高中數(shù)學(xué)第十章復(fù)數(shù)103復(fù)數(shù)的三角形式其運(yùn)算新人教B必修第四冊(cè)新人教B高一第四冊(cè)數(shù)學(xué)教案

10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算[課程目標(biāo)]1.掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘、除及乘方運(yùn)算；2.掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)變關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的三角形式[填一填]→1．假如非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(a，b)，且r為向量OZ的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個(gè)角，則r＝|z|＝a2＋b2，依據(jù)隨意角余ab弦、正弦的定義可知，cosθ＝r，sinθ＝r.所以，a＝rcosθ，b＝rsinθ，以下圖，從而z＝＋i＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝(cosθ＋isinθ)，上式的右側(cè)稱為非零復(fù)數(shù)z＝aabr＋bi的三角形式(對(duì)應(yīng)地，a＋bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式)，此中的θ稱為z的輻角．2．任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無(wú)量多個(gè)，并且隨意兩個(gè)輻角之間都相差2π的整數(shù)倍．特別地，在[0,2π)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.[答一答]1．復(fù)數(shù)的三角形式條件是什么？提示：z＝r(cosθ＋isinθ)，r≥0.②加號(hào)連結(jié)．③余弦在前，正弦在后．θ前后一致，可隨意值．知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)三角形式的乘法[填一填]1．設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ)×r(cosθ＋isinθ)＝rr[cos(θ＋θ)＋isin(θ＋θ)]．1222121212→→→2．兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的幾何意義：設(shè)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ1，OZ2，將OZ1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)→

→→θ2，再將OZ1的模變成本來(lái)的

r2倍，假如所得向量為

OZ，則OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為

z1z2，如圖所示．3．假如

n∈N，則[r(cos

θ＋isin

θ)]

n＝rn[cos(

nθ)＋isin(

nθ)]

．[答一答]2．復(fù)數(shù)三角形式的乘法的運(yùn)算原則是什么？提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其積仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于兩個(gè)復(fù)數(shù)模的積，它的輻角等于兩個(gè)復(fù)數(shù)輻角的和．也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，是把模相乘作為積的模，把輻角相加作為積的輻角．知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)三角形式的除法[填一填]z11．設(shè)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，則z2＝r1cosθ1＋isinθ1r1[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]r2cosθ2＋isinθ2＝r2．2．兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的幾何意義：→→→→設(shè)z，z對(duì)應(yīng)的向量分別為OZ，OZ，將OZ繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，再將OZ的模變成原1212121→→z1來(lái)的OZ，則OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為，假如所得向量為，以下圖．r2z2[答一答]3．復(fù)數(shù)三角形式除法的運(yùn)算法例是什么？提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，其商仍是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，它的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，是把模相除作為商的模，輻角相減作為商的輻角．種類一由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式[例1]以下各式是不是三角形式，若不是，化為三角形式．z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ；(4)z4sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.[剖析]由三角形式的構(gòu)造特點(diǎn)，確立判斷的依照和變形的方向變形時(shí)，可依照以下步驟進(jìn)行：第一確立復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限

(此處可假設(shè)

θ

為銳角)，其次判斷能否要變換三角函數(shù)名稱，

最后確立輻角，此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)→命名→定角”這樣，

使變形的方向更具操作性，能有效提升解決此類問(wèn)題的正確率．[解](1)由“模非負(fù)”知，不是三角形式，需做變換z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假設(shè)θ為銳角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再變換三角函數(shù)名稱，所以可用引誘公式“π＋θ”將θ變換到第三象限，z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．由“加號(hào)連”知，不是三角形式．z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

(cos

θ2，－sin

θ)在第四象限

(假設(shè)

