2.1.1曲線與方程學(xué)習(xí)

曲線與方程Oxyx-y=012-1-22-2答：（1）直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解；M（x,y)問(wèn)題1:坐標(biāo)平面中第一、三象限的平分線L的方程是什么？如何理解兩坐標(biāo)軸所成的角位于第一、三象限的平分線l的方程是x-y=0？思考：（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。問(wèn)題2：函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線，這條拋物線是所有以方程y=ax2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成。這句話的意義是什么？答：如果M（x0,y0)是拋物線上的點(diǎn)，那么（x0,y0)一定是這個(gè)方程的解；反過(guò)來(lái)，如果（x0,y0)是方程y=ax2的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在這條拋物線上。這樣，我們就說(shuō)y=ax2是這條拋物線的方程。3-3-13Oxyy=ax2(a>0)M(x0,y0)如何理解以（a，b)為心半徑為r的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2?（a，b)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)與二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個(gè)方程f(x,y)=0叫做這條曲線C的方程;這條曲線C叫做這個(gè)方程f(x,y)=0的曲線.1、定義說(shuō)明:1）曲線的方程——反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系;f(x,y)=00xy2）方程的曲線——反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.定義的特征“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”，說(shuō)明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外（純粹性）。“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”說(shuō)明符合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏（完備性）。簡(jiǎn)記：曲線上的點(diǎn)都符合方程即：“形由數(shù)成”簡(jiǎn)記：符合條件的都在曲線上即：“數(shù)由形定”例1:如果曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解,那么以下說(shuō)法正確的是()A.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上B.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)有些不在曲線C上C.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程F(x,y)=0的解D.坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上分析:本題是曲線與方程的定義的應(yīng)用問(wèn)題.解:按曲線與方程的定義可知,已知條件交代的曲線C和方程并不一定是相互的,因此A?B?C都無(wú)正確的依據(jù),另外,已知條件逆否命題恰好是D,故D是正確的選項(xiàng).D練習(xí)1.命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解”是正確的,下面命題中正確的是()A.方程f(x,y)=0的曲線是CB.方程f(x,y)=0的曲線不一定是CC.f(x,y)=0是曲線的方程D.以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上解析:由題設(shè)知曲線C與方程f(x,y)=0不是對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以答案B正確.B已知f(x,y)=0是曲線c的方程，（1）若點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)是方程f(x,y)=0的解，則點(diǎn)M在曲線C上.（錯(cuò)誤）（正確）（錯(cuò)誤）（正確）（4）若點(diǎn)M(x,y)在曲線C上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)不一定滿足方程f(x,y)=0.（3）若點(diǎn)M(x,y)在曲線C上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0.（2）若點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)是方程f(x,y)=0的解，則點(diǎn)M不在曲線C上.2.判斷正誤：3判斷下列說(shuō)法是否正確.O(1)方程：|x|-y=0的曲線如下圖.

x

y(曲線上有的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)不滿足方程)(1).曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)都在曲線C上.滿足（2)

但不滿足(1)O

x

y(2).和兩條坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是:

y=x(除了直線y=x上的點(diǎn)滿足條件外,還有其他的點(diǎn)滿足條件.)(1).曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)都在曲線C上.滿足（1)

但不滿足(2)或y=-x4:下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？

(1)曲線C為過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(-1，1)的折線(如圖(1))其方程為(x-y)(x+y)=0;

(2)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內(nèi)到x軸，y軸的距離乘積為1的點(diǎn)集，其方程為y=。10xy-11xy-11-2210xy-11-221軌跡方程的證明：證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k（K>0）的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k分析：（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在軌跡上（1）軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程第一步，設(shè)M(x0,y0)是曲線C上任一點(diǎn)，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；歸納:

證明已知曲線的方程的方法和步驟

第二步，設(shè)(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點(diǎn)M(x0,y0)在曲線C上.例2

證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點(diǎn)M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在這個(gè)圓上.證明：(1)設(shè)M(x0,y0)是圓上任意一點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，所以也就是xo2+yo2=25.

即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)設(shè)(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么

x02+y02=25

兩邊開方取算術(shù)根，得即點(diǎn)M(x0,y0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M(x0,y0)是這個(gè)圓上的一點(diǎn).由1、2可知，x2+y2=25,是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程.0