挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題(第八版精選)(2023版)

挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題(第八版精選)(2023版)目錄第一局部函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例12023年武漢市中考第24題例22023年上海市中考第24題例32023年蘇州市中考第29題例42023年黃岡市中考第25題例52023年義烏市中考第24題例62023年臨沂市中考第26題1.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例12023年長沙市中考第第26題例22023年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題例32023年揚州市中考第27題例42023年臨沂市中考第26題例52023年湖州市中考第24題例62023年鹽城市中考第28題例72023年南通市中考第27題1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例12023年蘇州市中考第29題例22023年山西省中考第26題例32023年廣州市中考第24題例42023年杭州市中考第22題例52023年浙江省中考第23題例62023年北京市中考第24題例72023年嘉興市中考第24題1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例12023年陜西省中考第24題例22023年上海市松江區(qū)中考模擬第24題例32023年福州市中考第21題例42023年煙臺市中考第26題例52023年上海市中考第24題例62023年江西省中考第24題例72023年山西省中考第26題1.5因動點產(chǎn)生的梯形問題例12023年上海市金山區(qū)中考模擬第24題例22023年上海市松江中考模擬第24題例32023年衢州市中考第24題例42023年義烏市中考第24題例52023年杭州市中考第24題1.6因動點產(chǎn)生的面積問題例12023年昆明市中考第23題例22023年蘇州市中考第29題例32023年菏澤市中考第21題例42023年河南省中考第23題例52023年南通市中考第28題例62023年廣州市中考第25題例72023年揚州市中考第28題1.7因動點產(chǎn)生的相切問題例12023年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例22023年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題例32023年河北省中考第25題1.8因動點產(chǎn)生的線段和差問題例12023年廣州市中考第24題例22023年天津市中考第25題例32023年濱州市中考第24題例42023年山西省中考第26題第二局部圖形運動中的函數(shù)關系問題2.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題例12023年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例22023年寧波市中考第26題例32023年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例42023年連云港市中考第26題2.2由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關系問題例12023年黃岡市中考第25題例22023年菏澤市中考第21題例32023年廣東省中考第22題例42023年河北省中考第26題例52023年淮安市中考第28題例62023年山西省中考第26題第三局部圖形運動中的計算說理問題3.1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題例12023年福州市中考第22題例22023年南京市中考第26題例32023年南昌市中考第25題3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例12023年安徽省中考第23題例22023年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題例32023年江西省中考第24題第四局部圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)4.1圖形的平移例12023年江西省中考第11題4.2圖形的翻折例12023年上海市中考第18題例22023年無錫市中考第18題4.3圖形的旋轉(zhuǎn)例12023年上海市黃浦區(qū)中考模擬第18題例22023年上海市長寧區(qū)中考模擬第17題4.4三角形例12023年泰州市中考第16題4.5四邊形例12023年廣州市中考第8題4.6圓例12023年溫州市中考第16題例22023年徐州市中考第17題4.7函數(shù)圖像的性質(zhì)例12023年蘇州市中考第18題例22023年煙臺市中考第12題聲明選自東師范大學出版社出版的?挑戰(zhàn)壓軸題·中考數(shù)學:精講解讀篇?〔含光盤〕一書。該書收錄當年全國各地具有代表性的中考數(shù)學壓軸題，并把它們分為4局部、24小類。該書最大的特色是用幾何畫板和超級畫板做成電腦課件，并為每一題錄制了視頻講解，讓你在動態(tài)中體驗壓軸題的變與不變，獲得清晰的解題思路，完成總分值解答，拓展思維訓練。?挑戰(zhàn)壓軸題·中考數(shù)學:精講解讀篇?自出版以來廣受讀者歡迎，被評為優(yōu)秀暢銷圖書,成為“中考壓軸題〞類第一暢銷圖書。在上海、北京、江蘇、浙江等省市的名牌初中的畢業(yè)班學生中，幾乎人手一本，成為沖刺名牌高中必備用書。由于格式問題，該書最具特色的電腦課件和視頻文件在此無法一并附上，敬請原諒。第一局部函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例12023年武漢市中考第24題如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒〔0＜t＜2〕，連接PQ．〔1〕假設△BPQ與△ABC相似，求t的值；〔2〕如圖2，連接AQ、CP，假設AQ⊥CP，求t的值；〔3〕試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上．圖1圖2動感體驗請翻開幾何畫板文件名“14武漢24〞，挈動點P運動，可以體驗到，假設△BPQ可以兩次成為直角三角形，與△ABC相似．當AQ⊥CP時，△ACQ∽△CDP．PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．思路點撥1．△BPQ與△ABC有公共角，按照夾角相等，對應邊成比例，分兩種情況列方程．2．作PD⊥BC于D，動點P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然．總分值解答〔1〕Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ與△ABC相似，存在兩種情況：①如果，那么．解得t＝1．②如果，那么．解得．圖3圖4〔2〕作PD⊥BC，垂足為D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．當AQ⊥CP時，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．圖5圖6〔3〕如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E．由于H是PQ的中點，HF//PD，所以F是QD的中點．又因為BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中點，E是AB的中點．所以PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．考點伸展此題情景下，如果以PQ為直徑的⊙H與△ABC的邊相切，求t的值．如圖7，當⊙H與AB相切時，QP⊥AB，就是，．如圖8，當⊙H與BC相切時，PQ⊥BC，就是，t＝1．如圖9，當⊙H與AC相切時，直徑，半徑等于FC＝4．所以．解得，或t＝0〔如圖10，但是與0＜t＜2矛盾〕．