概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試卷答案

/262、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x),令YA.1fx(心)B.3x(^^)C.2 2 2 23、兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X,Y,則下列不成立的是(2X3,則Y的概率密度f(wàn)Y(y)為(aA.EXYEXEYB.E(XY)EXEYifx('C)。C.DXYy3)

2DXDYD.D.4、設(shè)(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),Xi1,事件A發(fā)生0,否則1,2,100X1,X2,,X100相互獨(dú)立。令Xi,則由中心極限定理知a.(y)y90(『(y90)，(1)D(XY)DX,100,且P(A)Y的分布函數(shù)F(y)近似于y90(I)DYB)。5、設(shè)總體

則下列科X的數(shù)學(xué)期望EX=w，方差的估計(jì)量中最有效的是(DX=)2(TX,鳧X是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,A.C.-X43X1、1X2-X5-X4-X5事件B.D.1X31X6A.C.A1,A2,A3兩兩獨(dú)立，則下列結(jié)論成立的是(1X3-X6B1X31X2)。Ai,A2,A3相互獨(dú)立P(AA2A3)P(Ai)P(A2)P(A3)B.白，人2,人3兩兩獨(dú)立d.凡，￡2,￡3相互獨(dú)立2、A.0f(x)1B.在定義域內(nèi)單調(diào)不減連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f2、A.0f(x)1B.在定義域內(nèi)單調(diào)不減C.f(x)dx1 D.limf(x)1x3、設(shè)X1，X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為 f[(x)和f2(x),分布函數(shù)分別為F1(x)和F2(x),則(B)。A. f[(x) f2(x)必為密度函數(shù) B. F[(x) F2(x)必為分布函數(shù)C. F[(x) F2(x)必為分布函數(shù) D. f1(x) f2(x)必為密度函數(shù)4、設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且均服從[0,1]上的均勻分布，則服從均勻分布的是(B)。A.XYB. (X,Y) CX-Y D.X+Y5、設(shè)(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，事件A發(fā)生Xi,寸皿 i1,2, ,n,且P(A)p,X“X2,L,Xn相互獨(dú)立。0,否則n令YX「則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于(B)。i1A.(y)B.(不幺/C.(ynp)D.(」^),np(1p) np(1p)三(5)、市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠(chǎng)家同時(shí)供貨，其供應(yīng)量第一廠(chǎng)家為第二廠(chǎng)家的兩倍,第二、第三廠(chǎng)家相等，且第一、第二、第三廠(chǎng)家的次品率依次為 2%,2%,4%。若在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一件商品為次品，問(wèn)該件商品是第一廠(chǎng)家生產(chǎn)的概率為多少？解設(shè)A解設(shè)A表示產(chǎn)品由第i家廠(chǎng)家提供,則所求事件的概率為i=1,2,3;B表示此產(chǎn)品為次品。P(A|B)P(A|B) P(A)P(B|A) P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)10.02TOC\o"1-5"\h\z= 2 0.4111—0.02 — 0.02 — 0.042 4 4答：該件商品是第一產(chǎn)家生產(chǎn)的概率為 0.4。三(6)、甲、乙、丙三車(chē)間加工同一產(chǎn)品，加工量分別占總量的 25%35%40%次品率分別為0.03、0.02、0.01?，F(xiàn)從所有的產(chǎn)品中抽取一個(gè)產(chǎn)品，試求(1)該產(chǎn)品是次品的概率；(2)若檢查結(jié)果顯示該產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品是乙車(chē)間生產(chǎn)的概率是多少？解：設(shè)A1，A2,A3表示甲乙丙三車(chē)間加工的產(chǎn)品， B表示此產(chǎn)品是次品。(1)所求事件的概率為P(B)P(A)P(B|A)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.250.030.350.020.40.010.0185(2)P(A1|B)P(A(2)P(A1|B)P(A2)P(B|A2)_0.350.02 = 0.38P(B)0.01850.38。答：這件產(chǎn)品是次品的 概率為0.0185,0.38。R加工零件A時(shí)停機(jī)的概率是0.3(7)、一個(gè)機(jī)床有1/3的時(shí)間加工零件A,其余時(shí)間加工零件,加工零件A時(shí)停機(jī)的概率是R加工零件A時(shí)停機(jī)的概率是0.3(2)若該機(jī)床已停機(jī)，求它是在加工零件 A時(shí)發(fā)生停機(jī)的概率。解：設(shè)Ci,C2,表示機(jī)床在加工零件A或B,D表示機(jī)床停機(jī)。(1)機(jī)床停機(jī)夫的概率為P(B)P(C)P(D|C1)- 1P(C2).P(D|A2)—P(B)P(C)P(D|C1)- 1P(C2).P(D|A2)—0.3

