北京市大興區(qū)高二上學期期末數學試卷(理科)與解析

111111222111111222學年北市大興區(qū)二（上）期數學試卷理科）一、選題：本大題個小題每小題5分，分，在小題給的四個選項，選出符合目要求一項．1分）αβ是兩個不同的平面l是一條直線以下命題正確的是（）A．若l⊥ααβ，則l?βB．l∥αα∥β，則l?β．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥αα⊥β，則l⊥2分）如圖，正方體ABCD中，AB的中點M，DD的中點則異面直線BM與CN所成的角是（）A．30°B．．60°D90°3分）△ABC底邊的兩個端點分別是B（﹣60（60長為32，則頂點A的軌跡方程是（）A．．

B．D4分）在空間直角坐標O﹣xyz中，點是點（123在坐標平面yOz內的射影，則|OB|等于（）A．

．

．

D5分）設直線過點（，a斜率為，且與圓（）A．±B．±．±2D．±

+y

=2相切，則的值為6分）拋物線=4y上一點的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點的距離為（）第1頁（共19頁）

22222A．2B．．4222227分）已經直線+4y﹣2=0與直線2x﹣+n=0互相垂直，垂足（p則m﹣np的值是（）A．﹣4B．．20D248分）表面積相等的球、等邊圓柱（圓柱=底面直徑方體，其體積的大小關系正確的是（）A．V

正方體

＜V

圓柱

＜V

球

B．

圓柱

＜V

正方體

＜V

球．V＜V球

圓柱

＜V

正方體

DV＜V球

正方體

＜V

圓柱9分）平α的斜線AB交α于點，過定點的動直線l與AB垂直，且交α于點C，則動點的軌跡是（）A．一條直線

B．一個圓C．一個橢圓

D雙曲線的一支10分）若直線+=1通過點M（cos，sinα（）A．a+b≤1

B．+b≥．+≤1D．+≥1二、填題：本大題6小題每小題5分，共分．11分）直線3x﹣2y+的斜率是．12分）圓x+y﹣+2y+4=0的圓心坐標是，半徑是．13分）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=

．14分如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有

對．第2頁（共19頁）

2211112211111111115分）已經如圖，圓錐、球內切于圓柱，則其體積之比，圓錐體積：球體積：圓柱體積為．16分）橢圓+4y=4長軸上一個頂點為，以A為直角頂點作一個內接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是．三、解題：本大題6小題共70分．17分）已知△ABC的三個頂點A（﹣30（1，2（﹣，3求：（Ⅰ）BC所在直線的方程；（Ⅱ）過點A與BC垂直的直線的方程；（Ⅲ）△ABC外接圓的方程．18分）在棱長為的正方體ABCD﹣BCD中，求：（Ⅰ）BC與BD所成的角；（Ⅱ）BC與底面ABCD所成的角；（Ⅲ）點A與平面BDA的距離．第3頁（共19頁）

219分）如圖，在三棱P﹣ABC中，⊥底面ABC，⊥BC，E分別是、PB的中點．2（Ⅰ）求證：DE平面；（Ⅱ）求證：⊥PB（Ⅲ）若PC=BC，求二面角﹣C的大?。?0分）已經曲線Cy=4x，若直線l經過點（﹣30）交曲線于A，兩點，且

=

，求直線l的方程．21分）如圖，已ACDE是直角梯形，且AC，平ACDE⊥平面，∠∠ACD=90°AB=AC=AE=2，角大小的余弦值．

，求平EBD與平面ABC所成銳二面2214知圓C：

為點．直線

交橢圓C于B，不與點A重合）兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．第4頁（共19頁）

1111111111111111111學北市興高（上期數試（科參考答案與試題解析一、選題：本大題個小題每小題5分，分，在小題給的四個選項，選出符合目要求一項．1分）αβ是兩個不同的平面l是一條直線以下命題正確的是（）A．若l⊥ααβ，則l?βB．l∥αα∥β，則l?β．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥αα⊥β，則l⊥【解答】解：若l⊥α，α⊥β，則l?β或l∥β，故A錯誤；若l∥α，α∥β，則l?β或l∥β，故B錯誤；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性質，我們可得l⊥β，故C正確；若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β，故D錯誤；故選：．2分）如圖，正方體ABCD中，AB的中點M，DD的中點則異面直線BM與CN所成的角是（）A．30°B．．60°D90°【解答】解：由題意，在右面補一個正方體，如圖：∵AB的中點M取CE的中點P連接CP，可得：CP∥BM∴∠NCP是異面直線BM與CN所成的角的平面角．連接NP設正方體ABCD﹣ABCD的邊長為a．第5頁（共19頁）

1可得：CN=CP=1NP=

．=

．∵△NCP的三條邊滿足：CN

2

+CP

2

=NP

2

．∴∠NCP=90°．即異面直線BM與CN所成的角是90°故選：D3分）△ABC底邊的兩個端點分別是B（﹣60（60長為32，則頂點A的軌跡方程是（）A．．

B．D【解答解：由題意可得|BC|+||=20＞AB，故頂A的軌跡是以B為焦點的橢圓，除去與x軸的交點．∴2a=20，a=10，c=6，∴，故頂點C的軌跡方程為：