圖7圖8圖9圖10例22023年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y＝ax2＋bx〔a＞0〕經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．〔1〕求這條拋物線的表達式；〔2〕連結(jié)OM，求∠AOM的大??；〔3〕如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“13上海24〞，挈動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側(cè)，有兩種情況，△ABC與△AOM相似．請翻開超級畫板文件名“13上海24〞，挈動點C在x軸上運動，可以體驗到，點C在點B的右側(cè)，有兩種情況，△ABC與△AOM相似．點擊按鈕的左部和中部，可到達相似的準確位置。思路點撥1．第〔2〕題把求∠AOM的大小，轉(zhuǎn)化為求∠BOM的大小．2．因為∠BOM＝∠ABO＝30°，因此點C在點B的右側(cè)時，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根據(jù)夾角相等對應邊成比例，分兩種情況討論△ABC與△AOM相似．總分值解答〔1〕如圖2，過點A作AH⊥y軸，垂足為H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A．因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，設y＝ax(x－2)，代入點A，可得．圖2所以拋物線的表達式為．〔2〕由，得拋物線的頂點M的坐標為．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．〔3〕由A、B(2,0)、M，得，，．所以∠ABO＝30°，．因此當點C在點B右側(cè)時，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC與△AOM相似，存在兩種情況：①如圖3，當時，．此時C(4,0)．②如圖4，當時，．此時C(8,0)．圖3圖4考點伸展在此題情境下，如果△ABC與△BOM相似，求點C的坐標．如圖5，因為△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角為30°的等腰三角形，AB＝AC，根據(jù)對稱性，點C的坐標為(－4,0)．圖5例32023年蘇州市中考第29題如圖1，拋物線〔b是實數(shù)且b＞2〕與x軸的正半軸分別交于點A、B〔點A位于點B是左側(cè)〕，與y軸的正半軸交于點C．〔1〕點B的坐標為______，點C的坐標為__________〔用含b的代數(shù)式表示〕；〔2〕請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；〔3〕請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似〔全等可看作相似的特殊情況〕？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12蘇州29〞，挈動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻．雙擊按鈕“第〔3〕題〞，挈動點B，可以體驗到，存在∠OQA＝∠B的時刻，也存在∠OQ′A＝∠B的時刻．思路點撥1．第〔2〕題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等．2．聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示．3．第〔3〕題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上．總分值解答〔1〕B的坐標為(b,0)，點C的坐標為(0,)．〔2〕如圖2，過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設點P的坐標為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點P的坐標為()．圖2圖3〔3〕由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以OA、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當，即時，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點Q為()．②如圖5，以OC為直徑的圓與直線x＝1交于點Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當時，△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點共線．因此，即．解得．此時Q(1,4)．圖4圖5考點伸展第〔3〕題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而∠QOA與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．這樣，先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應成比例確定點B的位置．如圖中，圓與直線x＝1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB＝4OC矛盾．例42023年黃岡市中考模擬第25題如圖1，拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)．〔1〕假設拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；〔2〕在〔1〕的條件下，求△BCE的面積；〔3〕在〔1〕的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；〔4〕在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？假設存在，求m的值；假設不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12黃岡25”，挈動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但是∠BFC在無限遠處也不等于45°．觀察右圖，可以體驗到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE思路點撥1．第〔3〕題是典型的“牛飲水〞問題，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第〔4〕題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程．總分值解答〔1〕將M(2,2)代入，得．解得m＝4．〔2〕當m＝4時，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．〔3〕如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最小．設對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標為．〔4〕①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設點F的坐標為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．考點伸展第〔4〕題也可以這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長．例52023年義烏市中考第24題如圖1，梯形OABC，拋物線分別過點O〔0，0〕、A〔2，0〕、B〔6，3〕．〔1〕直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；〔2〕將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、B1的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數(shù)式表示x2－x1，并求出當S〔3〕在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？