320.431130(2)機(jī)床停機(jī)時(shí)正加工零件A的概率為P(G|D)P(G).P(D|G).P(D)30.3211 11305:3:2,(8)、甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工一批同一種零件，各機(jī)床加工的零件數(shù)量之比為5:3:2,各機(jī)床所加工的零件合格率依次為 94%,90%,95%?，F(xiàn)從加工好的整批零件中隨機(jī)抽查一個(gè),發(fā)現(xiàn)是廢品，判斷它是由甲機(jī)床加工的概率。B表木此產(chǎn)品為廢品。(2分)解設(shè)A,A2B表木此產(chǎn)品為廢品。(2分)P(A|B)P(A|B)P(B)P(Ai)P(B|A)3P(A)P(B|A)i1答：此廢品是甲機(jī)床加工概率為3/7。(9)、某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車(chē)、輪船、乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為求他是乘坐火車(chē)的概率。110.0620.50.060.30.100.20.057P(A|B)P(A|B)P(B)P(Ai)P(B|A)3P(A)P(B|A)i1答：此廢品是甲機(jī)床加工概率為3/7。(9)、某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車(chē)、輪船、乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為求他是乘坐火車(chē)的概率。110.0620.50.060.30.100.20.057汽車(chē)四種交通工具，其概率分別為5%、15%、30%、50%,100%、70%、60%、90%。已知該人誤期到達(dá),解：設(shè)Ai,A2,A3,A4分別表示乘坐飛機(jī)、火車(chē)、輪船、汽車(chē)四種交通工具,(10分)B表示誤期到達(dá)。則P(A2|B)P(4|B)P(B)答：此人乘坐火車(chē)的概率為P(A2)P(B|A2)4P(A)P(B|A)i10.209。0.150.30.0500.150.30.30.40.50.10.209三(10)、某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車(chē)、輪船、汽車(chē)四種交通工具，其概率分別為 5%、15%、30%、50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為 100%、70%、60%、90%。求該人如期到達(dá)的概率。解：設(shè)Ai,外，A3,A4分別表示乘坐飛機(jī)、火車(chē)、輪船、汽車(chē)四種交通工具,B表示如期到達(dá)。則P(B)P(A)P(B|A)

i10.051則P(B)P(A)P(B|A)

i1答：如期到達(dá)的概率為0.785。四(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)Ax,0,0x1其它X<2)求(1)A; (2)X的分布函數(shù)F(x); (3)P(0.5X<2)1 A2.1A,解：(1 f(x)dx0Axdx萬(wàn)xI。萬(wàn)1A2x⑵當(dāng)x訓(xùn)，F(xiàn)(x)f(t)dt0當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)x1時(shí)， F(x)xf(t)dt：2tdt x2\o"CurrentDocument"x 1f(t)dtQ2tdt1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0, x 0故F(x) x2, 0 x 11, x 1(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(1/2)=3/4四(2)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x)kx1,f(x)kx1,0,0x2其它求(1)k;(2)分布函數(shù)F(x); (3)P(1.5<X<2.5), 2 k2 2解：(1)f(x)dx0(kx1)dxqx x)|02k21k1/2x⑵當(dāng)x0時(shí)， F(x)f(t)dt0當(dāng)0x2時(shí)，F(xiàn)(x)當(dāng)0x2時(shí)，F(xiàn)(x)當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)x xf(t)dto(0.5t1)dtxf(t)dt12x-x40, x02x故F(x)-x,0x241, x2⑶P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=1/16四(3)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)ax,0,0x1其它求(1)a；(2)X的分布函數(shù)F(x);(3)P(X>0.25)。當(dāng)當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)0,故F(x) x3/2,1,解：(1)f(x)dx 0aVxdx3a1a3/2x(2)當(dāng)x訓(xùn)，F(xiàn)(x)f(t)dt0x xo- 3/2f(t)dt01Vtdt xxf(t)dt1x00x1x1⑶P(X>1/4)=1—F(1/4)=7/8四(4)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x)2x,0,x(0,A)其它求(1) A; (2)分布函數(shù) F (x) ; (3) P(—0.5<X<1)。TOC\o"1-5"\h\z. A 2(1)f(x)dx2xdxA1解：'' v0 0A1

