎn)B是Δ′的重心，=2．設(shè)BD=x，則=BC，CD=3，由股定理得=

x，

．2x（）當(dāng)AB=2BC時(shí)．圖3，AEl1

于點(diǎn)E，DFAC于F．等高底”的等底為，l，與之的距離為2，=BC，=AE=2，=2

，BE=2即EC=4AC=5．繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到''，CDF=45°．設(shè)CF=．l，DAF，

DF1AF2

，即AF．AC=3=25

，可得x=

23

5

，CD=

=

．

11221122．圖4，時(shí)Δ是腰直角三角形，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得ΔA''，ACD是腰直角三角形，=

=

2②AC=

時(shí)．圖5，eq\o\ac(△,時(shí))是等腰直角三角形．繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到′，′CCD=BC=2．．圖6，AEl1

于點(diǎn)E，則AE=BC，AC=

=

，，Δ繞點(diǎn)C按時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到′′時(shí)，點(diǎn)′在直線l上′Cl，直線′C與l無交點(diǎn)．綜上所述：的值為

，2，．點(diǎn)睛：本題是幾何變旋綜合題．考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力．解題的關(guān)鍵是對新概“等高底三角形的理解．13．圖，

是邊長為

的等邊三角形，邊

在射線

上，且

，點(diǎn)

從點(diǎn)

出發(fā)，沿

的方向以

的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

不與點(diǎn)

重合是，將繞點(diǎn)

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

得到，連接

.

（）證：

是等邊三角形；（）

時(shí)，的

周長是否存在最小值？若存在，求出

的最小周長；若不存在，請說明理.（）點(diǎn)

在射線

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以

為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)的值；若不在，請說明理.【答案】（）見解析；2存在2

+4；3）當(dāng)t=2或14s時(shí)以、、為點(diǎn)的三角形是直角三角形．【解析】試題分析：1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DCE=60°，，可得到結(jié)論；（）當(dāng)＜＜時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，是得到

DBE

，據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD，垂線段最短得到當(dāng)時(shí)，BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；（）在①當(dāng)與點(diǎn)B重時(shí)，，E不構(gòu)三角形，當(dāng)0＜時(shí)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABE=60°＜，求得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求CEB=30°，得﹣﹣，是得到；當(dāng)＜＜10s時(shí)，此時(shí)不存在；當(dāng)t＞時(shí)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BDE＞，于是得到．試題解析：1）明：將ACD繞逆針方向旋轉(zhuǎn)60°eq\o\ac(△,)，，DC=EC，CDE是邊三角形；（）在，當(dāng)＜＜10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=AD，C

DBE

=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（）eq\o\ac(△,)是邊三角形，DE=CD，C

DBE

，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)eq\o\ac(△,)的周長最小，

此時(shí)，cm，BDE的小周長CD+4=2

+4；（）在①點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)B，不構(gòu)成三角形，當(dāng)與點(diǎn)B重時(shí)，不符合題意，②當(dāng)0＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知ABE=60°＜，，由（）知eq\o\ac(△,，)是邊三角形，，，CDA，，CAB=60°，ACD=ADC=30°，DA=CA=4OD=OADA=6﹣，；③當(dāng)6＜時(shí)，DBE=120°＞，此不存在；④當(dāng)＞時(shí)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，又由（）知CDE=60°，BDE=CDE+BDC=60°+BDC，而＞，＞，只，從而BCD=30°，BD=BC=4，，綜上所述：當(dāng)t=2或14s時(shí)以D、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)與三角形的綜合題14．1）現(xiàn)如圖，點(diǎn)

為線段

外一動(dòng)點(diǎn)，且

，

.填空：當(dāng)點(diǎn)A（用含，

位于____________時(shí)，線段的式子表示）

的長取得最大值，且最大值_________.

（）用點(diǎn)A

為線段

外一動(dòng)點(diǎn)，且

，如圖所示，分別以AB，

為邊，作等邊三角形和等邊三角形

，連接

CD

，.①找圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直寫出線段長的最值（）展如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

的坐標(biāo)為

0

，點(diǎn)B坐標(biāo)為

0

，點(diǎn)P為段AB一動(dòng)點(diǎn)，且PA，PB，點(diǎn)P的標(biāo).

90

，求線段長最大值及此時(shí)【答案】（）的延長線上a+b2①DC=BE,由見解析②BE的最大值是4;（）的最大值是

，點(diǎn)P的標(biāo)為（

，2）【解析】【分析】（）據(jù)點(diǎn)A位CB的長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；（）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，，BAD=CAE=60°，出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；由于線段BE長的最大值線段CD的最大值，根據(jù)1）的結(jié)論可得到結(jié)果；（）接BMeq\o\ac(△,)APM繞著點(diǎn)P順針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)PBN，連接AN得eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時(shí)，線段取最大值，即可得到最大值為

+3；圖2，P作PEx軸E，據(jù)等腰直角三角形