二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題和練習(xí)極好

二函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題和練習(xí)（極好）知識點：二次函數(shù)概念和像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果

yax

2

(a,b是數(shù)

0)

，特別注a不為，么y叫做x的二次函數(shù)。

y

2

(,b是常a叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于

對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法-------五作圖：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線y2

坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點及拋物線與y軸的交點再找到點C的對稱點D這五個點按從左到右的順序連接起來并上或向下延伸得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時拋物線與y軸的交點C及對稱點DD三點可粗略畫出二次函數(shù)的草圖需要畫出比較精確的圖像描出一對對稱點A然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。【例1】已知函數(shù)y=x，寫出函數(shù)圖象的頂點、圖象與坐標(biāo)軸的交點，以及圖象與y軸的交點關(guān)于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；求圖象與坐標(biāo)軸交點構(gòu)成的三角形的面積：（3根據(jù)第（1）題的圖象草圖，說出x取哪些值時，①y=0；y<0；③y>0知識點：二次函數(shù)解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：

yax

2

(a,c是常數(shù)

0)（2）交點式：當(dāng)拋物線yax2

x軸有交點時，即對應(yīng)的一元二次方程ax

有實根x和1

2

存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式

2

bx(x，二次函數(shù)yax12

2

可轉(zhuǎn)化為兩根式

a(x

)

。如果沒有交點，則不能這樣表示。（3）頂點式：yx)(是常

0)

當(dāng)題目中告訴我們拋物線的頂點時，我們最好設(shè)頂點式，這樣最簡潔。【例1】拋物線yaxx軸交于A（103，0）兩點，且過（-1，16物線的解析式。33【例2】如圖，拋物線bxx軸的一個交點A在點（，）和（-1，0）之間（包括這兩點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則：abc0（＞或＜或=）a的取值范圍是【例3】下列二次函數(shù)中，圖象以直線2為稱軸，且經(jīng)過點(0，1)的是()A．y

=(

x

?2)2+1B．y

=(

x

+2)2+1Cy

=(

x

?2)2?3D．y

=(

x

+2)2–3知識點：二次函數(shù)最值如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)么函數(shù)在頂點處取得最大或最小值

x

b2a

時，

最值

4ac4

2

。如果自變量的取值范圍是

xxx，那么，首先要看2

b2

是否在自變量取值范圍x內(nèi)，2若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)

時，最值

4ac4

2

若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在

xx

范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)y隨x的增大而增大，則當(dāng)

x時，

，當(dāng)x時，

bx

；如在此范內(nèi)，y隨x的而減小，當(dāng)

x時y

bx1

，當(dāng)

x時，y

2bx

。y【例1】已知二次函數(shù)的圖像（0≤x≤3）如圖所示,關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)下列說法正確的是()

O-1

1

23

xA有最小值0，有最大值3C有最小值－1,有最大值

B．最小值－1,最大值D．有最小值－1,無最大值【例2】某賓館有50房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天l80元時，房間會全部住滿．當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元．設(shè)每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)．設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出yx的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；設(shè)賓館一天的利潤為w元，求w與x函數(shù)關(guān)系式；一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大?最大利潤是多少元?知識點、二次函數(shù)性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)

yax

二次函數(shù)bx(ac數(shù)0)圖a>0

a<0b4acb4acb4ac時y（3）在對稱軸的左側(cè)，即x≤即當(dāng)x≥時y有（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=像yy0x

0x（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1拋物線開口向下并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=

，a

（2）對稱軸是x=

，a頂點坐標(biāo)是（

，2

頂點坐標(biāo)是（

，24性

（3在對稱軸的左側(cè)即當(dāng)x≤

時，2隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，質(zhì)

當(dāng)x≥

b時y隨x的增大而增大，簡記時，y隨x的增大而減小，a左減右增；（4）拋物線有最低點，x=

簡記左增右減；時，ya2最小值，

最小值

4ac4

2

有最大值，

最大值

4ac4

22、二次函數(shù)

y

bxb,常數(shù)