x⑵當(dāng)x0B寸， F(x)f(t)dt0x x c當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x) f(t)dto2tdtx2x當(dāng)x1時(shí)， F(x) f(t)dt1\o"CurrentDocument"0, x0故F(x) x2, 0x11, x1⑶P(-0.5<X<1)=F(1)—F(-0.5)=1四(5)、已知連續(xù)型隨即變量X的概率密度為x1其它x1其它f(x) .1x20,求(1)c； (2)分布函數(shù)F(x);(3)P(-0.5<X<0.5)(1)解：Jf(x)dx(1)解：Jf(x)dx1c1/(2)當(dāng)x1時(shí),xF(x)f(t)dt0x1時(shí),x(2)當(dāng)x1時(shí),xF(x)f(t)dt0x1時(shí),xF(x)f(t)dtx1一^=dt1.1t21 x—arcsint|1故F(x)0,1/—(arcsinx1,F(x)ABe2

0,x0其它-(arcsinx-)x當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)f(t)dt1x1-),-1x12x1⑶P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=1/3四(6)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為求(1) A, B; (2)密度函數(shù) f (x) ; (3) P(1< X<2)。(1)limF(x)A1x解：limF(x)AB0x0B1⑵x2/2

xef(x)F(x)0,(3)P(1<X<2)=F(2)—F(1)=1/2(3)P(1<X<2)=F(2)—F(1)=1/2四(7)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x)ABarctanx求(1)A,B; (2)密度函數(shù)f(x);(3)P(1<X<2)。解:(1)limF(x)

xA-B1解:(1)limF(x)

xA-B12limF(x)A-B0x 2A1/2,B1/⑵f(x)F(x)1f(x)F(x)1_(1x2)TOC\o"1-5"\h\z一， 、一 一1 ,八(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=—arctan2四(8)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為\o"CurrentDocument"0, x0F(x)Ax,0x11, x1求(1)A； (2)密度函數(shù)f(x);(3)P(0<X<0.25)。解:1f(x)F(x) 2..x0,0x1其他⑶P (0<X<0.25)=1/2四(9)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為1F(x)0,求(1)A;2,xx(2)1F(x)0,求(1)A;2,xx(2)密度函數(shù)、解:(1).%1A40A4⑶P(0<X<4)=3/4四(10)、已知連續(xù)型隨機(jī)變量(x);(3)P(0<X<4)。⑵8f(x)F(x)I0,X的密度函數(shù)為2xf(x)0,x(0,a)其它求(1)a； (2)分布函數(shù)F(x);(3)P(-0.5<X<0.5)。x2)3x訓(xùn)，F(xiàn)(x)f(t)dt0xx2t x2當(dāng)0x時(shí)，F(xiàn)(x)f(t)dt0—dt—解：(1)f(x)dxa2xdx1x當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)f(t)dt10,2故F(x)故F(x)~~2,1, x(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=L1、L2的壽命分別五(1)、設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1、L2的壽命分別服從參數(shù)為，( )的指數(shù)分布。求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。解：令X、Y分別為子系統(tǒng)L1、L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Z=max(X,Y)。顯然，當(dāng)zw0時(shí)，F(xiàn)z(z)=P(Z<z)=P(max(XY?wz)=0；當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)z(z)=P(Z<z)=P(max(XY)wz)=P(X<z,Y<z)=P(X<z)P(Y<z)=因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)為z z\o"CurrentDocument"fZ(z)=^FZ(z) 6 6dz 0,z zexdx eydy=(10 0 ')e()z,z0z0ez)(1ez)。五(2)、已知隨機(jī)變量X?N(0,1),求隨機(jī)變量Y=X2的密度函數(shù)。解：當(dāng)yW0時(shí)，F(xiàn)y(y)=P(Y<y)=P(X&y)=0；當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P(X&y)=P(JyX屈)y1x2/2. edxy、,21 x2/2 e.2ey/2dxd因此，fy(y)=—Fy(y)dy0,0,五（3）、設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)0.Li、L2串聯(lián)而成，且Li、L2的壽命分別服從參數(shù)為）的指數(shù)分布。求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)。解：令X、Y分別為子系統(tǒng)Li、L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Z=min(X,Y)。顯然，當(dāng)zw0時(shí)，F(xiàn)z(z)=P(Z<z)=P(min(XY?wz)=0；當(dāng)z>0時(shí)，F(xiàn)z(z)=P(Z<z)=P(min(XY)wz)=1—P(min(XY)>z)=1—P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)=1exdxez zydy=1)zo因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數(shù)為fz（z-Fz（z） 0,（向)z,z五(4)、已知隨機(jī)變量X?N(0,1),求Y=|X|的密度函數(shù)。解：當(dāng)yW0時(shí)，F(xiàn)y(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)=0;當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)=P(yXy)y1 x2/2. y1 edx2 ey?.2 0.2x2/2dxd因此，fy(y)=—FY(y)dy2ey2/20,五（5）、設(shè)隨機(jī)向量（Y)0,聯(lián)合密度為0.f(x,Ae(2x3y)y尸0,0.y0;其它.求系數(shù)A判斷X,Y是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由;求P{0wXW20WYW1}。解：（1）由1=f(x,y)dxdy0Ae(2x3y)dxdye2xdx3ydy=A(2e2x)(3y可得A=6。（2）因（X,工 2efX（x）=0,則對(duì)于任意的Y2x關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為x0;其它.fY(y)=3e3y0,0;其它.(x,y) R2,均成立f21(3)R0<X<2,0WYC1}=00;(x,y)=fx(x)*6e(2x3y)dxdyfy（y）,所以X與Y獨(dú)立。22x2e2xdx03e3ydy2x2)(e3y)(1e4)(1e3).五（6）、f(x,y)=0,設(shè)隨機(jī)向量（X,Ae（3x4y）,Y）聯(lián)合密度為x0,y0;其它.(1)求系數(shù)A(2)判斷X,Y是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由;(3)求P{0wXw10wYw1}。解：(1)由1=f(x,y)dxdy0 °Ae(3x4y)dxdye3xdx e4ydy01 3x=A(e