假設存在，請求出t的值；假設不存在，請說明理由．圖1圖2動感體驗請翻開幾何畫板文件名“10義烏24”，挈動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2－x1隨S的增大而減小．雙擊按鈕“第〔3〕題〞，挈動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE思路點撥1．第〔2〕題用含S的代數(shù)式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數(shù)變形就可以了．2．第〔3〕題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準確的位置關系，因此此題的策略是先假設，再說理計算，后驗證．3．第〔3〕題的示意圖，不變的關系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設交點G在x軸的上方．總分值解答〔1〕拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M〔1，〕．〔2〕梯形O1A1B1C1的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．當S=36時，解得此時點A1的坐標為〔6，3〕．〔3〕設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得．圖3圖4考點伸展第〔3〕題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假設存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3．例62023年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B〔1，0)、C〔0，－2〕三點．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？假設存在，請求出符合條件的點P的坐標；假設不存在，請說明理由；〔3〕在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．,圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“09臨沂26〞，挈動點P在拋物線上運動，可以體驗到，△PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)〞、“P在x軸上方〞和“P在A右側(cè)〞，可以顯示△PAM與△OAC相似的三個情景．雙擊按鈕“第(3)題〞，挈動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察△DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，△DCA的面積最大．思路點撥1．拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設交點式比較簡便．2．數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．總分值解答〔1〕因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B〔1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的坐標〔0，－2〕，解得．所以拋物線的解析式為．〔2〕設點P的坐標為．①如圖2，當點P在x軸上方時，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時點P的坐標為〔2，1〕．②如圖3，當點P在點A的右側(cè)時，x＞4，，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得不合題意．③如圖4，當點P在點B的左側(cè)時，x＜1，，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的點P的坐標為〔2，1〕或或．圖2圖3圖4〔3〕如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為．所以．因此．當時，△DCA的面積最大，此時點D的坐標為〔2，1〕．圖5圖6考點伸展第〔3〕題也可以這樣解：如圖6，過D點構(gòu)造矩形OAMN，那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△CDN和△ADM的面積．設點D的橫坐標為〔m，n〕，那么．由于，所以．因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例12023年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c〔a、b、c是常數(shù)，a≠0〕的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2)．〔1〕求a、b、c的值；〔2〕求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；〔3〕設⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點，當△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“14長沙26〞，挈動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況．思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三種情況，其中MA＝MN和NA＝NM兩種情況時，點P的縱坐標是相等的．總分值解答〔1〕拋物線的頂點為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得〔舍去了負值〕．〔2〕拋物線的解析式為，設點P的坐標為．A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．〔3〕如圖2，設MN的中點為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當AM＝AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標為0．圖2圖3②如圖4，當MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標為．③如圖5，當NA＝NM時，點P的縱坐標為也為．圖4圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B(0,1)，那么在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設點P的坐標為．B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例22023年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°．〔1〕求ED、EC的長；〔2〕假設BP＝2，求CQ的長；〔3〕記線段PQ與線段DE的交點為F，假設△PDF為等腰三角形，求BP的長．圖1備用圖動感體驗請翻開幾何畫板文件名“13虹口25〞，挈動點P在射線AB上運動，可以體驗到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．請翻開超級畫板文件名“13虹口25〞，挈動點P在射線AB上運動，可以體驗到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．思路點撥1．第〔2〕題BP＝2分兩種情況．2．解第〔2〕題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關系．3．第〔3〕題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．總分值解答〔1〕在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．〔2〕如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當BP＝2，P在BM上時，PM＝1．