插值和擬合資料講解

插值和擬合插值和擬合都是函數(shù)逼近或者數(shù)值逼近的重要組成部分他們的共同點都是通過已知一些離散點集M上的約束，求取一個定義在連續(xù)集合S（M包含于S）的未知連續(xù)函數(shù)，從而達到獲取整體規(guī)律的目的，即通過"窺幾斑"來達到"知全豹"。簡單的講，所謂擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值{f1,f2,…，fn},通過調整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f（入1,入2,…，入3）,使得該函數(shù)與已知點集的差別（最小二乘意義）最小。如果待定函數(shù)是線性，就叫線性擬合或者線性回歸（主要在統(tǒng)計中），否則叫作非線性擬合或者非線性回歸。表達式也可以是分段函數(shù)，這種情況下叫作樣條擬合。而插值是指已知某函數(shù)的在若干離散點上的函數(shù)值或者導數(shù)信息，通過求解該函數(shù)中待定形式的插值函數(shù)以及待定系數(shù)，使得該函數(shù)在給定離散點上滿足約束。插值函數(shù)又叫作基函數(shù)，如果該基函數(shù)定義在整個定義域上，叫作全域基，否則叫作分域基。如果約束條件中只有函數(shù)值的約束，叫作Lagrange插值，否則叫作Hermite插值。從幾何意義上將，擬合是給定了空間中的一些點，找到一個已知形式未知參數(shù)的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點；而插值是找到一個(或幾個分片光滑的)連續(xù)曲面來穿過這些點。一、 概念的引入插值與擬合在現(xiàn)實生活中的應用l機械制造：汽車外觀設計l采樣數(shù)據的重新建構：電腦游戲中場景的顯示，地質勘探，醫(yī)學領域(CT)概念的定義l插值：基于［a,b］區(qū)間上的n個互異點，給定函數(shù)f(x),尋找某個函數(shù)去逼近f(x)。若要求e(x)在xi處與f(xi)相等，這類的函數(shù)逼近問題稱為插值問題，xi即是插值點l逼近：當取值點過多時，構造通過所有點的難度非常大。此時選擇一個次數(shù)較低的函數(shù)最佳逼近這些點，一般采用最小二乘法l光顧：曲線的拐點不能太多，條件：①二階幾何連續(xù)②不存在多余拐點③曲率變化較小l擬合：曲線設計過程中用插值或通過逼近方法是生成的曲線光滑(切變量連續(xù))光顧二、 插值理論設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在［a,b］上有互異點x,x,…，x處取值0 1ny,y,y。如果函數(shù)e(x)在點x上滿足e(x)二y(i=0,1,2,…，n),則稱0 1n i ii僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網站刪除謝謝3^(x)是函數(shù)y=f(x)的插值函數(shù)，x,x,…，x是插值節(jié)點。若此時e(x)是代數(shù)

01n多項式P(x),則稱P(x)為插值多項式。顯然f(x)~e(x),xW[a,b]拉格朗日插值構造n次多項式P(x)=yl(x)=yl(x)+yl(x)+“?+yl(x),這是不超過n kk 00 11 nnn次的多項式，其中基函數(shù)l(x)=k顯然丨(x)滿足丨(x)二kki此時P(x)^f(x),誤差R(x)=f(x)-P(x)=n n n其中￡(a,b)且依賴于x,=(x-x)(x-x”?(x-x)0 1 n很顯然，當n=1、插值節(jié)點只有兩個x,x時kk+1P(x)=yl(x)+yl(x)1kkk+1k+1其中基函數(shù)l(x)二l(x)=kk+1牛頓插值構造n次多項式N(x)=f(x)+f(x,x)(x-x)+f(x,x,x)(x-x)(x-x)+???n 0 0 1 0 0 1 2 0 1+f(x,x,x,…，x)(x-x)(x-x”?