3(2)因(X,r3efx(x)=0,則對(duì)于任意的0Y)3x)(4yA)—,可得A=12。0 12關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為x0;其它.fY(y)=4e4y0,0；其它.(x,y) R2,均成立f11(x,y)=fx(x)*f丫(y),所以X與Y獨(dú)立。(3)P{0<X<1,0WY<1}=3x1 4yo)(e10) (1e12e(3x4y)dxdy003)(1e4).3e3xdx4e4ydy0五(7)、設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)聯(lián)合密度為f(x,(1)(2)6x,y尸八0,

求(X,Y0xy1;其它.分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度f(wàn)X(x)fY(y);判斷X,Y是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由。解：(1)當(dāng)x<0或x>1時(shí)，fX(x)=0;當(dāng)0WxW1時(shí)，fX(x)=f(x,y)dy1x6xdy6x(1x).因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)x(x)=6x6x2,0,0x其它.1,當(dāng)y<0或y>1時(shí)，fY(y)=0；y當(dāng)0WyW1時(shí)，fY(y)= f(x,y)dx06xdx3x|y3y2.因此,…"一人—3y：(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=y,0,y1,其它.(2)

所以,因?yàn)閒(1/2,1/2) =3/2,而fx(1/2)fy(1/2)=(3/2)*(3/4)X與Y不獨(dú)立。=9/8wf(1/2,1/2) ,五(8)、設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,(1)(2)y)=ey,

