專業(yè)課dsp課件第5章

第五章有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器的設(shè)計(jì)方法

序言§5.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性§5.2窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法）

§5.3頻率采樣法

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

§5.5IIR與FIR數(shù)字濾器的比較

序言

FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述

①

對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)

因?yàn)樗且环N線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示

③比較①、③得：

FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(與IIR數(shù)字濾波器比較)：優(yōu)點(diǎn)：（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；（2）可得到多帶幅頻特性；（3）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；（4）任何一個(gè)非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足；（5）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。

缺點(diǎn)：（1）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)；（2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成?！?.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

5.1.1線性相位的條件線性相位意味著一個(gè)系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線性函數(shù)，即式中為常數(shù)，此時(shí)通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時(shí)延為一相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時(shí)延為

線性相位FIR濾波器的DTFT為式中H(ω)是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)。等式中間和等式右邊的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等:將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項(xiàng)移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系(5.7)滿足上式的條件是

(5.8)另外一種情況是，除了上述的線性相位外，還有一附加的相位，即利用類似的關(guān)系，可以得出新的解答為

偶對稱

奇對稱圖1線性相位特性

分四種情況5.1.2線性相位FIR濾波器的幅度特性

分四種情況1．h(n)偶對稱，N為奇數(shù)h(n)=h(N-1-n)5.1.2線性相位FIR濾波器的幅度特性令，則令則由于偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。H()=H(-)=H(2-)p2p0

2．h(n)偶對稱，N為偶數(shù)h(n)=h(N-1-n)令，則

或?qū)憺椋?/p>

由于奇對稱，所以對也為奇對稱，且由于時(shí)，處必有一零點(diǎn)，因此這種情況不能用于設(shè)計(jì)=時(shí)H()0

的濾波器，如高通、帶阻濾波器。02pp3.h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n)

令n=m+(N-1)/2，得：

所以

由于點(diǎn)呈奇對稱，所以對這些點(diǎn)也奇對稱。由于時(shí)，相當(dāng)于H（z）在z=1

處有兩個(gè)零點(diǎn)，不能用于的濾波器設(shè)計(jì)，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。02pp4.h(n)奇對稱，N為偶數(shù)令

由于在ω=0,２π處為零，所以H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1上有零點(diǎn)，并對ω=0,2π呈奇對稱。故不能用作低通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。02pp四種線性相位FIR濾波器四種線性相位FIRDF特性，參考表5.1第一種情況，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)低通和帶阻。例5.1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函數(shù)H(ω)。解Ｎ為奇數(shù)并且h(n)滿足偶對稱關(guān)系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H(ω)=2

-cosω-cos2ω=2-(cosω+cos2ω)

小結(jié)四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)。幅度特性取決于h(n)。設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：當(dāng)H(ω)用│H(ω)│表示時(shí)，當(dāng)H(ω)為奇對稱時(shí)，其相頻特性中還應(yīng)加一個(gè)固定相移π。

5.1.3線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性

由該式可看出，若z=zi是H（z）的零點(diǎn)，則z=z-1i也一定是H（z）的零點(diǎn)。由于h(n)是實(shí)數(shù)，H（z）的零點(diǎn)還必須共軛成對，所以z=z*i及z=1/z*也必是零點(diǎn)。所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對，即成四出現(xiàn)，這種共軛對共有四種可能的情況：①既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛對，ziz*i1/zi1/z*i圖4.2(a)②在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點(diǎn)，zi,z*i

圖4.2（b）③不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點(diǎn),zi,1/zi圖4.2（c）④又在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，

zi=1或zi=-1圖4.2(d)

同樣道理，對于第三種FIR濾波器，h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，因所以z=1，z=-1都是H（z）的單根；對于第四種濾波器，h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，H（O）=0，所以z=1是H（z）的單根。所以，h(n)奇對稱→H(0)=0N為偶數(shù)→H(π)=0線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對于第二種FIR濾波器（h(n)偶對稱，N為偶數(shù)），，即是的零點(diǎn)，既在單位圓，又在實(shí)軸，所以，必有單根；§5.2窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為，那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，頻率響應(yīng)去逼近，逼近方法有三種：窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近）時(shí)間窗口設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響通過傅里葉反變換獲得

但一般來說，理想頻響是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個(gè)有限長的序列去近似無限長的hd(n)。最簡單的辦法是直接截取一段hd(n)代替h(n)。這種截取可以形象地想象為h(n)是通過一個(gè)“窗口”所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也可表達(dá)為h(n)和一個(gè)“窗函數(shù)”的乘積，即

h(n)=w(n)hd(n)

在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN（n），當(dāng)然以后我們還可看到，為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對hd(n)作一定的加權(quán)處理。

設(shè)計(jì)步驟：1）由定義3）卷積:加窗后對頻率響應(yīng)的影響插值一.矩形窗口法則

以一個(gè)截止頻率為ωc的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設(shè)計(jì)問題。a.