(x-x)0 1 2n0 1 n稱為牛頓插值多項式,其中(二個節(jié)點,一階差商)(三個節(jié)點,二階差商)(n+1個節(jié)點，n階差商)注意：由于插值多項式的唯一性，有時為了避免拉格朗日余項R(x)中n+1階導n數(shù)的運算，用牛頓插值公式R(x)=f(x)-N(x)=f(x,x，—,x)w(x),n n 0nn+1其中3 (X)=(X-X)(X-X)…(X-X)n+101n分段插值 子區(qū)間內，避免函數(shù)在某些區(qū)間失真線性插值已知n+1個不同節(jié)點x,x,…，x，構造分段一次線性多項式P(x),使之滿足0 1nlP(x)在［a,b］上連續(xù)lP(X)=ykklP(x)在［x,x］上是線性函數(shù),P(x)=ii+1兩點帶導數(shù)插值---避免尖點、一階連續(xù)區(qū)間［a,b］上兩個互異節(jié)點x,x，已知實數(shù)y,y,m,m，為了構造次數(shù)ii+1ii+1ii+1不大于3的多項式滿足條件引入,使之滿足可以求出此時=+，其中4.三次樣條插值 二階可導對于給定n+1個不同節(jié)點x,x,…，x及函數(shù)值y,y,…，y，其中0 1n 0 1na=x1〈…n二b。構造三次樣條插值函數(shù)S(x)。S(x)稱為三次樣條函數(shù)時需滿足:0lS(x)在［a,b］上二階導數(shù)連續(xù)lS(x)=y(k=0,1,…，n)kk丨每個子區(qū)間［x,x］上S(x)是三次多項式(k=0,1,…，n)kk+1

5.例題已知函數(shù)y=f(x)的觀測值X1234Y0-5-63求三次插值多項式e(x)及e(2.5).解：(1)拉格朗日插值P(x)=yl(x)+yl(x)+yl(x)+yl(x)300112233=(-5)+(-6)+3=x3-4x2+3e(x)~P(x)=X3-4X2+30(2.5)=2.53-4*2.52+3=-6.3753(2)牛頓插值xf(x)一階差商二階差商三階差商o'2-5-53-6-1243951N(x)=f(x)+f(x,x)(x-x)+f(x,x,x)(x-x)(x-x)+f(x,x,x,x)(x-x)(x-3 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 0x)(x-x)12x)(x-x)12=0+(-5)(x-1)+2*(x-1)(x-2)+1*(x-1)(x-2)(x-3)=x3-4x2+3三、Matlab在插值中的應用1.Lagrange插值1)方法回顧對給定的n個節(jié)點x,x,…，x及對應的函數(shù)值y,y,…，y，利用n次Lagrange1 2n 1 2n插值多項式公式，插值區(qū)間內任意x的函數(shù)值y可以通過下式求出：2)Matlab實現(xiàn)函數(shù)Lagrange.mfunctiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end例題的Matlab實現(xiàn)x=[1234];y=[0-5-63];lagrange(x,y,2.5)2.Runge現(xiàn)象及分段線性插值Runge現(xiàn)象Runge在本世紀初發(fā)現(xiàn)：在[-1,1]上用n+1個等距結點作插值多項式P(x),使n其在個結點的值與函數(shù)y(x)=1/(1+25x2)在結點的值相等。但在nT?時，插值多項式P(x)在區(qū)間中部趨于y(x)。但對于0.726W|x|W1的x,P(x)嚴重nn發(fā)散。通過下面的例子，以圖形的方式體會Runge現(xiàn)象(f(x)=1/(1+x2))x=[-5:1:5];y=1./(1+x?⑵;x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+xO?⑵；%繪制圖形plot(x0,y0,'--r')holdonplot(x0,y1,'-b')Matlab實現(xiàn)分段插值 維插值interpllyi=interp1(x,y,xi)對(x,y)進行插值，計算插值點xi的函數(shù)值lyi=interp1(y,xi)默認x=1:n,n是向量y的元素個數(shù)lyi=interp1(x,y,xi,'method')指定特定算法插值，method可以是如下字符串0linear線性插值0spline三次樣條插值0cubic三次插值要求：x是單調，但不要求連續(xù)等距。如果x連續(xù)等距，可以選用快速插值法。