0,求(X,Y)0xy;其它.分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y)；判斷X與Y是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由。解：(1)當(dāng)xw0時(shí)，fX(x)=0;當(dāng)x>0時(shí)，fX(x)= f(x,y)dyeydy因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)當(dāng)yw0時(shí)，fY(y)=0;y當(dāng)y>0時(shí)，fy(y)= f(x,y)dxe0ydx0,yeyx0,其它.因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(V)=yeV,y0,0,其它.(2)因?yàn)閒(1,2)=e2,而fx(1)fY(2)=e1*2e-2=2e-3wf(1,2),所以，X與Y不獨(dú)立。五(9)、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為xf(x)e,x0f(x)0,其它設(shè)F(x)是X的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=F(Xl的密度函數(shù)。解：當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)y(y)=P(Y<y)=P(F(X)<y)=0;當(dāng)y>1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P(F(X)<y)=1；1當(dāng)0wyw1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y<y)=P((F(X)wy)=P(XF(y))一一11, 0y1,0,1, 0y1,0,其它.Y)聯(lián)合密度為因此，fy(y)=—FY(y)dy五(10)、設(shè)隨機(jī)向量(X,f(f(x,y)=8xy,0xy1;0,其它.(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度f(wàn)X(x),fY(y);(2)判斷X,Y是否獨(dú)立，并說(shuō)明理由。解：(1)當(dāng)x<0或x>1時(shí)，fX(x)=0;1當(dāng)0wxw1時(shí)，fX(x)=f(x,y)dyx8xydy4xy|x4x(1x).因此，(X,Y)關(guān)于X因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)=4x0,4x3,0x1,其它.當(dāng)y<0或y>1時(shí)，fY(y)=0;y當(dāng)0wyw1時(shí)，fY(y)=f(x,y)dxo8xydx4yx1y4y.因此，(X,Y)關(guān)于Y因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=4y30,y1,其它.=3/4wf(1/2,1/2)(2)因?yàn)閒(1/2,1/2) =2,而fX(1/2)f=3/4wf(1/2,1/2)所以，X與Y不獨(dú)立。TOC\o"1-5"\h\z7 6六(1)、已知隨機(jī)向量(X, Y)的協(xié)方差矩陣V為 八 人6 9求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。解：D(X+Y)=DX+DYn2Cov(XY)=7+9+2*6=28D(X-Y)=DX+DY2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4Cov(X+丫X-Y)=DX-DY=7-9=-2_Cov(X_Y,X_Y)_ 2 1XY,XYD(XY),D(XY)28*4 28所以，(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為28-2-2和4-1.28-1281六（2）、已知隨機(jī)向量（X,Y）的協(xié)方差矩陣V為求隨機(jī)向量(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(XY)=9+1+2*2=14D(X-Y)=DX+DY2Cov(X,Y)=9+1-2*2=6Cov(X+YX-Y)=DX-DY=9-1=8XY,XYCov(XY,XY)

一D(X—Y)[D(X—Y),14*,6 21148 1 .4所以，（X+Y,X-Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為 cc和 J218 6 4——1

.219—6六（3）、已知隨機(jī)向量（X,Y）的協(xié)方差矩陣V為八八一6 6求隨機(jī)向量(X-Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。解：D[X-Y)=DX+DY2Cov(XY)=9+6-2*(-6)=27D(X+Y)=DX+D￥2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3Cov(XY,X+Y)=DX-DY=9-6=3XY,XYCov(XY,XY).D(XY)D(XY)3 127*、33273所以，（X—Y,X+Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為4 一5六（4）、已知隨機(jī)向量（X,Y的協(xié)方差矩陣V為L(zhǎng)c-5 9求隨機(jī)向量(X-Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。解：D[X-Y)=DX+DY2Cov(XY)=4+9-2*(-5)=23D(X+Y?=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3Cov(XY,X+Y)=DX-DY=4-9=-5XY,XYCov(XY,XY)D(XY)D(XY)所以，（X—Y,X+Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為\o"CurrentDocument"23-5 1 -5和 信-513 -51,691—1六（5）、已知隨機(jī)向量（X,Y）的協(xié)方差矩陣V為-1 4求隨機(jī)向量（X-Y,X+Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。解：D[X-Y)=DX+DY2Cov(XY)=1+4-2*(-1)=7D(X+Y)=DX+D￥2Cov(X,Y)=1+4+2*(-1)=3Cov(XY,X+Y)=DX-DY=1-4=-3Cov(XY,XY)XY,XY- .D(XY)D(XY)3 37*3 21所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。解：D[X+Y)=DX+D￥2Cov(XY)=5+4+2*2=13D(X-Y)=DX+DY2Cov(X,Y)=5+4-2*2=5Cov(X+YX-Y)=DX-DY=5-4=1Cov(XY,XY)-3-3和3-3.21XYXY D(XY)D(XY),13*,565七(1)、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是f(x;a)0,0x1其它其中0為未知參數(shù)。X1,xn是組樣本值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)。解：似然函數(shù)i1xilnLnlnn1)lnxi1dlnL七(3)、f(x)Inxinnlnxii1設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是2xexp{x2},0,其它>0為未知參數(shù),xi,x2,x3,K,xn是一組樣本值,解：似然函數(shù)n(2xiexp{i12xi})(2nnnxiexp{i1的最大似然估計(jì)。nxi2})lnLnln(2nlnxii12xi-321dlnLd七(4)、f(x)x20nn2xi1設(shè)總體的概率密度函數(shù)是3x2exp{x3},0,其它其中>0是未知參數(shù),X,x2,x3,K,4是一組樣本值，求參數(shù)解：似然函數(shù)ni1(32xiexp{3.xi.})(3nnn x；exp{i1的最大似然估計(jì)。nxi3})i1lnLnln(3nlni12xi3xidlnLdx30nn3x七（5）、設(shè)總體X服從參數(shù)為 的泊松分布P（）x—ex!(x=0,1,L),其中0為未知參數(shù),X,x2,x3,K,xn是一組樣本值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)。解：似然函數(shù)L1xi!n

