2023學年浙江九年級數(shù)學上學期章節(jié)重難點知識講義第06講應用二次函數(shù)求解幾何最值專題探究(含詳解)

第6講應用二次函數(shù)解決幾何圖形最值問題專題探究

考點一求線段的最值

【知識點睛】

如圖，在第一象限內(nèi)拋物線上有一動點P.過點P作PD，x軸交AB于點D,

當PD(或PH)最大時，求點P的坐標；

方法：

依拋物線解析式設點P坐標，因為PD〃y軸表示點D坐標，PD=yp-y?,得PD

表達式為一新二次函數(shù)，根據(jù)頂點式求其最大值。(求PH最大值則可由

-△AOB,將PH的長轉(zhuǎn)化為PD長，再參照上法求解PH最大值)

【類題訓練】

1.如圖，二次函數(shù)juG?+fex+c(aWO)的圖象交x軸于A,B兩點，交y軸于點。，點B的坐標為(3,

0),頂點C的坐標為(1,4).

(1)求二次函數(shù)的解析式和直線8。的解析式；

(2)點P是直線8。上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M,當點P在第一象限時，

求線段PM長度的最大值；

(3)在拋物線上是否存在點Q,且點。在第一象限，使△BCQ中8。邊上的高為丁/？若存在，求

出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

拋物線y=ax1+bx-6與x軸相交于

A,8兩點，與y軸相交于點C,4(-2,0),B(4,0),在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點。，連

接B。，BC,CD.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(II)若點。在x軸的下方，設點。的橫坐標為f,過點。作OE垂直于x軸，交BC于點凡用含

有f的式子表示。尸的長，并寫出1的取值范圍；

(III)在(II)的條件下，當△C8。的面積是2?時，點”是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，

2

是否存在點M使得以點B,D,M,N為頂點，以8。為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出

點N的坐標；若不存在，請說明理由.

考點二求三角形面積的最值

【知識點睛】

?如圖，在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動點P.當SAABP最大時，求點P的坐標；

方法：

①設動點P的坐標；

②過點P作y軸平行線交對邊AB與一點，并表示出該交點坐標；

③利用水平寬X鉛垂高+2,將SAABP表示為一新二次函數(shù)，利用頂點式求其最大值。

【類題訓練】

3.如圖已知直線y=L+上與拋物線yuaf+bx+c相交于A(-1,0),8(4,兩點，拋物線yuaf+H+c

22

交y軸于點C(0,-3),交x軸正半軸于。點，拋物線的頂點為M.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當△布B的面積最大時，求△%B的面積及點P的

坐標；

【總結(jié)反思二次函

數(shù)中斜三角形面積最大值求法】

?如圖，利用S='a/?(a為水平寬，h為鉛垂高)列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大

2

值.

?如圖2,可將三角形的面積轉(zhuǎn)化為求在第一象限內(nèi)拋物線上的點到直

線AB距離的最大值.根據(jù)直線與拋物線只有一個交點，通過根的判別

式來求出最大值。

考點三求周長的最值

【知識點睛】

如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，定點C、D在拋物線上，當矩形

ABCD周長最大時，求點A的坐標；

方法：

①設點A坐標，表示點B、C、D坐標；

②表示AB、CD的長；

③將C矩形皿表示為一新二次函數(shù)，利用頂點式求其最大值。

?如圖，頂點A,B,C在拋物線上，在對稱軸上找點P,使APBC周長最小時，：

點P的坐標；Mo

方法：將軍飲馬一對稱連接\%

［類題訓練］-OUQX—；

4.如圖，拋物線)，=a/+以+3(a,匕是常數(shù)，且"W0)與x軸交于A,8兩點，與

y軸交于點C并且A,8兩點的坐標分別是A(1,0),8(-3,0),拋物線頂點為D

(1)①求出拋物線的解析式；

②頂點D的坐標為；

③直線BD的解析式為；

(2)若E為線段8。上的一個動點，其橫坐標為機，過點E作軸于點F,求當機為何值時,

四邊形EFOC的面積最大?