此時．所以．②如圖4，當BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．此時．所以．〔3〕如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1〔如圖3所示〕．此時．所以．②如圖6，當QC＝QD時，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝〔如圖2所示〕．此時．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ〔如圖5，圖6所示〕．圖5圖6考點伸展如圖6，當△CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．例32023年揚州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．〔1〕求拋物線的函數(shù)關系式；〔2〕設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；〔3〕在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，假設存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；假設不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12揚州27〞，挈動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。鼊狱cM在拋物線的對稱軸上運動，觀察△MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關系，可以看到，點M有1次時機落在AC的垂直平分線上；點A有2次時機落在MC的垂直平分線上；點C有2次時機落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線．思路點撥1．第〔2〕題是典型的“牛飲水〞問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最小．2．第〔3〕題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．總分值解答〔1〕因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a所以拋物線的函數(shù)關系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．〔2〕如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。O拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標為(1,2)．圖2〔3〕點M的坐標為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第〔3〕題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標為(1,1)．②如圖4，當AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標為(1,)或(1,)．③如圖5，當CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)．圖3圖4圖5例42023年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1〕求點B的坐標；〔2〕求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？假設存在，求點P的坐標；假設不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12臨沂26〞，挈動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當點P運動到⊙O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線．請翻開超級畫板文件名“12臨沂26〞，挈動點P，發(fā)現(xiàn)存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形思路點撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．此題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．總分值解答〔1〕如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標為．〔2〕因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．〔3〕拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2,y)．①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當P在時，B、O、P三點共線〔如圖2〕．②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3，在此題中，設拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．例52023年鹽城市中考第28題如圖1，一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B．求點A和點B的坐標〔2〕過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒．①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？假設存在，求t的值；假設不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“11鹽城28〞，挈動點R由B向O運動，從圖象中可以看到，△APR的面積有一個時刻等于8．觀察△APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在AP＝AQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，△APQ是等腰三角形．思路點撥1．把圖1復制假設干個，在每一個圖形中解決一個問題．2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．總分值解答〔1〕解方程組得所以點A的坐標是(3，4)．令，得．所以點B的坐標是(7，0)．〔2〕①如圖2，當P在OC上運動時，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6〔舍去〕．如圖3，當P在CA上運動時，△APR的最大面積為6．因此，當t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當AP＝AQ時，解方程，得．如圖6，當QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當PA＝PQ時，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點伸展當P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．例62023年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，AB＝m〔m是大于0的常數(shù)〕，BC＝8，E為線段BC上的動點〔不與B、C重合〕．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE＝x，BF＝y(tǒng)．〔1〕求y關于x的函數(shù)關系式；〔2〕假設m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？