xi1-n exji1lnLln(x!)ndlnL

d七（6）、設(shè)總體X的概率分布為P{X=x}=px(1-p)1-x,x 0,1。設(shè)xi,x2,x3,K,xn為總體X的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試用最大似然估計(jì)法求解：Lnx 1xi「p1pi1lnnLxilnpi1i廣p的估計(jì)值。nxiln1pi1i 廣dlnLdp七（7）、設(shè)總體X服從參數(shù)為1——01P11的指數(shù)分布,31nxini1ixi,x2,x3,K,xn是一組樣本值,解：L的最大似然估計(jì)。n14

ei11n一i1xiInL1 1nnln— — xii1idlnLd七（8）、求參數(shù)n1n2i1x1nxini1設(shè)總體X服從參數(shù)為的最大似然估計(jì)。的指數(shù)分布,X,x2,x3,K,xn是一一組樣本值,解：似然函數(shù) Lni1xlnLnlnni1xidlnLdnn一i1xinn「xi1七（9）、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是f(x；)xi,x2,K1,2,xn是一組樣本值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)?解：似然函數(shù)n12xL ei1?、2二^nexP

,21n2ilnLdlnLdn,cln22n(xii1(xi)2七（10）、設(shè)總體1xX的概率密度函數(shù)是1 X2f(x;)^=e2的最大似然估計(jì)?Xi,X2,X3,K,Xn是一組樣本值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)?解：似然函數(shù)n2「Xi11

n2「Xi1,2lnLdlnLdnln22n2nln2n2Xin2Xi111n2xini1八(1)、6.05.7從某同類(lèi)零件中抽取5.86.57.06.39件，測(cè)得其長(zhǎng)度為（單位：mm）:5.66.15.0設(shè)零件長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N（科，1）。求科的置信度為0.95的置信區(qū)間。(已知:t0.05(9)=2.262,t0.05(8)=2.306,U0.025、解：由于零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所以U1.960)x_~N(0,1)/.nP{|U|uo.025} 0.95所以的置信區(qū)間為（X U0.025-=.n的置信度為0.95的置信區(qū)間為八（2）、某車(chē)間生產(chǎn)滾珠，其直徑（單位：毫米）：14.615.114.914.815.215.1,XU0.025-=)(61.96；,6X?N( ,0.05)14.815.014.7若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑（已知:t0.05（9）=2.262,t0.05（8）=2.306,U0.025解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以U所以的置信區(qū)間為：（Xu0^25—的置信度為0.95的置信區(qū)間為（14.9111.96普,14.9111.96,X u0.025005、丁)經(jīng)計(jì)算1.96點(diǎn)99X6

i1即(5.347,6.653),從某天的產(chǎn)品里隨機(jī)抽出 9個(gè)量得直徑如下的置信度為0.95的置信區(qū)間。1.960)x~N(0,1)/.nCn)經(jīng)計(jì)算X即(14.765,15.057)P{|U|U0.025} 0.959Xi14.911i12)2),P{|U|U0.025} 0.95八（3）、工廠(chǎng)生產(chǎn)一種零件，其口徑X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（,現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽出 9個(gè)，分別測(cè)得其口徑如下：14.614.715.114.914.815.015.115.214.7已知零件口徑X的標(biāo)準(zhǔn)差0.15,求 的置信度為0.95的置信區(qū)間。（已知:t0.05（9）=2.262,t0.05（8）=2.306,U0.0251.960）解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布 ，所以U 工■尸~N（0,1）/.n所以的置信區(qū)間為:(Xu0.025' ,X u0.025.n經(jīng)計(jì)算的置信度為0.95的置信區(qū)間為 （14.91.96皇,14.91.96八（4）、隨機(jī)抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，測(cè)得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.15、—)99 Xi 14.9i1即(14.802,14.998)S=3(m/s),22—一?、、? -一.、 、的置信度為0.95的置信區(qū)間。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差. 2 2 2 2(已知：0.025(8)17.535, 0.975(8) 2.18; 0.025(9) 19.02, 0.975(9) 2.7)因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以2(n1)P{0.0252(8) W0.9752(8)} 0.952的置信區(qū)間為:_2(n1)S0.025n1_2(n1)S2 ,0.975n2.的置信度0.95的置信區(qū)間為8917.53589