(3)若點P在拋物線的對稱軸上，若線段必繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應點4恰好也落

在此拋物線上，請直接寫出點P的坐標.

5.如圖，已知拋物線y=a/+6x+3與x軸交于4,8兩點，過點A的直線，〃與拋物線交于點C,其中點

A的坐標是(1,0),點C的坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使的周長最小？若存在，求出點D的坐標;

若不存在，請說明理由；

(3)若點E是拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△4CE的最大面積及點E的坐標.

1.如圖，直線y=fcr+/〃與拋物線y=-/+6x+c交于A(-1,0),B(3,-2)兩點，A8與y軸交于點

C,尸為直線A3上方拋物線上的動點，PCx軸交直線AB于D,PE_Ly軸交直線AB于￡

(1)求直線A8與拋物線的解析式;

(2)求PE+PD的最大值；

3.如圖，拋物線y=o?+fcc+c,經(jīng)過點C(0,3),與x軸交于點A(-1,0)和點B(點8在點A的右

邊)，且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;

(2)點。、E在直線x=l上的兩個動點，且OE=1,點。在點E的上方，求四邊形4CDE的周長

的最小值.

(3)點P為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的

坐標.

4.如圖，已知拋物線y=-f+〃x+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交于點N.其

頂點為D.

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若拋物線的對稱軸與直線4C相交于點8,E為直線AC上的任意一點，過點E作EF〃8。交拋

物線于點F,以B,D,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請

說明理由；

(3)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求aAPC的面積的最大值.

(4)設點M的坐標為(3,m)，直接寫出使的和最小時〃?的

第6講應用二次函數(shù)解決幾何圖形最值問題專題探究

考點一求線段的最值

【知識點睛】

如圖，在第一象限內(nèi)拋物線上有一動點P.過點P作PD，x軸交AB于點D,

當PD（或PH）最大時，求點P的坐標；

方法：

依拋物線解析式設點P坐標，因為PD〃y軸表示點D坐標，PD=yp-y?,得PD

表達式為一新二次函數(shù)，根據(jù)頂點式求其最大值。（求PH最大值則可由

-△AOB,將PH的長轉(zhuǎn)化為PD長，再參照上法求解PH最大值）

【類題訓練】

1.如圖，二次函數(shù)yna^+fex+c（aWO）的圖象交x軸于A,B兩點，交y軸于點￡>,點B的坐標為（3,

0）,頂點C的坐標為（1,4）.

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BO的解析式;

（2）點P是直線8。上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M,當點P在第一象限時,

求線段PM長度的最大值;

（3）在拋物線上是否存在點Q,且點。在第一象限，使△BCQ中BO邊上的高為J5?若存在，求

出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）可設拋物線解析式為頂

點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線BD解

析式；

（2）設出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）過。作。G〃y軸，交8。于點G,過。和。于從可設出。點坐標，表示出QG的長

度，由條件可證得△O”G為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于。點坐標的方程，可求得。點坐標.

【解答】解：（1）?拋物線的頂點C的坐標為（1,4）,

.?.可設拋物線解析式為y=a（x-1）2+4,

?.?點B（3,0）在該拋物線的圖象上，

...0=4（3-1）2+4,解得a=-l,

.?.拋物線解析式為y=-（x-1）2+4,即y=-/+2%+3,；點。在），軸上，令x=0可得y=3,

二。點坐標為(0,3),

...可設直線8。解析式為)，=丘+3,

把B點坐標代入可得3k+3=0,解得k--\,

：.直線BD解析式為y=-x+3；

(2)設P點橫坐標為m(/M>0)>則P(w,-w+3),M(〃?，-m2+2m+3).