〔3〕假設，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“10南通27〞，挈動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數(shù)圖象，可以體驗到，y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下．對照圖形和圖象，可以看到，當E是BC的中點時，y取得最大值．雙擊按鈕“m＝8〞，挈動E到BC的中點，可以體驗到，點F是AB的四等分點．挈動點A可以改變m的值，再挈動圖象中標簽為“y隨x〞的點到射線y＝x上，從圖形中可以看到，此時△DCE≌△EBF．思路點撥1．證明△DCE∽△EBF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可以得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式．2．第〔2〕題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值．3．第〔3〕題頭緒復雜，計算簡單，分三段表達．一段是說理，如果△DEF為等腰三角形，那么得到x＝y(tǒng)；一段是計算，化簡消去m，得到關于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對應的m的值．總分值解答(1)因為∠EDC與∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因為∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y關于x的函數(shù)關系為．(2)如圖2，當m＝8時，．因此當x＝4時，y取得最大值為2．(3)假設，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況．因為△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y(tǒng)．將x＝y(tǒng)＝2代入，得m＝6〔如圖3〕；將x＝y(tǒng)＝6代入，得m＝2〔如圖4〕．圖2圖3圖4考點伸展此題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：由第〔1〕題得到，那么不管m為何值，當x＝4時，y都取得最大值．對應的幾何意義是，不管AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值．第〔2〕題m＝8是第〔1〕題一般性結(jié)論的一個特殊性．再如，不管m為小于8的任何值，△DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程總有一個根的．第〔3〕題是這個一般性結(jié)論的一個特殊性．1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例12023年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)〔其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0〕的圖像與x軸分別交于A、B〔點A位于點B的左側(cè)〕，與y軸交于點C(0,－3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分∠〔1〕用含m的式子表示a；〔2〕求證：為定值；〔3〕設該二次函數(shù)的圖像的頂點為F．探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“14蘇州29〞，挈動y軸正半軸上表示實數(shù)m的點運動，可以體驗到，點E、D、F到x軸的距離都為定值．思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙．通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標后，點D的坐標也可以寫出來．點E的縱坐標為定值是算出來的．2．在計算的過程中，第〔1〕題的結(jié)論及其變形反復用到．3．注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)〔5，3，4〕，因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G．總分值解答〔1〕將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此〔2〕由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)得A(－m,0)，B(3m,0)，F(xiàn)(m,－4)，對稱軸為直線x＝m所以點D的坐標為(2m設點E的坐標為(x,a(x＋m)(x－3m))如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m當x＝4m時，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以點E的坐標為(所以．圖2圖3〔3〕如圖3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形．此時GF′＝4m．所以GO＝3m，點G的坐標為(－考點伸展第〔3〕題中的點G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊．此時．因此．所以．此時．例22023年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點〔點B在點A的右側(cè)〕，與y軸交于點C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m,0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．〔1〕求點A、B、C的坐標；〔2〕當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；〔3〕當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，假設存在，請直接寫出點Q的坐標；假設不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“13山西26〞，挈動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形．挈動點P在線段EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．請翻開超級畫板文件名“13山西26〞，挈動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形．挈動點P在線段EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．思路點撥1．第〔2〕題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQ＝DC列方程．2．第〔2〕題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結(jié)論．3．第〔3〕題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形．總分值解答〔1〕由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．〔2〕直線DB的解析式為．由點P的坐標為(m,0)，可得，．所以MQ＝．當MQ＝DC＝8時，四邊形CQMD是平行四邊形．解方程，得m＝4，或m＝0〔舍去〕．此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．所以四邊形CQBM是平行四邊形．圖2圖3〔3〕存在兩個符合題意的點Q，分別是(－2,0)，(6,－4)．考點伸展第〔3〕題可以這樣解：設點Q的坐標為．①如圖3，當∠DBQ＝90°時，．所以．解得x＝6．此時Q(6,－4)．②如圖4，當∠BDQ＝90°時，．所以．解得x＝－2．此時Q(－2,0)．圖3圖4例32023年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，與y軸交于點C．