2.180即4.106,33.028八(5)、設(shè)某校女生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽取9名女生,測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下： X162.67cm,2 2(已知：0.025(8)17.535, 0.975(8)解：因?yàn)閷W(xué)生身高服從正態(tài)分布，所以s4.20cm。求該校女生身高方差 22.18;20.025一-一 2一(9) 19.02, 0.975(9)的置信度為0.95的置信區(qū)間。2.7)2(n1)P{0.025⑹0.9752(8)} 0.952 的置信區(qū)間為:_2(n1)S0.025n12的置信度0.95的置信區(qū)間為_(kāi)2(n1)S20.975n84.22，,17.5354.222.180即8.048,64.734八(6)、一批螺絲釘中，隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下： x16.10cm,s2.10cm。設(shè)螺絲釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長(zhǎng)度方差. 2 2 2(已知：0.025(8) 17.535, 0.975(8) 2.18; 0.025(9)2.的置信度為0.9519.02,2小\0.975(9)的置信區(qū)間。2.7)解：因?yàn)槁萁z釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布,所以W MS2(n1)P{0.0252(8)W0.975(8)}0.952.的置信區(qū)間為:(n1)S20.025n1(n1)S20.975n12.的置信度0.95的置信區(qū)間為82.10282.10217.535 2.180八(7)、從水平鍛造機(jī)的一大批產(chǎn)品隨機(jī)地抽取 20件，測(cè)得其尺寸2.012,16.183的平均值X32.58,樣本方差S20.097。假定該產(chǎn)品的尺寸求2的置信度為0.95的置信區(qū)間。2 2(已知：0.025(20) 34.17, 0.975(20)X服從正態(tài)分布N(,2),其中2與均未知。一_ 2一 2一一一9.591; 0.025(19)32.852, 0.975(19)8.907)解：由于該產(chǎn)品的尺寸服從正態(tài)分布,所以_2W^MS2(n1)P{0.025(19)W2一_ __0.975(19)} 0.952.的置信區(qū)間為:_2(n1)S0.025n1(n20.97521)S2n12.的置信度0.95的置信區(qū)間為190.097190.097八(8)、已知某批銅絲的抗拉強(qiáng)度32.852X服從正態(tài)分布即0.056,0.2078.907一一一 2一N(,)。從中隨機(jī)抽取9根,經(jīng)計(jì)算得其標(biāo)準(zhǔn)差為 8.069。求2的置信度為2 2(已知：0.025(9) 19.023, 0.975(9) 2.7,解：由于抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布所以,(n1)S2

?

22(n1)P{0.95的置信區(qū)間。\o"CurrentDocument"2 20.025(8) 17.535, 0.975(8)2.180)2_ 2 _0.025(8)W0.975(8)} 0.952的置信區(qū)間為:2 的置信度為2的置信區(qū)間為:2 的置信度為0.95的置信區(qū)間為88.069288.069217.535,2.180,即29.705,238.9312 2(n1)S2 (n1)S20.025n1 0.975n1八(八(9)、設(shè)總體X?N(2),從中抽取容量為16的一個(gè)樣本，樣本方差S20.07,試求總體方差白^置信度為 0.95的置信區(qū)間。一. 2 2(已知：0.025(16)28.845, 0.975(16)6.908;解：由于X?N,2,所以_2W (M)^~2(n1)2的置信區(qū)間為：(平金,考上)0.025n1 0.975n12的置信度0.95的置信區(qū)間為 150°27.488八(10)、某巖石密度的測(cè)量誤差X服從正態(tài)分布N(試求 2的置信度為95%勺置信區(qū)間。2 2(已知：0.025(16)28.845, 0.975(16)6.908;解：由于X~N,2,所以/、-2W(n 2)S~2(n1) P{0.02