調用函數(shù)時只需在method前加，如"*spline"例題用一維線性插值解決Runge現(xiàn)象y2=interp1(x,y,x0);plot(x0,y2,'*m')正弦曲線的插值示例x=0:0.1:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10;yi=interp1(x,y,xi);plot(x,y,'o',xi,yi)Hermite插值1)方法介紹已知n個插值節(jié)點x,x,…，x及起對應的函數(shù)值y,y,…，y和一階導數(shù)值1 2n 1 2ny',y',…，y'，則計算插值區(qū)域內任意X的函數(shù)值y的Hermite插值公式1 2 n其中：,2)Matlab實現(xiàn)Hermite.mfunctiony=hermite(x0,y0,y1,x)n=length(x0);m=length(x);fork=1:myy=0.0;fori=1:nh=1.0;a=0.0;forj=1:n?廣 ?~ ?ifj~=ih二h*((x(k)-xO(j))/(xO(i)-xO(j))廠2;a=1/(x0(i)-x0(j))+a;endendyy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));endy(k)=yy;end例題如下數(shù)據表，構造Hermite多項式，并求出Sin0.34的近似值x0.30 |0.320.35Sin(x)0.29552|0.314570.34290Cos(x)0.95534|0.949240.93937x0=[0.30.320.35];y0=[0.295520.314570.34290];y1=[0.955340.949240.93937];x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x);plot(x,y)y=hermite(x0,y0,y1,0.34);ysin(0.34)y2=sin(x);holdonplot(x,y2,'--r')三次樣條插值y3=interp1(x,y,x0,'*spline');y3=spline(x,y,x0);plot(x0,y3,'-g')四、 數(shù)據擬合1.方法介紹在實際生活中，往往需要從一組實驗數(shù)據(x,y)中尋找出變量x,y之間的函ii數(shù)關系。由于觀測數(shù)據不可避免出現(xiàn)誤差，因此并不需要y二f(x)—定要經過所有的點，而只要求在給定點x上誤差△i=f(x)-y按某種標準達到最小。通常i ii用歐式范數(shù)I△丨2作為誤差量度的標準。這就是所謂的最小二乘法。注意：數(shù)據擬合與插值的最大區(qū)別在于擬合需要給出一個曲線方程的具體解析形式，而插值只需求出該點的內插數(shù)值。1)線性擬合線性擬合以最簡單的一次線性方程f(x)二ax+a擬合數(shù)據。按最小二乘法，a,a1010需滿足最小，因此可以通過求出此時的a1,a02)超定方程的解法僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網站刪除謝謝12求解方程Ax=b，其中A為m*n階矩陣，x(1:n),b(1:m)均為列向量，且m>n。由于該超定方程個數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)，當增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩時無解?，F(xiàn)在求其最小二乘解，它就是使余向量r=b-Ax的譜范數(shù)||r|=(rw)i/2x x2xx最小的n維向量。具體解法可以通過求解該方程組的法方程組AtAx二ATb獲得。2.Matlab的實現(xiàn)1)線性擬合及多項式擬合ployfit(x,y,i)以最高次為i的多項式擬合數(shù)據點(x,y)例1x=[012345];y=[021627077110];coef=polyfit(x,y,1);a1=coef(1),a0=coef(2);ybest=a1*x+a0;s二sum((y-ybest).八2);axis([-1,6,-20,120]);plot(x,y,'*')holdonplot(x,ybest)例2如下給出從二階到十階多項式擬合曲線的比較程序，并給出擬合曲線x=[012345];y=[021627077110];xi=0:0.2:5;forn=2:10bb=polyfit(x,y,n);yi=polyval(bb,xi);plot(xi,yi,x,y,'*')title([int2str(n),'次多項式擬合曲線'])gridonpauseend例3在某個實驗中得到如下一組數(shù)據：x1234567y0.31010.49000.64000.80000.92001.05001.2000已知x,y滿足y=kxn,求參數(shù)k與n。提示:y=kxndlny=lnk+nlnxLOG(