高中數(shù)學(xué)6示范教案(241等比數(shù)列的概念通項(xiàng)公式)新人教版必修5

2.4等比數(shù)列等比數(shù)列的觀點(diǎn)及通項(xiàng)公式冷靜講課本節(jié)內(nèi)容先由師生共同解析平時(shí)生活中的實(shí)質(zhì)問(wèn)題來(lái)引出等比數(shù)列的觀點(diǎn)，再由教師引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列類(lèi)比研究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，既讓學(xué)生感覺(jué)到等比數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中大批存在的數(shù)列模型，也讓學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)質(zhì)問(wèn)題抽象出數(shù)列模型的過(guò)程.教課中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，給學(xué)生以許多的感覺(jué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的踴躍性和思想的主動(dòng)性.準(zhǔn)備豐富的閱讀資料，為學(xué)生供給自主學(xué)習(xí)的可能，從而達(dá)到更好的理解和穩(wěn)固講堂所學(xué)知識(shí)的目的.教課要點(diǎn)1.等比數(shù)列的觀點(diǎn);2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.教課難點(diǎn)1.在詳細(xì)問(wèn)題中抽象出數(shù)列的模型和數(shù)列的等比關(guān)系

;2.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影膠片、投影儀等三維目標(biāo)一、知識(shí)與技術(shù)1.認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中存在著一類(lèi)特別的數(shù)列

;2.理解等比數(shù)列的觀點(diǎn)，研究并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;3.能在詳細(xì)的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用相關(guān)的知識(shí)解決相應(yīng)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題;4.領(lǐng)會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.二、過(guò)程與方法1.采納察看、思慮、類(lèi)比、歸納、研究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教課;2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好研究性活動(dòng);3.親密聯(lián)系實(shí)質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的踴躍性.三、感情態(tài)度與價(jià)值觀1.經(jīng)過(guò)生活中的大批實(shí)例，鼓舞學(xué)生踴躍思慮，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的研究精神和嚴(yán)肅仔細(xì)的科學(xué)態(tài)度，培育學(xué)生的類(lèi)比、歸納的能力;2.經(jīng)過(guò)對(duì)相關(guān)實(shí)質(zhì)問(wèn)題的解決，表現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)質(zhì)生活的親密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.教課過(guò)程導(dǎo)入新課師現(xiàn)實(shí)生活中，有很多成倍增加的實(shí)例.如，將一張報(bào)紙對(duì)折、對(duì)折、再對(duì)折、，對(duì)折了三次，手中的報(bào)紙的層數(shù)就成了8層，對(duì)折了5次就成了32層.你能舉出近似的例子嗎？生一粒種子生殖出第二代120粒種子，用第二代的120粒種子能夠生殖出第三代120×120粒種子，用第三代的120×120粒種子能夠生殖出第四代120×120×120粒種子，師特別好的一個(gè)例子！現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)碰到很多這種的案例.教師出示多媒體課件一：某種細(xì)胞分裂的模型.師細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)也是與我們上述提出的問(wèn)題近似的實(shí)例.細(xì)胞分裂有什么規(guī)律，將每次分裂后細(xì)胞的個(gè)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)列，你能寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列嗎？