0)

中，、、c的含義：a表開口方向：a時，拋物線開口向上a時，拋物線開口向下

與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=

b2c示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)c3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點橫坐標(biāo)。因此一元二次方程中的ac，二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當(dāng)時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)時，圖像與x軸沒有交點。【例1】拋物線-3的頂點坐標(biāo)是.【例2】二次函數(shù)2x有()A．最大值C最大值

B最小值D．最小值【例3】由二次函數(shù)

y

3)

1，知（）A其圖象的開口向下B其圖象的對稱軸為直線

C其最小值為1D．當(dāng)x，y隨x的增大而增大【例4】已知函數(shù)

(k

3)x2

2

1

的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是()A.

k

B.

k4

C.

k

且

k

D.

k

且

kx【例5】下列函數(shù)中當(dāng)>0時y

值隨x

值增大而減小的是（A．y

=2

By

=－１

Cy

=

x

D．y

=

1x【例6】若二次函數(shù)

yx)2x≤l時隨的增大而減小的取值范圍）A．mB>lC．mD．m≤l知識點、二次函數(shù)象的平①對于拋物y=ax+bx+c的平移通常先將一般式轉(zhuǎn)化成頂點式

，再遵循左加右減，上下減的原則化為頂點式有兩種方法：配方法點坐標(biāo)公式法。在用頂點坐標(biāo)公式法求出頂點坐標(biāo)后寫頂點式時，要減去頂點的橫坐標(biāo)，加上頂點的縱坐標(biāo)。②ax沿y軸平移：向上（下）平移m（m＞0）個單位，bx變成yaxbx

（或2

bx）③當(dāng)然，對于拋物線的一般式平移時，也可以不把它化為頂點式y(tǒng)

2

bx

：向左（右）平移（＞0）個單位，ax

成yxm)()

（或()

2

(m)）【例1】將拋物線

y向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是()A．

y2)

B．

Cy

D．

【例2】將拋物線y=x2－2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_______.【例3】拋物線y可以由拋物線下列平移過程正確的是()先向左平移2個單位再向上平移3個單位先向左平移2個單位再向下平移3個單位先向右平移2個單位再向下平移3個單位bbD.先向右平移2個單位,向上平移3個單位【補】拋物線y=2x2-3x-7在x軸截得的線段的長度為______________【公式】拋物線y=ax2+bx+c在x軸上截得的線段的長度為_____________知識點：拋物線ax

中，a、b、c的作（1決定開口方向及開口大小，這與

y

2

中的完一樣.（2a共決定拋物線對稱軸的位.由于拋物線yax

bx的稱軸是直線

x

a

，故：時，對稱軸為y軸；②即a號）時，對稱軸在y軸左；③即號）時，對稱軸在軸右側(cè).口訣---左同，右異（b同號，對稱軸在y軸左側(cè)）（3大小決定拋物線ax2

y軸交點的位置當(dāng)x時，∴拋物線y2

與有且只有一個交點（，c①拋物線經(jīng)過原點;②c,與y軸交于正半軸；③與交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立如拋物線的對稱軸在右側(cè)，則0.【例1】如圖為拋物線y2圖像為拋物線與坐標(biāo)軸的交點==1則下列關(guān)系中正確的是()Aab=－1B．a(chǎn)b=1C．b<2aD．a(chǎn)c<0【例2】已知拋物線＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示下列結(jié)論中正確的是()Aa>0B．b＜0C．c＜0Dab＋c>0【例3】如圖所示的二次函數(shù)y2bx的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息．．22，所以的中．．22，所以的中點坐標(biāo)為bac>12－<0++<0你認(rèn)為其中錯誤的有)A．2個B3個C4個D．1個【例4】如圖次函數(shù)2+bx+c的象與y軸正半軸相交頂點坐標(biāo)為

