高考數(shù)學一輪復習考點規(guī)范練33基本不等式及其應用含解析新人教A版

PAGEPAGE7考點規(guī)范練33基本不等式及其應用基礎(chǔ)鞏固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14>lgB.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x答案:C解析:因為x>0,所以x2+14≥2·x·12所以lgx2+14≥lg當x≠kπ,k∈Z時,sinx的正負不定,故選項B不正確;由基本不等式可知選項C正確;當x=0時,1x2+12.已知a>0,b>0,a,b的等比中項是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是(A.3 B.4 C.5 D.6答案:B解析:由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(當且僅當a=b=3.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則()A.a<v<ab B.v=abC.ab<v<a+b2 D答案:A解析:設(shè)甲、乙兩地相距s,則小王往返兩地用時為sa從而v=2s∵0<a<b,∴ab<a∴2a+b<1ab,即4.已知圓x2+y2+4x-2y-1=0上存在兩點關(guān)于直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)對稱,則1a+4A.8 B.9 C.16 D.18答案:B解析:由圓的對稱性可得,直線ax-2by+2=0必過圓心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba5.(2021全國Ⅰ,文8)下列函數(shù)中最小值為4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-xD.y=lnx+4答案:C解析:A項,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故該項不符合題意;B項,設(shè)t=|sinx|,則y=t+4t,t∈(0,1]因為函數(shù)y=t+4t在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,所以當t=1時,y取最小值,且ymin=1+41C項,y=2x+22-x=2x+42x,設(shè)t=2x,則t>0,于是y=t+4t≥2t×4t=所以該項符合題意.D項,因為當x∈(0,1)時,lnx<0,所以存在x使y<0,故該項不符合題意.6.若兩個正實數(shù)x,y滿足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是(A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)答案:D解析:因為x>0,y>0,2x+所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2當且僅當4yx=xy,即由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1A.2 B.32 C.1 D.答案:C解析:由ax=by=3,1x又a>1,b>1,所以ab≤a+b所以lg(ab)≤lg3,從而1x+1y≤lg38.已知x>1,則logx9+log27x的最小值是.

答案:2解析:∵x>1,∴l(xiāng)ogx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥2∴l(xiāng)ogx9+log27x的最小值為269.某公司購買一批機器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*).則當每臺機器運轉(zhuǎn)年時,年平均利潤最大,最大值是萬元.

答案:58解析:每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-22510.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為答案:1解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>∴2a+18b≥22a-當且僅當2a=18b,即a=-3,b=11.某種飲料分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,第二次提價q%;方案乙:每次都提價p+q2%,若p>q>0,則提價多的方案是答案:乙解析:設(shè)原價為a,則方案甲提價后為a(1+p%)(1+q%),方案乙提價后為a1+p由于(1+p%)(1+q%)<(1+p%)因此提價多的是方案乙.12.設(shè)a,b均為正實數(shù),求證:1a2+1答案:證明因為a,b均為正實數(shù),所以1a2+當且僅當1a2=又因為2ab+ab≥22ab·ab當且僅當2ab=ab所以1a2+1b2+ab當且僅當1a2=1b能力提升13.已知不等式2x2-axy+y2≥0對任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤答案:A解析:因為2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2xy2-axy令t=xy,則不等式變?yōu)?t2-at+1≥0由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13即2t2-at+1≥0在t∈13,由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a又2t+1t≥22t·1當且僅當2t=1t,即t=22時等號成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤214.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數(shù)x,y都成立,則實數(shù)a的最小值為(A.1 B.2 C.3 D.4答案:D解析:令f(y)=|y+4|-|y|,則f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對任意實數(shù)x,∴2x+a2x≥f(y)max∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,則a≥g(x)max=4,∴實數(shù)a的最小值為4.15.已知x>0,a為大于2x的常數(shù).(1)求函數(shù)y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2解:(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×2故函數(shù)y=x(a-2x)的最大值為a2(2)y=1a-2x-x=1a-2故y=1a-2x16.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬元),當年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)=13x2+10x(單位:萬元).當年產(chǎn)量不少于80千件時,C(x)=51x+10000x-1450(單位:萬元).每件商品售價為0.05萬元.(1)寫出年利潤L(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)當年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?解:(1)因為每件商品售價為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元,依題意得,當0<x<80時,L(x)=(0.05×1000x)-13x2-10x-250=-13x2+40當x≥80時,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x則L(x)=-(2)當0<x<80時,L(x)=-13(x-60)2+950,此時,當x=60時,L(x)取得最大值L(60)=950當x≥80時,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,當且僅當x=10000x時,即因為950<1000,所以當年產(chǎn)量為100千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.