〔1〕求點A、B的坐標；〔2〕設D為拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；〔3〕假設直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12廣州24〞，挈動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當直線與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．請翻開超級畫板文件名“12廣州24〞，挈動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當直線與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．思路點撥1．根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個．2．當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合∠AMB＝90°的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．3．靈活應用相似比解題比較簡便．總分值解答〔1〕由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(－4,0)、B(2,0)．對稱軸是直線x＝－1．〔2〕△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應的點D′．設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點D的坐標為．因為AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標為．圖2圖3〔3〕過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了．聯(lián)結(jié)GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A所以點M1的坐標為(－4,6)，過M1、E的直線l為．根據(jù)對稱性，直線l還可以是．考點伸展第〔3〕題中的直線l恰好經(jīng)過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過點C．例42023年杭州市中考第22題在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1,k)和點B(－1,－k)．〔1〕當k＝－2時，求反比例函數(shù)的解析式；〔2〕要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；〔3〕設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12杭州22〞，挈動表示實數(shù)k的點在y軸上運動，可以體驗到，當k＜0并且在拋物線的對稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．請翻開超級畫板文件名“12杭州22〞，挈動表示實數(shù)k的點在y軸上運動，可以體驗到，當k＜0并且在拋物線的對稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．思路點撥1．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是．題目中的k都是一致的．2．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O．3．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．總分值解答〔1〕因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是．當k＝－2時，反比例函數(shù)的解析式是．〔2〕在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k＜0．當k＜0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．拋物線y＝k(x2＋x＋1)＝的對稱軸是直線．圖1所以當k＜0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．〔3〕拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，當OQ＝OA＝OB時，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得〔如圖2〕，〔如圖3〕．圖2圖3考點伸展如圖4，經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線〔k＞0〕交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當A、C關于直線y＝x對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4圖5例52023年浙江省中考第23題設直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2，假設l1⊥l2，垂足為H，那么稱直線l1與l2是點H的直角線．〔1〕直線①；②；③；④和點C(0，2)，那么直線_______和_______是點C的直角線〔填序號即可〕；〔2〕如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，假設l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“11浙江23〞，挈動點P在OC上運動，可以體驗到，∠APB有兩個時刻可以成為直角，此時△BCP∽△POA．答案〔1〕直線①和③是點C的直角線．〔2〕當∠APB＝90°時，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如圖2，當OP＝6時，l1：，l2：y＝－2x＋6．如圖3，當OP＝1時，l1：y＝3x＋1，l2：．圖2圖3例62023年北京市中考第24題在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上．〔1〕求點B的坐標；〔2〕點P在線段OA上，從點O出發(fā)向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得ED＝PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD〔當點P運動時，點C、D也隨之運動〕．①當?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；②假設點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位〔當點Q到達點O時停止運動，點P也停止運動〕．過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FM＝QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN〔當點Q運動時，點M、N也隨之運動〕．假設點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“10北京24〞，挈動點P從O向A運動，可以體驗到，兩個等腰直角三角形的邊有三個時刻可以共線．思路點撥1．這個題目最大的障礙，莫過于無圖了．2．把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長．3．點C的坐標始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計算此刻OP的長．4．當兩個等腰直角三角形有邊共線時，會產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關于t的方程就可以求解了．總分值解答(1)因為拋物線經(jīng)過原點，所以．解得，〔舍去〕．因此．所以點B的坐標為〔2，4〕．(2)①如圖4，設OP的長為t，那么PE＝2t，EC＝2t，點C的坐標為(3t,2t)．當點C落在拋物線上時，．解得．②如圖1，當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合．