列結(jié)論：①ac＜②a+b=0③4ac－b2=4a④＜其中正確的個數(shù)（）A.1B.2C.3D.4【例5】如圖二次函數(shù)yax2＋bx≠0圖象的一部分出下列命題a+b+c=0②b＞2a2+bx+c=0的根分別為-3和10正確的命題是要求填寫正確命題的序號）【例6】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對軸，則下列關(guān)系正確的是（）A．＝，＞hC＞＝h

B＝n＜hD．＜，＝h知識點：中考二次數(shù)壓軸中常用到的式1、兩點間距離公式：如圖：點A坐標(biāo)為（x，y坐標(biāo)為（x，y112AB間的距離線段AB的長度為x（這實際上是根1據(jù)勾股定理得來的）2標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中B兩點的坐標(biāo)分別為(，)

，

Py1

A

Px1

x2

1(x，)，中的坐標(biāo)(，y)

．由

x，得x

x

，同理

y

yyx(，)2

．3、兩平行直線的解析式分別為：x+b，y=kx+b，那么k=k，也就是說當(dāng)我們知道一條直線112212的k值，就一定能知道與它平行的另一條直線的k值。4、兩垂直直線的解析式分別為y=kx+b，y=kx+b，那么k×k=-1，也就是說當(dāng)我們知道一條11221直線的k值，就一定能知道與它垂直的另一條直線的k值這一條，只要能靈活運用就行，2222不需要解）以上四條，我稱它們?yōu)樽鴺?biāo)系中的“四大金剛”【例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣與x軸交于A．B兩點，與y交于點C，點是該拋物線的頂點．求直線AC的解析式及B．D兩點的坐標(biāo)；點x軸上一個動點，P直線l∥交拋物線于點Q，試探究：隨的運動，在拋物線上是否存在點，使以點A．Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．請在直線AC上找一點M使△BDM周長最小，求出M點的坐標(biāo)．【例2如圖，已知拋物線y=﹣x與一直線相交于A（﹣1，0C（2，3）兩點，與軸交于點N．其頂點為D1求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)點M（3，m使MN+MD的值最小時的值；若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點作EF∥BD交拋物線于點F，B，DEF為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；若拋物線上位于直線AC方的一個動點，求△APC的面積的最大值．33【例3】如圖，拋物線x2x與x軸交于A，兩點（點B在點A的右邊y軸交2于C連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0P作軸的垂線l交拋物線于點Q。求點A、B、的坐標(biāo)；當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BDBC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。當(dāng)點P在段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。DE

A

O

BCD

DE

A

O

BEA

O

BCC【練習(xí)】1、平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m面均為1m丙別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()A1．5mB．．625mC1．66mD1．67m2、已知函數(shù)

，則使y=k立的x值恰好有三個，則k的值為（）A．0B．C2D．33.二次函數(shù)2圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y系中的大致圖象是（）.

x

與一次函數(shù)bx同一坐標(biāo)4.如圖知二次函數(shù)

ybx

的圖象經(jīng)過－1增大而增大時，

的取值范圍是．-1

y2bx（1,25.在平面直角坐標(biāo)系中拋物線

yx

2

繞著它與y

軸的交點旋轉(zhuǎn)180°得拋物線的解析式是（A．

y2

ByC

y2

D．y2

6.已知二次函數(shù)ax2的像如圖對稱軸下列結(jié)果①24②③a④⑤，正確的結(jié)論是（）

……

－20

－14

06

16

24

……A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤7．拋物線y上分點的橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)對應(yīng)值如上表：從上表可知，下列說法中正確的是序號）①拋物線與x軸一個交點為（3,0②函數(shù)

yax

2

的最大值為6③拋物線的對稱軸是

x

；④在對稱軸左側(cè)，yx

增大而增大．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是標(biāo)原點，點A坐標(biāo)是（－2，4A⊥軸，垂足為，連結(jié)．(1)求△OAB的面積；(2)拋物線

yx

經(jīng)過點．①求c

的值；②將拋物線向下平移m單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△OAB的內(nèi)部（不包括△B的邊界m的值范圍（直接寫出答案即可9、已知函數(shù)y2的象經(jīng)過點A（，－2

），這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。根據(jù)已知