生經(jīng)過(guò)察看和畫(huà)草圖，發(fā)現(xiàn)細(xì)胞分裂的規(guī)律，并記錄每次分裂所獲得的細(xì)胞數(shù)，從而獲得每次細(xì)胞分裂所獲得的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成下邊的數(shù)列：1，2，4，8，①教師出示投影膠片1：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不停.”師這是《莊子·天下篇》中的一個(gè)闡述，能解說(shuō)這個(gè)闡述的含義嗎？生思慮、議論，用現(xiàn)代語(yǔ)言表達(dá).師(用現(xiàn)代語(yǔ)言表達(dá)后)假如把“一尺之棰”當(dāng)作單位“1，”那么獲得的數(shù)列是什么樣的呢？生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)無(wú)量等比數(shù)列：1，1，1，1，1，②教師出示投影膠片2：計(jì)算機(jī)病毒流傳問(wèn)題.24816一種計(jì)算機(jī)病毒，能夠查找計(jì)算機(jī)中的地點(diǎn)簿，經(jīng)過(guò)郵件進(jìn)行流傳.假如把病毒制造者發(fā)送病毒稱(chēng)為第一輪，郵件接收者發(fā)送病毒稱(chēng)為第二輪，依此類(lèi)推.假定每一輪每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染20臺(tái)計(jì)算機(jī),那么在不重復(fù)的狀況下,這種病毒感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成一個(gè)什么樣的數(shù)列呢?師(讀題后)這種病毒每一輪流傳的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是如何的呢？指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)“病毒制造者發(fā)送病毒稱(chēng)為第一輪”“每一輪感染20臺(tái)計(jì)算機(jī)”中蘊(yùn)涵的等比關(guān)系.生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)無(wú)量等比數(shù)列：1，20，202，203，204，③教師出示多媒體課件二：銀行存款利息問(wèn)題.師介紹“復(fù)利”的背景：“復(fù)利”是我國(guó)現(xiàn)行按期積蓄中的一種支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一同算作本金，再計(jì)算下一期的利息，也就是往常說(shuō)的“利滾利”我.國(guó)現(xiàn)行按期積蓄中的自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)求實(shí)質(zhì)上就是按復(fù)利支付利息的.給出計(jì)算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，這里n為存期.生列出5年內(nèi)各年終的本利和，并說(shuō)明計(jì)算過(guò)程.師生合作議論得出“時(shí)間”“年初本金”“年終本利和”三個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并寫(xiě)出：各年終本利和(單位：元)構(gòu)成了下邊數(shù)列：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.④師回想數(shù)列的等差關(guān)系和等差數(shù)列的定義，察看上邊的數(shù)列①②③④，談?wù)勊鼈冇惺裁垂餐厣?？師指引學(xué)生類(lèi)比等差關(guān)系和等差數(shù)列的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系.引入課題：板書(shū)課題2.4等比數(shù)列的觀點(diǎn)及通項(xiàng)公式推動(dòng)新課［合作研究］師從上邊的數(shù)列①②③④中我們發(fā)現(xiàn)了它們的共同特色是：擁有等比關(guān)系.假如我們將擁有這樣特色的數(shù)列稱(chēng)之為等比數(shù)列，那么你能給等比數(shù)列下一個(gè)什么樣的定義呢？生回想等差數(shù)列的定義，并進(jìn)行類(lèi)比，說(shuō)出：一般地，假如把一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.［教師精講］師同學(xué)們歸納得很好，這就是等比數(shù)列(geometricsequence)的定義.有些書(shū)本把等比數(shù)列的英文縮寫(xiě)記作G.P.(GeometricProgression).我們此后也常用G.P.這個(gè)縮寫(xiě)表示等比數(shù)列.定義中的這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(commonratio)，公比往常用字母q表示(q≠0).請(qǐng)同學(xué)們想想，為何q≠0呢？生獨(dú)立思慮、合作溝通、自主研究.師假定q=0，數(shù)列的第二項(xiàng)就應(yīng)當(dāng)是0，那么作第一項(xiàng)后邊的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比時(shí)就出現(xiàn)什么了呢？生疏母為0了.師對(duì)了，問(wèn)題就出在這里了，所以，一定q≠0.師那么，等比數(shù)列的首項(xiàng)能不可以為0呢？生等比數(shù)列的首項(xiàng)不可以為0.