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PAGEPAGE11函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1.
教學(xué)目標(biāo)1、正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理;2、掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。2.
教學(xué)重點/難點教學(xué)重點:探索并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間;教學(xué)難點:探索函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。3.
教學(xué)用具多媒體、板書4.
標(biāo)簽
教學(xué)過程一、溫故知新、引入課題【師】請同學(xué)們思考函數(shù)單調(diào)性的概念?【生】思考交流。【板演/PPT】函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間D上,D=(a,b)當(dāng)x1、x2∈D且x1<x2時①都有f(x1)<f(x2),則f(x)在D上是增函數(shù);②都有f(x1
)>f(x2),則f(x)在D上是減函數(shù);若f(x)在D上是增函數(shù)或減函數(shù),D稱為單調(diào)區(qū)間則f(x)在D上具有嚴(yán)格的單調(diào)性?!編煛颗袛嗪瘮?shù)單調(diào)性有哪些方法?【生】思考交流?!景逖?PPT】①定義法;
②圖象法;
③已知函數(shù)以前,我們主要采用定義法去判斷函數(shù)的單調(diào)性.在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下,比較f(x1)與f(x2)的大小并不容易.
如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.讓學(xué)生自由發(fā)言,教師不急于下結(jié)論,而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生:欲知結(jié)論怎樣,讓我們一起來觀察、研探?!驹O(shè)計意圖】自然進(jìn)入課題內(nèi)容。二、新知探究1、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系【合作探究】探究1
函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系【師】請同學(xué)們思考高臺跳水運動員高度函數(shù)與速度函數(shù)之間的關(guān)系?【板演/PPT】下圖(1)表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象,圖(2)表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象.【活動】思考交流。探究2:運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?①運動員從起跳到最高點,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)是增函數(shù).相應(yīng)地,
②從最高點到入水,運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少,即h(t)是減函數(shù).相應(yīng)地,【思考】以上情況是否具有一般性呢?觀察下面函數(shù)的圖像(圖1.3-3),探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系.如圖
1.3-3,導(dǎo)數(shù)f'(x0)表示函數(shù)f(x)在(x0,y0)點處的切線的斜率.【結(jié)論】一般地,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.探究3:如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)有什么特征?【提示】特別的,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù).探究4:求解函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.2、例題講解例1.已知導(dǎo)函數(shù)f'(x)的下列信息:當(dāng)時,1<x<4,f'(x)>0:;試畫出函數(shù)y=f(x)圖像的大致形狀.如圖1.3-4【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過此題加深理解導(dǎo)函數(shù)是如何影響原函數(shù)的。這是今后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的必備技能。這里讓學(xué)生切實理解,為今后學(xué)習(xí)掃清障礙!例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間.因此,在R上單調(diào)遞增,如圖1.3-5(1)所示.?、函數(shù)的圖像如圖1.3-5(2)所示.函數(shù)的圖像如圖1.3-5(4)所示.注:(3)、(4)生練總結(jié)提升根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性步驟:1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.解不等式f′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間;
解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.【設(shè)計意圖】學(xué)會如何用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間,同時再次驗證用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)與圖像求導(dǎo)的結(jié)果的一致性!
例3.如圖1.3-6,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像.分析:以容器(2)為例,由于容器上細(xì)下粗,所以水以常速注入時,開始階段高度增加得慢,以后高度增加得越來越快.反映在圖像上,(A)符合上述變化情況.同理可知其它三種容器的情況.解析:思考:例3表明,通過函數(shù)圖像,不僅可以看出函數(shù)的增減,還可以看出其變化的快慢.結(jié)合圖像,你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎?
一般的,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快,這時,函數(shù)的圖像就比較“陡峭”;反之,函數(shù)的圖像就“平緩”一些.如圖1.3-7所示,函數(shù)圖像“陡峭”?三、復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置1、課堂練習(xí)1.函數(shù)y=3x-x3的單調(diào)增區(qū)間是
(
)
(A)(0,+∞)
(B)(-∞,-1)
(C)(-1,1)
(D)(1,+∞)【設(shè)計意圖】應(yīng)用新知識解決之前不能解決的問題。從中掌握如何具體的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題。①從算法角度明確如何操作,更清晰,易掌握②滲透算法思想,多題歸一思想,提高學(xué)習(xí)效率③培養(yǎng)解題后反思意識2.設(shè)f(x)=x+(x<0),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是
(
)
(A)(-∞,-2)
(B)(-2,0)
(C)(-∞,-
)
(D)(-,0)3.函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(0,1)上是
(
)
(A)單調(diào)增函數(shù)
(B)單調(diào)減函數(shù)
(C)在(0,)上是減函數(shù),在(
,1)上是增函數(shù)
(D)在(,1)上是減函數(shù),在(0,)上是增函數(shù)4.函數(shù)y=x2(x+3)的減區(qū)間是
___________,增區(qū)間是
___________
.5.函數(shù)f(x)=cos2x的單調(diào)區(qū)間是
__________
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