此時3t＝10．解得．如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此時．解得．如圖3，當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此時．解得．圖1圖2圖3考點伸展在此題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值．如圖5，當P、Q重合時，兩圓內(nèi)切，．如圖6，當兩圓外切時，．圖4圖5圖6例72023年嘉興市中考第24題如圖1，A、B是線段MN上的兩點，，，．以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成△ABC，設．〔1〕求x的取值范圍；〔2〕假設△ABC為直角三角形，求x的值；〔3〕探究：△ABC的最大面積？圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“09嘉興24〞，挈動點B在AN上運動，可以體驗到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角；觀察函數(shù)的圖象，可以看到，圖象是一個開口向下的“U〞形，當AB等于1.5時，面積到達最大值．思路點撥1．根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關于x的不等式組，可以求得x的取值范圍．2．分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性．3．把△ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題．AB邊上的高CD要根據(jù)位置關系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況．總分值解答〔1〕在△ABC中，，，，所以解得．〔2〕①假設AC為斜邊，那么，即，此方程無實根．②假設AB為斜邊，那么，解得，滿足．③假設BC為斜邊，那么，解得，滿足．因此當或時，△ABC是直角三角形．〔3〕在△ABC中，作于D，設，△ABC的面積為S，那么．①如圖2，假設點D在線段AB上，那么．移項，得．兩邊平方，得．整理，得．兩邊平方，得．整理，得所以〔〕．當時〔滿足〕，取最大值，從而S取最大值．圖2圖3②如圖3，假設點D在線段MA上，那么．同理可得，〔〕．易知此時．綜合①②得，△ABC的最大面積為．考點伸展第〔3〕題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以防止煩瑣的運算：設，例如在圖2中，由列方程．整理，得．所以．因此．1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例12023年陜西省中考第24題如圖1，拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點．將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．〔1〕求拋物線C的表達式；〔2〕求點M的坐標；〔3〕將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“14陜西24〞，挈動右側(cè)的點M′上下運動，可以體驗到，以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有四種情況．思路點撥1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．2．平行四邊形的面積為16，底邊MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分兩種情況：點M′在點N′的上方和下方．4．NN′＝4分兩種情況：點N′在點N的右側(cè)和左側(cè)．總分值解答〔1〕將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達式為y＝－x2－2x＋3．〔2〕由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點M的坐標為(－1,4)．〔3〕拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．因為平行四邊形的面積為16，所以MN邊對應的高NN′＝4．那么以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′〔如圖2〕；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′〔如圖2〕；拋物線C先向右平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′〔如圖3〕；拋物線C先向左平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′〔如圖3〕．圖2圖3考點伸展此題的拋物線C向右平移m個單位，兩條拋物線的交點為D，那么△MM′D的面積S關于m有怎樣的函數(shù)關系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點D的橫坐標為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖4例22023年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕求tan∠ABO的值；〔3〕過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，假設四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“13松江24〞，挈動點N在直線AB上運動，可以體驗到，以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個．請翻開超級畫板文件名“13松江24〞，挈動點N在直線AB上運動，可以體驗到，MN有4次時機等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個．思路點撥1．第〔2〕題求∠ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第〔3〕題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側(cè)．總分值解答〔1〕將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．〔2〕在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．〔3〕直線AB的解析式為．設點M的坐標為，點N的坐標為，那么．當四邊形MNCB是平行四邊形時，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因為x＝3在對稱軸的右側(cè)〔如圖4〕，所以符合題意的點M的坐標為〔如圖3〕．圖3圖4考點伸展第〔3〕題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得〔如圖5〕．所以符合題意的點M有4個：，，，．圖5例32023年福州市中考第21題如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒〔t≥0〕．〔1〕直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；〔2〕是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？假設存在，求出t的值；假設不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度〔勻速運動〕，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；〔3〕如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖2動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12福州21〞，挈動左圖中的點P運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段．