勾股定理（知識建構(gòu)遷移） 八年級數(shù)學上冊教材配套教學課件(浙教版)

學習目標經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合的思想.會用勾股定理進行簡單的計算.其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點，世界上許多科學家向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等.情景引入據(jù)說我國著名的數(shù)學家華羅庚曾建議“發(fā)射”一種勾股定理的圖形(如圖).很多學者認為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會認識這種語言，因為幾乎所有具有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所了解.情景引入勾股定理的認識及驗證

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：ABC問題1試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？知識精講ABC一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=

問題2圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？知識精講問題3

在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？知識精講方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：知識精講方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？知識精講根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169思考

正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？知識精講命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由上面的幾個例子，我們猜想：abc下面動圖形象的說明命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學家們用拼圖法來證明這一猜想.知識精講證法1

讓我們跟著我國漢代數(shù)學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.知識精講abbcabcaabc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學大會的會徽.知識精講證法2

畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.知識精講aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，知識精講aabbcc∴a2+b2=c2.證法3

美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.知識精講在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.勾股定理abc知識精講在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾2+股2=弦2知識精講

例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=1，b=2,求c.

（2）若a=15,c=17,求b.解：(1)據(jù)勾股定理,得(2)據(jù)勾股定理得CAB典例解析∵c＞0

∵b＞0

（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【變式題1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得【點睛】已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.變式練習【變式題2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當AB為斜邊時，如圖，當BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖【點睛】當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.變式練習例2

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34【點睛】由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．變式練習

求下列圖中未知數(shù)x、y的值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5針對練習1.下列說法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2達標檢測3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長的平方為_________.17574或24達標檢測5.求斜邊長17cm、一條直角邊長15cm的直角三角形的面積.解：設(shè)另一條直角邊長是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，∴

x=±8（負值舍去），∴另一直角邊長為8cm，直角三角形的面積是

(cm2).達標檢測6.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=．達標檢測解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2