師是的，等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不可以為0，等比數(shù)列中的任一項(xiàng)都不會(huì)是0.［合作研究］師類(lèi)比等差中項(xiàng)的觀點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們自己給出等比中項(xiàng)的觀點(diǎn).生假如在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a、b的等比中項(xiàng).師想想，這時(shí)a、b的符號(hào)有什么特色呢？你能用a、b表示G嗎？生一同研究,a、b是同號(hào)的Gb，G=±ab，G2=ab.G師察看學(xué)生所獲得的a、b、G的關(guān)系式，并賜予必定.增補(bǔ)練習(xí)：與等差數(shù)列同樣，等比數(shù)列也擁有必定的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于等差數(shù)列來(lái)說(shuō)，與數(shù)列中任一項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于該項(xiàng)的2倍，即an-k+an+k=2an.對(duì)于等比數(shù)列來(lái)說(shuō)，有什么近似的性質(zhì)呢？生獨(dú)立研究，得出：等比數(shù)列有近似的性質(zhì)：an-k·an+k=an2.［合作研究］研究：一個(gè)數(shù)列a1,a2,a3,,an,(a1≠0)是等差數(shù)列，同時(shí)還可以不可以是等比數(shù)列呢？(2)寫(xiě)出兩個(gè)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前5項(xiàng)，比較這兩個(gè)數(shù)列能否同樣？寫(xiě)出兩個(gè)公比為2的等比數(shù)列的前5項(xiàng)，比較這兩個(gè)數(shù)列能否同樣？任一項(xiàng)an及公比q同樣，則這兩個(gè)數(shù)列同樣嗎？隨意兩項(xiàng)am、an同樣，這兩個(gè)數(shù)列同樣嗎？若兩個(gè)等比數(shù)列同樣，需要什么條件？師指引學(xué)生研究，并給出(1)的答案，（2)(3)(4)可留給學(xué)生回答.生研究并分組議論上述問(wèn)題的解答方法，并溝通(1)的解答.［教師精講］歸納總結(jié)對(duì)上述問(wèn)題的研究，得出：(1)中，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是存在的，每一個(gè)非零常數(shù)列都是公差為為1的既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列.歸納學(xué)生對(duì)(2)(3)(4)的解答.

0，公比(2)中，首項(xiàng)為

1，而公比不一樣的等比數(shù)列是不會(huì)同樣的；公比為

2，而首項(xiàng)不一樣的等比數(shù)列也是不會(huì)同樣的.中，是指兩個(gè)數(shù)列中的任一對(duì)應(yīng)項(xiàng)與公比都同樣，可得出這兩個(gè)數(shù)列同樣；中，是指兩個(gè)數(shù)列中的隨意兩個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)都同樣，能夠得出這兩個(gè)數(shù)列同樣；(5)中，結(jié)論是：若兩個(gè)數(shù)列同樣，需要“首項(xiàng)和公比都同樣”.(研究的目的是為了說(shuō)明首項(xiàng)和公比是決定一個(gè)等比數(shù)列的必需條件；為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)做準(zhǔn)備)［合作研究］師回首等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？生推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.［方法指引］師讓學(xué)生與等差數(shù)列的推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)比，并指引學(xué)生采納不完整歸納法得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.詳細(xì)的，設(shè)等比數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q，依據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,,an=an-1q=a1qn-1，即an=a1qn-1.師依據(jù)等比數(shù)列的定義，我們還可以夠?qū)懗鯽2a3a4...anq,a1a2a3an1從而有ann-1n-22n-331n-1.=aq=aq=aq==aq亦得an=a1qn-1.師察看一下上式，每一道式子里，項(xiàng)的下標(biāo)與q的指數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)有什么共同的特色嗎？生把a(bǔ)n當(dāng)作anq0，那么，每一道式子里，項(xiàng)的下標(biāo)與q的指數(shù)的和都是n.師特別正確，這里不單給出了一個(gè)由an倒推到an與a1，q的關(guān)系，從而得出通項(xiàng)公式的過(guò)程，并且此中還包含了等比數(shù)列的基天性質(zhì)，在后邊我們研究等比數(shù)列的基天性質(zhì)時(shí)將會(huì)再提到這組關(guān)系式.