挈動右圖中的點Q運動，可以體驗到，當PQ//AB時，四邊形PDBQ為菱形．請翻開超級畫板文件名“12福州21〞，挈動點Q向上運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段．點擊動畫按鈕的左部，Q的速度變成1.07，可以體驗到，當PQ//AB時，四邊形PDBQ為菱形．點擊動畫按鈕的中部，Q的速度變成1.思路點撥1．菱形PDBQ必須符合兩個條件，點P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點P運動的時間t，再根據(jù)PQ//AB，對應線段成比例求CQ的長，從而求出點Q的速度．2．探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑．總分值解答〔1〕QB＝8－2t，PD＝．〔2〕如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．圖3在Rt△APE中，，所以．當PQ//AB時，，即．解得．所以點Q的運動速度為．〔3〕以C為原點建立直角坐標系．如圖4，當t＝0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)．如圖5，當t＝4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點M的坐標可以表示為〔，t〕．體會證，點M〔，t〕在直線EF上．所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝．圖4圖5圖6考點伸展第〔3〕題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設二次函數(shù)：當t＝2時，PQ的中點為(2，2)．設點M的運動路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．例42023年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．〔1〕直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；〔2〕過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？〔3〕在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)〔包括邊界〕存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“12煙臺26〞，挈動點P在AB上運動，可以體驗到，當P在AB的中點時，△ACG的面積最大．觀察右圖，我們構(gòu)造了和△CEQ中心對稱的△FQE和△ECH′，可以體驗到，線段EQ的垂直平分線可以經(jīng)過點C和F，線段CE的垂直平分線可以經(jīng)過點Q和H′，因此以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個．請翻開超級畫板文件名“12煙臺26〞，挈動點P在AB上運動，可以體驗到，當P在AB的中點時，即t=2，△ACG的面積取得最大值1．觀察CQ，EQ，EC的值，發(fā)現(xiàn)以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個．點擊動畫按鈕的左部和中部，可得菱形的兩種準確位置。思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．總分值解答〔1〕A(1,4)．因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．〔2〕因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標為．于是得到．因此．所以當t＝1時，△ACG面積的最大值為1．〔3〕或．考點伸展第〔3〕題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點F關于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當FQ＝CQ時，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，〔舍去〕．如圖3，當EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，〔舍去〕．圖2圖3例52023年上海市中考第24題平面直角坐標系xOy〔如圖1〕，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A、M．〔1〕求線段AM的長；〔2〕求這個二次函數(shù)的解析式；〔3〕如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“11上海24〞，挈動點B在y軸上點A下方運動，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次時機落在拋物線上．思路點撥1．此題最大的障礙是沒有圖形，準確畫出兩條直線是根本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標，是整個題目成敗的一個決定性步驟．3．第〔3〕題求點C的坐標，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．總分值解答〔1〕當x＝0時，，所以點A的坐標為(0，3)，OA＝3．如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標為．因此．〔2〕因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函數(shù)的解析式為．〔3〕如圖3，設四邊形ABCD為菱形，過點A作AE⊥CD，垂足為E．在Rt△ADE中，設AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝因此點C的坐標可以表示為(4m，3－2m)．將點C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m因此點C的坐標為〔2，2〕．圖2圖3考點伸展如果第〔3〕題中，把“四邊形ABCD是菱形〞改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形〞，那么還存在另一種情況：如圖4，點C的坐標為．圖4例62023年江西省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．〔1〕請直接寫出拋物線c2的表達式；〔2〕現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？假設存在，請求出此時m的值；假設不存在，請說明理由．圖1動感體驗請翻開幾何畫板文件名“11江西24〞，挈動點M向左平移，可以體驗到，四邊形ANEM可以成為矩形，此時B、D重合在原點．觀察B、D的位置關系，可以體驗到，B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況．思路點撥1．把A、B、D、E、M、N六個點起始位置的坐標羅列出來，用m的式子把這六個點平移過程中的坐標羅列出來．2．B、D是線段AE的三等分點，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關系列關于m的方程．3．根據(jù)矩形的對角線相等列方程．總分值解答〔1〕拋物線c2的表達式為．〔2〕拋物線c1：與x軸的兩個交點為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c2：與x軸的兩個交點也為(－1，0)、(1，0)，頂點為．拋物線c1向左平移m個單位長度后，頂點M的坐標為，與x軸的兩個交點為、，AB＝2．拋物線c2向右平移m個單位長度后，頂點N的坐標為，與x軸的兩個交點為、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是線段AE的三等分點，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．圖2圖3圖4②如果以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1〔如圖4〕．考