/.PM=-m2+2m+3-(-w+3)--m2+3m--(n?--)2+—,

24

.,.當“尸W,PM有最大值9；

24

(3)如圖，過。作QG〃y軸交8。于點G,交x軸于點E,作QHL2O于4,

QG=\-/+2x+3-(-x+3)|=|-f+3x|,

?.?△8。。是等腰直角三角形，

：.ZDBO=45°,

；.NHGQ=NBGE=45°,

當△B。。中BD邊上的高為時，即QH=HG=近,

,QG=yj(V2)2+(V2)2=2，

?.?點。在第一象限，

-/+3x=2,

解得x=l或x=2,

：.Q(1,4)或(2,3),

綜上可知存在滿足條件的點0,其坐標為(1,4)或(2,3).

2.如圖，拋物線y=a?+6x-6與x軸相交于A,B兩點，與y軸相交于點C,A(-2,0),B(4,0),

在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點。，連接BDBC,CD.

(I)求拋物線的函數(shù)表達式；

(H)若點。在x軸的下方，設點。的橫坐標為f,過點。作OE垂直于x軸，交BC于點凡用含

有■的式子表示QF的長，并寫出，的取值范圍；

(111)在(II)的條件下，當?shù)拿娣e是9時，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點,

2

是否存在點N,使得以點B,D,M,N為頂點，以8。為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出

(I)把A(-2,0),B(4,0)代入拋物線丫=/+法-6得

4a-2b-6=0,解得:a=3,b=--.即可解決問題；

16a+4b-6=042

(II)先求出直線BC的函數(shù)表達式為：y=|>x-6，有D(t,32Vt-6)，則F(t,yt-6)?

得DF=(-|t-6)-(-1t2-1t-6)=-1t2+3t-其中1?4；

(III)由微?.(qt2+3t)x4號，得n=1(舍去)，&=3,得D(3,T)，①當MB//ND,且

MB=ND,②MN//BD,且MN=BD,根據(jù)平行的性質(zhì)得點N的縱坐標，即可解決問題.

【解答】解：(I)將A(-2,0),B(4,0)代入y=/+bx-6得：得(4a-2b-6=°,

I16a+4b-6=0

解得：b=~—?

42

2

...拋物線的函數(shù)表達式為：y-1x-1x-6：

(II)拋物線的對稱軸為直線x=l,C(0,-6),

設直線BC的解析式為y=kx^-m,

把8(4,0),C(0,-6)代入可得：

f4k+in=0.

lm=-6

解得nF-G，

...直線8c的函數(shù)表達式為：y=|^-6，

仃D(t,?則F(t,-^-t-6)?DF=(--t-6)-(-^-t2---t-6)=-^t2+3t,其

*x乙乙乙

中《4；

(UDy-(-^-t2+3t)x4=1->

化簡得旦t2+6t=9，

22

解得fi=l（舍去），9=3,

???D（3,?

①如圖2,

當MB"ND,且MB=ND時,

四邊形BDNM即為平行四邊形,

此時MB=ND=4,點、M與點。重合，四邊形BDNM即為平行四邊形,

2

...由對稱性可知N點橫坐標為-1,將X=-IRAy=^-x-|-x-6,

解得y=造.

y4

.??此時N（-l,-疊），四邊形BDNM即為平行四邊形；

②如圖3,

當MN〃BD,目.時，四邊形為平行四邊形,

過點W做NP_Lx軸，過點。做。ELx軸，由題意可得N尸=。凡

???此時N點縱坐標為史,

4

將產(chǎn)牛代入尸p得x-6.

得&X2且x-6=生，解得：x=l±V14.