師請(qǐng)同學(xué)們環(huán)繞依據(jù)等比數(shù)列的定義寫(xiě)出的式子a2a3a4...anq,再思慮.a1a2a3an1假如我們把上邊的式子改寫(xiě)成a2a3a4q,...,anq.a1q,q,an1a2a3那么我們就有了n-1個(gè)等式，將這n-1個(gè)等式兩邊分別乘到一同(疊乘)，獲得的結(jié)果是ann1n1n-1qq.a1,于是，得a=a師這不又是一個(gè)推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法嗎？師在上述方法中，前兩種方法采納的是不完整歸納法，嚴(yán)格的，還需給出證明.第三種方法沒(méi)有波及不完整歸納法，是一個(gè)完滿的推導(dǎo)過(guò)程，不再需要證明.師讓學(xué)生說(shuō)出公式中首項(xiàng)a1和公比q的限制條件.生a1，q都不可以為0.［知識(shí)拓展］師前面實(shí)例中也有“細(xì)胞分裂”“計(jì)算機(jī)病毒流傳”“復(fù)利計(jì)算”的練習(xí)和習(xí)題，那邊是用什么方法解決問(wèn)題的呢？教師出示多媒體課件三：前面實(shí)例中對(duì)于“細(xì)胞分裂”“計(jì)算機(jī)病毒流傳”“復(fù)利計(jì)算”的練習(xí)或習(xí)題.某種積蓄按復(fù)利計(jì)算成本利息，若本金為a元，每期利率為r，設(shè)存期是x,本利和為y元.（1）寫(xiě)出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）假如存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后的本利和.師前面實(shí)例中對(duì)于“細(xì)胞分裂”“計(jì)算機(jī)病毒流傳”“復(fù)利計(jì)算”的問(wèn)題是用函數(shù)的知識(shí)和方法解決問(wèn)題的.生比較兩種方法，思慮它們的異同.［教師精講］經(jīng)過(guò)用不一樣的數(shù)學(xué)知識(shí)解決近似的數(shù)學(xué)識(shí)題，從中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)能夠聯(lián)系起來(lái).(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出通項(xiàng)公式為nn-1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=2x-1的圖象，a=2你發(fā)現(xiàn)了什么？(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出通項(xiàng)公式為an(1)n1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y=(1)x-1的22圖象，你又發(fā)現(xiàn)了什么？生借助信息技術(shù)或用描點(diǎn)作圖畫(huà)出上述兩組圖象，而后溝通、議論、歸納出兩者之間的關(guān)系.師出示多媒體課件四：借助信息技術(shù)作出的上述兩組圖象.察看它們之間的關(guān)系，得出結(jié)論：等比數(shù)列是特別的指數(shù)函數(shù)，等比數(shù)列的圖象是一些孤立的點(diǎn).師請(qǐng)同學(xué)們從定義、通項(xiàng)公式、與函數(shù)的聯(lián)系3個(gè)角度類(lèi)比等差數(shù)列與等比數(shù)列，并填補(bǔ)以下表格：等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一差都是同一個(gè)常數(shù)項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)首項(xiàng)、公差(公比)取值有沒(méi)有任何限制首項(xiàng)、公比都不可以為0無(wú)窮制通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1相應(yīng)圖象的特色直線y=a11x-1圖象上孤立的點(diǎn)+(x-1)d上孤立的點(diǎn)函數(shù)y=aq［例題解析］【例1】某種放射性物質(zhì)不停變化為其余物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年，剩留的這種物質(zhì)是本來(lái)的84％，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)(精準(zhǔn)到1年)？師從中能抽象出一個(gè)數(shù)列的模型，并且該數(shù)列擁有等比關(guān)系.【例2】依據(jù)右圖中的框圖，寫(xiě)出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并成立數(shù)列的遞推公式，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？師將打印出來(lái)的數(shù)挨次記為a1(即A)，a2，a3，.11可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.22于是，可得遞推公式a11,an1a1(n＞.2n1)因?yàn)閍n1，所以，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列