TOC\o"1-5"\h\z2 _ 2 __0.025(15) 27.488, 0.975(15) 6.262)P{0.0252(15)W0.9752(15)} 0.95150.07,即0.038,0.1686.2622 一，,一… . _2,)，取樣本觀(guān)測(cè)值16個(gè)，得樣本方差S2 0.04,2 _ 2 0.025(15)27.488, 0.975(15)6.262)52(15)W。二")}0.9522 的置信區(qū)間為:,(n1)S2(2一，0.025n1

(n1)S2、2 ))0.975n12.的置信度0.95的置信區(qū)間為:150.04150.0427.488 6.262即0.022,0.096九(1)、某廠(chǎng)生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定，現(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10段檢查其折斷力，10測(cè)得X287.5, (xiX)2160.5。假定銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)在顯著水平 0.1下,i1是否可以相信該廠(chǎng)生產(chǎn)的銅絲折斷力的方差為 16?2 2 2(已知: 0.05■(10)18.31, 是否可以相信該廠(chǎng)生產(chǎn)的銅絲折斷力的方差為 16?2 2 2(已知: 0.05■(10)18.31, 0.95'(10)3.94; 0.05(9)16.9,2解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是 H0： 16 選擇統(tǒng)方t量 W_ 2 _ 2 __ P{0.05(9)W0.95(9)} 0.90取拒絕域w={W16.92,W3.33}由樣本數(shù)據(jù)知(n1)S2160.5W160510.0316接受H0,即可相信這批銅絲折斷力的方差為 16。2一 0.95(9) 3.33)(n1)S2

2在H0成立時(shí)16.9210.033.33W~2(9)九(2)、已知某煉鐵廠(chǎng)在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量 X服從正態(tài)分布，其方差為0.03。在某段時(shí)間抽測(cè)了10爐鐵水，測(cè)得鐵水含碳量的樣本方差為 0.0375。試問(wèn)在顯著水平這段時(shí)間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無(wú)顯著差異 ？0.05下,(已知:0.0252(10)20.48, 0.9752(10)3.25,0.0252(9)19.02,0.9752(9) 2.7)解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是H。：220.03選擇統(tǒng)1f量 W(n2)在Ho成立時(shí)W~2(9)P{20.025(9)W取拒絕域w={W2 0.975(9)}19.023,W0.952.700}由樣本數(shù)據(jù)知W*29°.037511.252 0.0319.02311.252.700接受H。，即可相信這批鐵水的含碳量與正常情況下的方差無(wú)顯著差異。九（3）、某廠(chǎng)加工一種零件，已知在正常的情況其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(現(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽測(cè)20個(gè)樣本，測(cè)得樣本標(biāo)準(zhǔn)差該批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差是否有顯著差異？S=1.2。問(wèn)在顯著水平2,0.9),0.1下,2(已知:0.05(19)一 2 - 一30.14, 0.95(19)10.12;2- -0.05(20) 31.41,2一 -0.95(20) 10.85)解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是Ho:0.9選擇統(tǒng)計(jì)量_2(n1)S2在Ho成立時(shí)W~2-(19)P{20.05(19)取拒絕域w={20.95(19)}30.114,W0.9010.117}由樣本數(shù)據(jù)知-2 - _2(n1)S 191.20.9233.77833.77830.114拒絕H。，即認(rèn)為這批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著差異。九（4）、現(xiàn)抽測(cè)了問(wèn)在（已知：已知某煉鐵廠(chǎng)在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布N（4.55,0.112）。9爐鐵水，算得鐵水含碳量的平均值 X4.445,若總體方差沒(méi)有顯著差異，即 20.05顯著性水平下，總體均值有無(wú)顯著差異 ？t0.05（9）=2.262,t0.05（8）=2.306,U0.025 1.960）0.112,X解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是 H0: 4.55選擇統(tǒng)at量 U/,n在H0成立時(shí)U~N(0,1)P{|U| U0.025}由樣本數(shù)據(jù)知取拒絕域w={|U|1.960}4.4454.550.11/32.8641.960拒絕H。，即認(rèn)為總體均值有顯著差異。九（5）、已知某味精廠(chǎng)袋裝味精的重量技術(shù)革新后，改用新機(jī)器包裝。抽查2X?N(,)，其中=15,0.09,9個(gè)樣品，測(cè)定重量為（單位：克）1