424

.,.此時-y）^N（lW14?疊），四邊形5CMN為平行四邊形，

綜上所述,N（T，-疊）或N（1^/14＞牛）或

求三角形面積的最值

【知識點睛】

?：?如圖，在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動點P.當SAABP最大時,求點P的坐標;

方法：

①設動點P的坐標；

②過點P作y軸平行線交對邊AB與一點，并表示出該交點坐標；③利用水平寬X鉛垂高+2,將

SAABP表示為一新二次函數(shù)，利用頂點式求其最大值。

【類題訓練】

3.如圖已知直線產(chǎn)去+>|■與拋物線)，=“/+或+。相交于A(-1,0),8(4,加)兩點，拋物線y=ax1+bx+c

交y軸于點C(0,--1),交x軸正半軸于。點，拋物線的頂點為M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當△以8的面積最大時，求△以8的面積及點P的

【分析】(1)將點B(4,m)代入y=2-x+工，

-22

求出m——,將點A(-10),B(4,0),C(0,一旦)代入y=af+/?+c,即可求函數(shù)解析式;

222

(2)設P(〃，〃-I)，則經(jīng)過點P且與直線廠方嗚垂直的直線解析式為尸-24小

2

-3,直線夕=1+」與其垂線的交點G（1?2+2?-生工“2+工〃+工），可求GP=YL（-〃2+3〃+4）,

222555105105_

當”=旦時，GP最大，此時△MB的面積最大，所以P（旦，」互），△辦8的面積=-^X回區(qū)X45

228224

=125.

~W

【解答】解：（1）將點B（4,m）代入

22

.?.用=區(qū)

2

將點A(-I,0),B(4,9)，C(0,-旦)代入丫=0?+法+。,

22

解得a——,b--1>c--―,

22

二函數(shù)解析式為尸方%2-x-

（2）設P（n,工/.〃,旦），

22

則經(jīng)過點P且與直線y=1x+上垂直的直線解析式為）=-2x+^r+n-—

2222

直線夕=工+」與其垂線的交點G（上/+2〃-生工〃2+工〃+工），.?.GP=叵(-層+3”+4),

■22555105105

當〃=2■時，GP最大，此時的面積最大，

2

：.p（旦，-匹），

28

?：AB=^^-,PG=^^~.

24

：./\PAB的面積=上義旦叵*包/￡=-1^殳；

22416

【總結(jié)反思二次函數(shù)中斜三角形面積最大值求法】

?：?如圖，利用S=」a。（a為水平寬，h為鉛垂高）列出函數(shù)關(guān)系式,

2

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

?如圖2,可將三角形的面積轉(zhuǎn)化為求在第一象限內(nèi)拋物線上的點到直

線AB距離的最大值.根據(jù)直線與拋物線只有一個交點，通過根的判別

式來求出最大值。

考點三求周長的最值

【知識點睛】

?如圖，矩形ABCD的邊AB在X軸上，定點C、D在拋物線上，當矩形ABCD

周長最大時，求點A的坐標；

方法：

①設點A坐標，表示點B、C、D坐標；

②表示AB、CD的長；

③將C矩形皿表示為一新二次函數(shù)，利用頂點式求其最大值。

?：?如圖，頂點A,B,C在拋物線上，在對稱軸上找點P,使APBC周長最小時，點P的坐標；

方法：將軍飲馬一對稱連接

【類題訓練】

4.如圖，拋物線yna?+bx+S(a,b是常數(shù)，且aWO)與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C.并且

A,8兩點的坐標分別是A(1,0),B(-3,0),拋物線頂點為￡>.

(I)①求出拋物線的解析式；

②頂點D的坐標為；

③直線BD的解析式為；

(2)若E為線段BD上的一個動點，其橫坐標為，"，過點E作EFLx軸于點F,求當m為何值時,

四邊形EFOC的面積最大？

(3)若點尸在拋物線的對稱軸上，若線段必繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點4的對應點H恰好也落

在此拋物線上，請直接寫出點P的坐標.

