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文檔簡(jiǎn)介
二面角的一題多解柳例題：是等腰直角三形，∠ABC=90，2，點(diǎn)P是平ABC一點(diǎn)，⊥平面ABC，PA=AC，求二角BPCA平面角分析1：根據(jù)平面角定義找出二角的平面角。此題解法困難在于AMN中三長(zhǎng)。M
P解：，，PC=22PB=
∴
22
∴
90
AB過(guò)A作AM⊥PC交PC于M，在平PBC過(guò)點(diǎn)M作⊥PC交PB于N，連接AN。∴∠是面角B—PC—的面角Rt△中
AM
1PMPC2…①PMN∽∴2BCPB∴
MN
……②Rt△PMN中
6293Rt△中
26
∴△PNA中
2393
…③∴△中
cosAMN
22
69963243
33
∴arccos
分析二：利用三垂線定理找出二面角的平面角K
O
AB解：過(guò)作BO⊥交AC于O點(diǎn)過(guò)O作OKPC于，連接BK∵
平平面ABC
?
?OB平面PAC，OK是BK在面中影∵PC⊥∴PC⊥
?BKO是求角1
Rt△中
BO
12
AC
,Rt△PBC中利用等面積法求∴
BK
2
∴eq\o\ac(△,Rt)KOB中，
126sinBK663∴
BKOarcsin
63（說(shuō)明：類似解法還有一種，過(guò)A作ANPB交于，過(guò)A作AM⊥PC交PC于M，連接MN，同理可證∠AMN是所求的，找角的位置與解1相同，但解題過(guò)程要簡(jiǎn)約得多分析三：根據(jù)射影定理，令二面角的平角角
，則
cos
SS
，C
O
AB解：過(guò)B作BO⊥AC，連接OP,如）中證明BO平面PAC△POC是△PBC在平面PAC中的射影
S
11,Rt中，2222令二面角B——平面，
SS
13
33
∴
arcsoc
33（說(shuō)明：此解法是所有解法中最簡(jiǎn)單的）分析四：利用結(jié)論
l
2
M
N
AB解：過(guò)A作AM⊥PC過(guò)B作BN⊥PC∴與BN所的角與二面PC—的面角相.2
2222222222Rt△中AM=PM==m,Rt△中，利用等面積法，
BN,∴
62∴，d,2∴
cos
l
22
66222
33Z
A分析五：利用空間向量知識(shí)求解
BXY解點(diǎn)B為標(biāo)原點(diǎn)所直線為X軸,所在直線為y軸B作⊥平面，11
所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系。,C0,,P令n面PBC，x,,z),0,2,0n02Zx∴
n
2,0,1如2⊥平面PAC
∴平面PAC的向量為
2BO,∴
BO
∴二面角B—PCA的面角觀察是銳角，∴平面角是
a
33
。（說(shuō)明解思路
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