θ

為銳角

)，不需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用引誘公式“

2π－

θ”或“－

θ”將

θ變換到第四象限．∴z2＝cosθ－isin

θ＝cos(－θ)＋isin(

－θ)或

z2＝cosθ－isin

θ＝cos(2π－

θ)isin(2π－θ)．由“余弦前”知，不是三角形式．z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(－sinθ，cosθ)在第二象限(假設(shè)θ為銳角)，需改變?nèi)呛袛?shù)名稱，可用引誘公式“2＋θ”將θ變換到第二象限．ππ∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(2＋θ)＋isin(2＋θ)．同理(3)z4＝sinθ－icosθ＝cos(33(4)2π＋θ)＋isin(2π＋θ)．(5)z＝cos60°＋isin301111ππ2π222244245π＋isin)．4考慮到復(fù)數(shù)輻角的不獨(dú)一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不獨(dú)一．對(duì)這種與三角形式很相像的式子，怎樣將之變換為三角形式，關(guān)于初學(xué)者來(lái)講是個(gè)難點(diǎn)，有了“定點(diǎn)→命名→定角”這樣一個(gè)可操作的步驟，應(yīng)能夠很好地解決此類問(wèn)題.[變式訓(xùn)練1]把以下復(fù)數(shù)代數(shù)式化成三角式：3＋i；(2)1＋i；(3)－4＋3i.解：(1)r＝3＋1＝2，∵3＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴tanθ＝1π，即θ＝，36ππ3＋i＝2cos6＋isin6.(2)∵r＝1＋1＝2，而1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，1πππ∴tanθ＝＝1，∴θ＝，∴1＋i＝2(cos＋isin)．1444(3)∵r＝9＋16＝5.3－4＋3i對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，tanθ＝－，4∴θ＝π－arctan3，4∴－4＋3i＝5[cos(33π－arctan)＋isin(π－arctan)]．44種類二復(fù)數(shù)的模及輻角主值[例2]求復(fù)數(shù)z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模與輻角主值．[剖析]式子中多了個(gè)“1”，只有將“1”消去，才能更靠近三角形式，所以可利用三角公式消“1”．2θθθθθ[解]z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2－1)＋2isin2cos2＝2cos2(cos2＋θisin2)．(1)πθθ∵π<θ<2π，∴2<2<π，∴cos2<0，θθθ)∴(1)式右端＝－2cos(－cos－isin222θθθ＝－2cos2[cos(π＋2)＋isin(π＋2)]θ∴r＝－2cos2.πθ3θθ∵2<2<π，∴2π<π＋2<2π，∴argz＝π＋2.θθθr＝復(fù)數(shù)2cos2(cos2＋isin2)從形式上看仿佛就是三角形式，許多同學(xué)以為θθ2cos2，argz＝2.錯(cuò)誤之處在于他們沒(méi)有去考慮θ角的范圍，所以必定要用“模非負(fù)，角同樣，余弦前，加號(hào)連”來(lái)判斷能否為三角形式．看了這道例題，你必定能解決如z1＝1－cosθ－isinθ(π<θ<2π)，z＝1＋cosθ－isinθ(π<θ<2π)等近似問(wèn)題．2[變式訓(xùn)練2](1)復(fù)數(shù)sin50°－isin140°的輻角主值是(D)A．150°B．40°C．－40°D．320°分析：sin50°>0，－sin140°<0，復(fù)數(shù)sin50°－isin140°在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，由于sin50°－isin140°＝cos40°－isin40°＝cos(360°－40°)＋isin(360°－40°)＝cos320°＋isin320°，所以輻角主值為320°.(2)當(dāng)實(shí)數(shù)＝0時(shí)，復(fù)數(shù)(2－2)＋(225－－3－2)i的輻角主值是π.mmmmm42m－m－2≤0，52分析：由于輻角主值為2m－3m－2≤0，π，則2m－3m－22＝1，m－m－2解得m＝0.種類三復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算[例3]計(jì)算：3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)]·[10(cos80°＋isin80°)]．[解]3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)][10(cos80°＋isin80°)]3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)]60(cos150°＋isin150°)31＝60(－＋i)22＝－303＋30i.若碰到復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式混淆相乘時(shí)，需將相混的復(fù)數(shù)一致成代數(shù)式或三角式，而后進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)式相乘或三角式相乘.[變式訓(xùn)練3]計(jì)算：77(－1＋i)[3(cos4π＋isin4π)]．解：|－1＋i|＝－122＝－1212＋12，cosθ＝＝－，sinθ＝＝，∴可取2222θ＝34π.故－1＋i的三角形式為2(cos3π＋isin3π)．44原式＝2(cos3π＋isin3π)[3(cos7π＋isin7π)]44443737＝2·3[cos(4π＋4π)＋isin(4π＋4π)]55ππ＝6(cos2π＋isin2π)＝6(cos2＋isin2)＝6i.[例4]已知n∈N*，求證：(cosθ－isinθ)n＝cosnθ－isinnθ.[證明]左側(cè)＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]n＝[cos(－nθ)＋isin(－nθ)]＝cosnθ－isinnθ＝右側(cè)．復(fù)數(shù)n次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次冪.它的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍.也就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的n次冪n∈N，是把模的n次冪作為冪的模，把輻角的n倍作為冪的輻角.[變式訓(xùn)練4]計(jì)算：ππ10(1)[2(cos4＋isin4)]；2π2π5(2)[2(cos15＋isin15)].ππ10解：(1)[2(cos4＋isin4)]1055ππ＝(2)(cos2π＋isin2π)＝32(cos2＋isin2)＝32i.2π2π552π2π(2)[2(cos15＋isin15)]＝2(cos3＋isin3)13＝32(－2＋2i)＝－16＋163i.種類四復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算1[例5]已知復(fù)數(shù)z＝r(cosθ＋isinθ)，r≠0，求z的三角形式．1cos0°＋isin0°11[解]z＝rcosθ＋isinθ＝r[cos(0°－θ)＋isin(0°－θ)]＝r[cos(－θ)isin(－θ)]．由此例能夠看出，一個(gè)非零復(fù)數(shù)的倒數(shù)，其模是本來(lái)復(fù)數(shù)的模的倒數(shù)，其輻角是本來(lái)復(fù)數(shù)輻角的相反數(shù).[變式訓(xùn)練5]計(jì)算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]．解：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]42[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)]2[cos(－240°)＋isin(－240°)]32(－2＋2i)＝－1＋3i.13的三角形式是(D)1．復(fù)數(shù)－i22ππA．cos(－)－isin(－)33B．cosππ＋isin33C．cosππ－isin33D．cos5π5π＋isin332．設(shè)z1＝－1＋3i，z2＝(1z1)2，則z2的輻角主值是(B)25π4πA.B.6311π5πC.D.633．假如θ∈(π，π)，那么復(fù)數(shù)(1＋i)(cosθ－isinθ)的三角形式是