【分析】(1)①把A(1,0),8(-3,0)代入丫=/+加+3,即可求解:

②由y=-7-2x+3=-(x+1)2+4,可求頂點坐標;

③設直線8。的解析式為y=h+b,將點8、。的坐標代入即可求解；

2

(2)求出點E(ZM,2W+6),C(0,3),則S=lx(OC+EF)XOE=-(w+2)+ll,當-

2416

.時，s最大值啥；

(3)拋物線的對稱軸為x=-1,當P點在x軸上方時，過點4作AMYx=-1交于點M,證明△

MPC^AQAP(AAS),則PQ=1,求得P(-l,1)；當尸點在x軸下方時，△4RV為等腰直角三角

形，求得AQ=2,則P(-1,-2).

【解答】解：(1)①把A(1,0),8(-3,0)代入y=a?+&+3,

得(a+b+3=0,

19a-3b+3=0

解得卜二T,

lb=-2

?'?y=-x2-2r+3；

②；y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

???￡>的坐標為(7,4),

故答案為：(-L4)；

③設直線BD的解析式為)，="+/;,

將點8、。的坐標代入得：

「3k+b=0,

I-k+b=4

解得，k=2,

1b=6

，直線BD的表達式為y=2x+6,

故答案為：y=2x+6；

(2)?.,點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為2/n+6,

當x=0時，y=0+0+3=3,：.C(0,3),

由題意可知：OC=3,OF=-EF=2m+6,

.-.S=Ax(OC+EF)XOE=AX(2w+6+3)X(-m)=-(,”+且)？+絲,

22416

二當陽=_曰時，S最大值噂；

(3)拋物線的對稱軸為x=-1,

當P點在x軸上方時，如圖1,

過點A作A'MLx=-1交于點M,

VZAW=90°,

AZA/W+ZMCP=90°,ZMPC+ZAPQ=90°,

：.ZMCP=ZAPQf

9：AP=A'P,

???△MPC慫△QAP(AAS),

:.PQ=MC,

:?PQ=1，

：.P(-1,1)；

當P點在x軸下方時，如圖2,

*：AP=A'PfNA%'=90°,

.'.△A隊為等腰直角三角形，

：.AQ=PQ,

：.PQ=AQ=2,

：.P(-1,-2)；

綜上所述：P點坐標為(-1,1)或(-1,-2).

'I'\5.如圖，已知拋物線丫=〃/+瓜+3與x軸交于A,B兩

點，過點A的直線機與拋物線交于點C,其中點A的坐標是(1,0),點C的坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使△8C。的周長最?。咳舸嬖?，求出點。的坐標;

若不存在，請說明理由；

利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，即可求解;

(2)先求直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求

點D;

(3)過點E作FE〃y軸，交直線AC于點F,交x軸于點尸，作的高CQ,設點E坐標為(〃,

n2-4/1+3),則點F的坐標為(n,n-1),EF=|n-1-(n2-4n+3)|=-tr+5n-4,再表示出S^ACE,

利用二次函數(shù)配方求最大值.

【解答】解：(1)將點A(1,0),點C(4,3)代入丫=“/+區(qū)+3,

得，(a+b+3=0,

I16a+4b+c=3

解得，卜=1,

lb=-4

...拋物線解析式為：y=/-4x+3：

(2)設直線4c的函數(shù)關(guān)系式為：y=h+m,把A、C兩點坐標代入，

得，心如0

I4k+m=3

解得，&=1,，"=-1,

...直線AC的關(guān)系式為：y=x-l,

；y=/-4x+3=(x-1)(x-3),

...點8坐標為(3,0)拋物線對稱軸為：直線x=2,

是定值，

當BD+CD最小時，4BCD的周長最小,

?.?4、8是關(guān)于拋物線對稱軸對稱的兩點，

...當。是直線x=2與AC的交點時，8D+C。最小時，△BCO的周長最小,

當x=2時，y=jc-1=1,

即當。點坐標為(2,1)時，△88的周長最小,

(3)過點E作FE〃y軸，交直線AC于點R交x軸于點P,作△后八；的高CQ,

設點E坐標為(〃，-4〃+3),則點F的坐標為(”，n-1),

/.EF—\n-1-(n2-4n+3)尸-n2+5n-4,

SMCE—S^EFA+S^EFC=-^PxAP+**EFXCQ

=yEFX(APKQ)=*X3X-M+5〃~4)

=-3(X-竺)2+紅，

228

.?.當X=g時，△ACE的面積最大，最大面積=2二

28

當x=8時，y—x2-4x+3=-—?