．故選：．4分）在空間直角坐標O﹣xyz中，點是點（123在坐標平面yOz內的射影，則|OB|等于（）A．

．

．

D【解答】解：∵點B是點A（12，3）在坐標平面yOz內的正射影，∴B在坐標平面yOz上，豎標和縱標與A相同，而橫標為0∴B的坐標是（023第6頁（共19頁）

2222∴|OB|=2222

=

，故選：B．5分）設直線過點（，a斜率為，且與圓+y=2相切，則a的值為（）A．±

B．±．±2D．±【解答】解：∵直線過點（0，）且斜率為1，∴設直線為l，得其方程為y=x+a，即x﹣y+a=0∵x+y=2的圓心為C（0，0徑r=由直線l與圓相切，可得點到直線l的距離等于半徑，即

=

，解之得a=2故選：．6分）拋物線=4y上一點的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點的距離為（）A．2B．．4D．【解答】解：依題意可知拋物線的準線方程為﹣1∴點A到準線的距離為41=5，根據拋物線的定義可知點A與拋物線焦點的距離就是點A與拋物線準線的距離，∴點A與拋物線焦點的距離為5，故選：D7分）已經直線+4y﹣2=0與直線2x﹣+n=0互相垂直，垂足（p則m﹣np的值是（）A．﹣4B．．20D24【解答】解：∵直線mx+4y﹣與2x﹣5y+n=0互相垂直，∴×=﹣1∴m=10，直線mx+4y﹣2=0即5x+2y﹣1=0，垂足1，代入得5+2p1=0，p=2第7頁（共19頁）

222把P（1，﹣代入2x﹣+n=0，可得222∴m﹣np=20，故選：．8分）表面積相等的球、等邊圓柱（圓柱=底面直徑方體，其體積的大小關系正確的是（）A．V

正方體

＜V

圓柱

＜V

球

B．

圓柱

＜V

正方體

＜V

球．V＜V球

圓柱

＜V

正方體

DV＜V球

正方體

＜V

圓柱【解答】解：設球的半徑為r等邊圓柱的高為2h，正方體的棱長為，則由已知可得4πr=2πh+4πh=6a=S，∴r=

，，a=

．則

=

．=．

．∴V

正方體

＜V

圓柱

＜V．球故選：A．9分）平α的斜線AB交α于點，過定點的動直線l與AB垂直，且交α于點C，則動點的軌跡是（）A．一條直線

B．一個圓C．一個橢圓

D雙曲線的一支【解答】解：如圖，設l與l′是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個平面β，且α的斜線AB⊥β，由過平面外一點有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點A與直所有直線都在這個平面內，故動點C都在平面β與平面的交線上，第8頁（共19頁）

222222222222222222222222222222故選：A．10分）若直線+=1通過點M（cos，sinα（）A．a+b≤1．a+b≥1C．+≤1D+≥1【解答】解：若直線+=1通過點Mcosα，α

+

=1∴bcosαasinα=ab，∴（bcosα+asinα）

2

=a

b

2．∵（bcosα+asinα）≤（+b）?（cosαsinα）=a+b∴ab≤（a+

≥1，故選：D二、填題：本大題6小題每小題5分，共分．11分）直線3x﹣2y+的斜率是．【解答】解：直線3x﹣2y+6=0的斜率k=﹣故答案為：．

=．12分）圓x+y﹣+2y+4=0的圓心坐標是（2﹣1，半徑是1

．【解答】解：將圓的方程x+y﹣4x+2y+4=0化為標準方程得﹣2）（+1）2=1則圓心坐標為（2，﹣1徑為：1故答案為﹣1．13分）如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是第9頁（共19頁）

，則a=

．

【解答】解：由已知可知此幾何體是三棱柱，其高為，底面是底邊長為2底邊上的高為a的等腰三角形，所以有

．故答案為：14分如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有

3

對．【解答】解：畫出展開圖復原的幾何體，所以與G重合，F，B重合，所以：四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有：AB與GHAB與CD與EF，共有3對．故答案為：3．第10頁（共19頁）

2322222215分）已經如圖，圓錐、球內切于圓柱，則其體積之比，圓錐體積：球體23222222積：圓柱體積為1：2：

．【解答】解：由題意，設球的半徑為R，則圓柱、圓錐底面半徑為，圓柱，圓錐的高為2R．圓錐體積V=Sh=×πR×2R=圓柱體積V=Sh=2πR．

．球的體積V=

．∴圓錐體積：球體積：圓柱體積為：1：：．故答案為：1：2：．16分）橢圓+4y=4長軸上一個頂點為，以A為直角頂點作一個內接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是【解答】解：A是直角頂點所以直角邊斜率是1和﹣1設A是（﹣2，0）所以一條是y=x2代入橢圓5x+16x+12=0（5x+6+2=0x=﹣，x=﹣2（排除）x=﹣，y=x+所以和橢圓交點是C（﹣，）則AC=（﹣2）+（﹣）=第11頁（共19頁）