對于給定的理想低通濾波器，計(jì)算：低通濾波器的延時(shí)理想特性的hd(n)和Hd(ω)

這是一個(gè)以為中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時(shí)應(yīng)為h(n)長度N的一半,即

其中b.計(jì)算

c.計(jì)算。設(shè)為窗口函數(shù)的頻譜:

用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有

其線性相位部分則是表示延時(shí)一半長度

對頻響起作用的是它的幅度函數(shù)

理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式

Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα其中幅度函數(shù)為

兩個(gè)信號時(shí)域的乘積對應(yīng)于頻域卷積，所以有(5.41)

如果也以幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示H（ejω）,則實(shí)際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（ω）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。4個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：（1）ω=0時(shí),H(0)等于在[-ωc,ωc]內(nèi)的積分面積因一般故H(0)近似為在[-π,π]內(nèi)的積分面積（2）ω=ωc時(shí)，一半重疊，

H(ωc)=0.5H(0);（3）ω=ωc

–2π/N時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)正肩峰；

（4）ω=ωc+2π/N時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。

矩形窗的卷積過程窗口函數(shù)對理想特性的影響：①改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為，等于WR(ω)的主瓣寬度。（決定于窗長）②過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于

WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強(qiáng)，與N無關(guān)。（決定于窗口形狀）③N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。因主瓣附近

其中x=Nω/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR（ω）的絕對值大小和起伏的密度，當(dāng)N增加時(shí)，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。

00.250.50.751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設(shè)計(jì)的c=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)

改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：①窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；②相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。

肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對濾波器的性能有很大的影響。

5.2.2幾種常用的窗函數(shù)

1.矩形窗，上面已講過，不再細(xì)述

2.漢寧窗（升余弦窗）

利用ＤＴＦＴ的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W（ω）可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為：

0N-1/2N-11W(n)n三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為。

0-80-60-44-200矩形窗

Hanning窗dB

3.漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗）

它是對漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。

4.布萊克曼窗（三階升余弦窗）

增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，為。增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：

窗口函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|四種窗函數(shù)的比較

5.凱塞窗以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。I0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)β可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。β越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取4<β<9。β=5.44接近漢明β=8.5接近布萊克曼β=0為矩形圖2凱塞窗函數(shù)圖1零階修正貝塞爾函數(shù)I0(x)x01

當(dāng)M>>N時(shí)，hM(n)≈hd(n)零階貝塞爾函數(shù)

窗口設(shè)計(jì)法的主要工作是計(jì)算hd(n)和w(n)，當(dāng)較為復(fù)雜時(shí)，hd(n)不容易由反傅里葉變換求得。這時(shí)一般可用離散傅里葉變換代替連續(xù)傅里葉變換，求得近似值：令過渡帶寬

At阻帶最小衰減在窗口函數(shù)方面，MATLAB可計(jì)算以下的窗口函數(shù)：

W=hanning(N) W=hamming(N) W=blackman(N) W=kaiser(N,beta)變量Ｎ是窗函數(shù)的長度，beta就是凱塞窗的參數(shù)β，它可以利用以上討論的公式計(jì)算，Ｗ是返回的窗口函數(shù)，長度為Ｎ。對于凱塞窗，MATLAB還提供了一個(gè)根據(jù)濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)計(jì)算窗口函數(shù)的參數(shù)的函數(shù)文件，其調(diào)用形式如下： ［M,Wc,beta,ftype］=kaiserord(f,a,dev,fs)f為通帶和阻帶邊界頻率，最高為fs/2；a為相應(yīng)頻帶的幅度值；dev為波動(dòng)值；fs缺省為2。M是濾波器階數(shù)；Wc邊界頻率；beta即β；ftype是濾波器類型，低通為low。下圖(a)為N=30直接截取的頻率特性；(b)為凱塞窗設(shè)計(jì)的頻率特性5.2.3用MATLAB實(shí)現(xiàn)窗口設(shè)計(jì)法FIR濾波器的4個(gè)頻帶分別為

0wpf1pf2wpf3pf4wpf5pf6wpFIR濾波器在4個(gè)頻帶中的幅度值為

a1a2a3a4(通帶取1，阻帶取0)FIR濾波器在4個(gè)頻帶中的波動(dòng)

d1

d2

d3

d4f=[f1f2f3f4f5f6];a=[a1a2a3a4];dev=[d1

d2

d3

d4];[M,Wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev);h=fir1(N,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta))例5.4用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器。該濾波器在通帶和阻帶具有相同的波動(dòng)幅度0.01，通帶范圍為0.35