24

1.如圖，直線y=kx+m與拋物線y=-/+fcr+c交于A(-1,0),B(3,-2)兩點，AB與y軸交于點

C,尸為直線AB上方拋物線上的動點，PCx軸交直線AB于D,軸交直線AB于E.

(1)求直線A8與拋物線的解析式;

(2)求尸E+PD的最大值；

y

【分析】(1)將4(-1,0),8(3,-2)代入y=fcc+/n得到方程組,

解方程組即可；將A(-1,0),B(3,-2)代入y=-/+bx+c得到方程組，解方程組即可.

(2)設？(“，-川+3〃?+5),則。("],一里_』)，由點E在直線AB上可得E(2序-3，〃-6,

2222

-，"2+3,〃+”)，分別表達尸。和PE的長度，進而可表達PD+PE的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出

22

最值;

【解答】解：(1)將A(-1,0),B(3,-2)代入y=左計"7得,

f-k+m=0

:3k+m=_2

直線AB的解析式為尸--1A-1；

將4(-1,0),3(3,-2)代入y=-f+bx+c得,

-l-b+c=0

-9+3b+c=_2

b=2

解得：

5

c至

二拋物線的解析式為)=*+去+>|；

(2)設P("?,-m2+—m+—)>則D(m,q-工)，設E(a,-m2+^-m+^-),

222222

在直線y=-工工-」■上，-m~+—m+—=--t?--

222222

/.a=2nv-3m-6,

2

:?PE=m-a—m-(27w-3m-6)--2/T?2+4A?7+6,

PD--?(-—m-—)=-團2+2〃2+3,

2222

PE+PD--2m2+4m+6-m2+2ni+3--3m2+6ni+9--3(/n2-2w+l)+3+9=-3(ni-1)2+12>

：-3<0,

，當〃?=1時，PE+尸。有最大值，最大值為12,

0的最大值為12；

2.拋物線y=-f+fov+c經(jīng)過點A(7,0)和點B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,點M是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點M作MFLx軸于點F,作MEJ_)，軸于點E,

當矩形MEO尸周長最大時，求M點坐標.

B(3,0)代入y=-/+bx+c解方程組即可得到結(jié)論：

(2)設-m2+2m+3),求得尸("?，0),E(0,-m2+2m+3),根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EM=OF

=m,OE=MF=-nr+2m+3,求得矩形MEOF的周長=-2(m-旦)2+21,當布=2"時，矩形MEOF

222

周長最大，于是得到結(jié)論；

【解答】解解：(1)把點A(-1,0)和點8(3,0)代入y=-/+fer+c得，(-1-b+c=0,

\-9+3b+c=0

解得(b=2,

Ic=3

...該拋物線的函數(shù)表達式為、=-f+2x+3；

(2)?.?點M是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，

.".設Af(zw,-m2+2m+3),

?：MFLx軸于點F,作MELy軸于點E,

：.F(AM,0),E(0,-m2+2m+3),

?四邊形MEOF是矩形，：.EM^OF^m,OE^MF^-m2+2m+3,

二矩形MEOF的周長=2m+2(-/+2m+3)=-2/n2+6w+6=-2(m-旦)2+-^,

22

.?.當"?='■時，矩形MEOF周長最大，

2

.?.M點坐標為(區(qū)，型)；

24

3.如圖，拋物線y=/+6x+c經(jīng)過點C(0,3),與x軸交于點A(-1,0)和點2(點B在點A的右

邊)，KOB=OC.