．

2222111111111所以2222111111111故答案為三、解題：本大題6小題共70分．17分）已知△ABC的三個頂點A（﹣30（1，2（﹣，3求：（Ⅰ）BC所在直線的方程；（Ⅱ）過點A與BC垂直的直線的方程；（Ⅲ）△ABC外接圓的方程．【解答】解：已知A﹣30（12（﹣23（Ⅰ）∴BC所在直線的方程為

，即x+3y﹣．（Ⅱ）∵直線l與BC直線垂直，∴直線l的斜率k=3A（﹣30∴直線l的方程為：y=3（+3即3x﹣+9=0．（Ⅲ）設出圓的方程為x+y+Dx++F=0，∵A（﹣30（1，（﹣23）在圓上，∴，解得：，∴△ABC外接圓的方程為x+y

+2x﹣2y﹣3=0，18分）在棱長為的正方體ABCD﹣BCD中，求：（Ⅰ）BC與BD所成的角；（Ⅱ）BC與底面ABCD所成的角；（Ⅲ）點A與平面BDA的距離．第12頁（共19頁）

11111111111111111111111111°111【解答】解）由BD∥BD，∴∠CBD為異面直線BC與BD所成的角．連接DC，由正方體的性質可得：△BCD為等邊三角形．∴∠CBD=60°．（II）由正方體的性質可得：CC⊥平面ABCD．∴∠CBC為BC與底面ABCD所成的角．∵△CBC為等腰直角三角形，∴∴∠CBC=45．（III）設點A與平面BDA的距離為h由eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BD為等邊三角形，∴由．

==

．∴×h=∴h==

．

，19分）如圖，在三棱P﹣ABC中，⊥底面ABC，⊥BC，E分別是、PB的中點．（Ⅰ）求證：DE平面；第13頁（共19頁）

212（Ⅱ）求證：⊥PB212（Ⅲ）若PC=BC，求二面角﹣C的大?。窘獯稹孔C明）∵E分別是AB，PB的中點，∴DE．又∵?平面，DE平面，∴DE平面；（Ⅱ）∵PC⊥底面ABC?底面ABC，∴PC⊥．又∵⊥BC，∩BC=CPC，?平面PBC，∴⊥平面PBC．又∵PB?平面PBC，∴⊥PB；解Ⅲ）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，∴∠PBC即為二面角P﹣﹣C的平面角，∵PC=BC，∠PCB=90°，∴∠PBC=45°．∴二面角P﹣AB﹣C的大小為45°．20分）已經曲線Cy=4x，若直線l經過點（﹣30）交曲線于A，兩點，且

=

，求直線l的方程．【解答】解：設A（，y（x，y第14頁（共19頁）

AMAM由

=

，得A是線段MB的中點，?

，又

?

，解得，∴直線l的斜率k=k=

．直線l的方程：y=

．21分）如圖，已ACDE是直角梯形，且AC，平ACDE⊥平面，∠∠ACD=90°AB=AC=AE=2，角大小的余弦值．

，求平EBD與平面ABC所成銳二面【解答】解：∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平ABC，∴⊥平面ACDE．以點A為坐標原點，直AB為x軸AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（00，0（0，

（02，∴

=（2﹣1﹣

=（010設平面EBD的法向量=（x，y，由

，取z=2，則x=

，y=0∴=（，02可取=（001）作為平面ABC的一個法向量，第15頁（共19頁）

122122∴cos＜＞==

．即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為

．2214知圓C：

為點．直線

交橢圓C于B，不與點A重合）兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．【解答】解）由題意可得，解得，∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）設B（，yx，y由

消去y得到，∵橢不，=8﹣＞2＜m＜第16頁（共19頁）

．．．．．．．22．．．2．．．．．．．．22．．．∴

，．∴

==

．點A到直線BD的距離d=∴=．

=

．==當且僅當m=

∈（﹣2，時取等號．∴當

時，△ABD的面積取得最大值

．贈送—高中數知識點【】單性最大小值（）數的單調性①定義及判定方法函數的性質

定義如果對于屬于定義域I內

圖象

判定方法（）用定義某個區(qū)間上的任意兩個

（利已知函數函數的

自變量的值x、,當x<時都有f(x)<f(x)，那么就說f(x)在這區(qū)間上是增數

o

f(x)

f(x)

的單調性（利函數圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（利復合函數單調性

如果對于屬于定義域I內

（）用定義某個區(qū)間上的任意兩個

y

y=f(X)

（利已知函數自變量的值x當x<時都有f(x)>f(x)，那么就說f(x)在這區(qū)間上是減數

o

f(x)x

f(x)

x

x

的單調性（利函數圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（利復合函數第17頁（共19頁）

．．．．．．②公定域，個函的是函，個函的是減數增數去一減數增數減數去個函．．．．．．③于合數yf[()]

，u)

，f()

為，ug(x)

為，yf[g()]

為若yf)

為，g(x)

為則f[gx)]

為若y