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;

(2)點。、E在直線x=l上的兩個動點，且。E=l,點。在點E的上方，求四邊形ACCE的周長

的最小值.

(3)點P為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CB辦的面積分為3：5兩部分，求點P的

坐標.

【分析】(1)先根據(jù)已知條件求得B點坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再把解析式化成

頂點式，便可求得頂點坐標；

(2)把C向下移1個單位得點C',再作C'關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點C",連接AC",與對

稱軸交于點E,再在對稱軸hE點上方取點。，使得DE=1,連接CD,此時四邊形ACDE的周長最

小，求出此時的最小值便可；

(3)SAPCB：S^PCA=—EBX(yc-yp)：—A￡X(yc-yp)=BE：AE,即可求解.

22

【解答】解：(1)?.,點C(0,3),OB=OC,

：.B(3,0),

把A、B、C三點坐標代入y=a/+/"+c,得

a-b+c=0

<9a+3b+c=0?

c=3

解得，<b=2，

c=3

，拋物線的解析式為：y=-/+2x+3,Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

...頂點坐標為(1,4)；

(2)把C向下移1個單位得點C',再作C'關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點C",連接AC",與對

稱軸交于點E，再在對稱軸上E點上方取點O,使得OE=1,連接CZ),則C￡>=C'E=C"E,

VC(0,3),

：.C'(0,2),

?.?對稱軸是直線x=l，

：.C"(2,2),

VA(-1,0),

：.AC=yJl2+32=^/lQ，

AC，=V(2+1)2+22=^13)

AE+DE+CD+AC^AE+\+C"E+V10=l+VTo+^E+C"E=1+A/I3+AC"=1+A/I3的值最小，

，四邊形ACDE的周長的最小值為l+VTo+V13：

則BE：AE=3：5或5：3,

則4E=2.5或1.5,

即點E的坐標為(1.5,0)或(0.5,0),

將點E的坐標代入直線CP的表達式：y=kx+3,

解得：Z=-6或-2,故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3,

y=-2x+3y=-6x+3

聯(lián)立方程組,2或o

y=-x^+2x+3y=-x'+2x+3

解得：x=4或8(不合題意值己舍去),

故點P的坐標為(4,-5)或(8,-45).

4.如圖，已知拋物線y=-f+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與〉軸交于點M其

頂點為D.

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作E尸〃8。交拋

物線于點尸，以B,D,E,F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請

說明理由;

(3)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值.

(4)設點M的坐標為(3,相)，直接寫出使例N+例。的和最小時，”的值.

-/+bx+c過點A(-1,0)及C(2,3)得,

f-l-b+c=0,解得(b=2,得拋物線為>=-f+2r+3；又設直線為>=丘+〃過點A(-1,0)及C

I-4+2b+c=3Ic=3

⑵3),得fie。，解得(k=l,得直線AC為y=x+l；

I2k+n=3\n=l

(2)由》=-jr+2x+3=-(x-I)2+4,得D(1,4),當x=l時，y=x+l=2,得8(1,2),求出

BD=2,設E(x,x+1),當EF=8￡>=2時?，以8,D,E,尸為頂點的四邊形為平行四邊形，分兩種

情形討論：①如圖2,當點E在線段AC上時，點F在點E上方，得x+3=-/+級+3,即可求解；②

當點E在線段AC(或CA)延長線上時，點F在點E下方，則尸(x,x-1),得x-1=-7+2r+3,

即可求解;

(3)如圖2,過點P作POJ_x軸交AC于點Q,交x軸于點”：過點C作CGLx軸于點G,設。(x,

x+l),則P(x,-X2+2X+3),表示出2。=(-X2+2X+3)-(x+l)=-x2+x+2,又S/\APC=SMPQ+S

△bQ=』尸。(-7+x+2)X3=-§(x-工)2+2L,S&4PC的最大值為21；

2