備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題 第16講 古典概型與幾何概型

第十六講古典概型與幾何概型A組選擇題從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)是0的概率為（）A．B． C． D．【答案】：D【解析】：根據(jù)計(jì)數(shù)原理，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)共有個(gè)，其中個(gè)位數(shù)是0的兩位數(shù)有個(gè)，因此由古典概型可知個(gè)位數(shù)是0的概率。2、鍋中煮有芝麻餡湯圓個(gè)，花生餡湯圓個(gè)，豆沙餡湯圓個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到個(gè)的概率為（）A． B． C． D．【答案】：C【解析】：本題考察古典概型。由題目條件可知總的舀法為：，而所求事件可分為三類，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓，豆沙餡湯圓取得個(gè)數(shù)分別按1，1，2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率。3、如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作兩個(gè)半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A．1－ B.eq\f(1,2)－C. D.【答案】：A【解析】：本題考察幾何概型以及面積的相關(guān)計(jì)算。如圖設(shè)陰影部分兩塊的面積分別為，，OA＝R，則，=，故而所求概率。4、（2016重慶二診理5）在區(qū)間[1，4]上任取兩個(gè)數(shù)，則所取兩個(gè)數(shù)的和大于3的概率為（）A.B.C.D.【答案】：D【解析】：在區(qū)間[1，4]上任取兩個(gè)數(shù)記作（x，y），則基本事件構(gòu)成集合，面積，滿足條件的事件，如圖陰影面積；故所求概率。二、填空題從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七個(gè)不同的數(shù)則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為_(kāi)__________。【答案】：【解析】：從0到9十個(gè)數(shù)字中任取七個(gè)不同的數(shù)有種取法，要使七個(gè)數(shù)字的中位數(shù)是6，則6，7，8，9必須取，然后再?gòu)?，1，2，3，4，5中任取3個(gè)數(shù)字，有種取法，故所求概率。6、投擲兩顆骰子，其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為。【答案】：eq\f(1,6)【解析】：投擲兩顆骰子，共向上的點(diǎn)數(shù)m、n，用(m，n)記錄基本事件，則基本事件構(gòu)成集合。因?yàn)?，則它為實(shí)數(shù)的等價(jià)條件是，又m、n均為正整數(shù)，從而m＝n。故所求事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)基本事件共6個(gè)，Ω中共有36個(gè)基本事件，則P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)。7、已知正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是。【答案】：eq\f(π,6)【解析】：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積，內(nèi)切球的體積為，故點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率為。8、若區(qū)域，在區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的概率是________。【答案】：eq\f(1,2)【解析】：本題考察幾何概型及線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用。如圖，區(qū)域M是以(－2，0)，(2，0)，(0，－2)，(0，2)為頂點(diǎn)的正方形，其中滿足的是直線y＝x和y＝－x所夾的如圖所示的陰影部分，顯然陰影部分的面積恰好是區(qū)域M面積的一半，故所求的概率為eq\f(1,2)。三、解答題9、某校高三有5名同學(xué)報(bào)名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報(bào)一所高校。求這三所高校中每個(gè)學(xué)校都至少有一名同學(xué)報(bào)考的概率。【答案】：【解析】：因?yàn)槊棵麑W(xué)生都有3種報(bào)考方法，所以5名同學(xué)報(bào)名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試的報(bào)考方法總數(shù)為種。三所高校中每個(gè)學(xué)校都至少有一名同學(xué)報(bào)考有兩種情形：（1）三所學(xué)校報(bào)名人數(shù)為3，1，1，共有種； （2）三所學(xué)校報(bào)名人數(shù)為2，2，1，共有種；所以三所高校中每個(gè)學(xué)校都至少有一名同學(xué)報(bào)考的方法總數(shù)為60+90=150種，故所求概率。10、某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；（2）日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人，根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.【解析】：本題考查統(tǒng)計(jì)中的莖葉圖、樣本均值、用樣本估計(jì)總體、古典概型等知識(shí)，除應(yīng)用頻率估算概率外，還特別要注意基本公式的應(yīng)用.（1）樣本均值；（2）樣本中優(yōu)秀工人為2名，頻率為，由此估計(jì)該車間12名工人中有名優(yōu)秀工人；（3）由于12名工人中有4名優(yōu)秀工人，任取2人恰有1名優(yōu)秀工人的概率。B組一、選擇題1、某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒(méi)有被排在一起的概率為（）A． B．C．D．【答案】：B【解析】：10位同學(xué)參賽演講順序共有種；一班有3位同學(xué)恰好被排在一起有種方法；將一班的同學(xué)捆在一起與其他的5位同學(xué)共6個(gè)對(duì)象排成一列有種方法；二班的2位同學(xué)插入以上6個(gè)對(duì)象所形成的7個(gè)間隙有種方法；根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理：一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒(méi)有被排在一起共有種方法；故所求概率。2、10張獎(jiǎng)券中只有3張有獎(jiǎng)，5個(gè)人購(gòu)買，至少有1人中獎(jiǎng)的概率是（）A.B.C.D.【答案】：D【解析】：方法一（直接法）：本題考察古典概型。由題意知試驗(yàn)所包含的所有基本事件數(shù)為，至少有一人中獎(jiǎng)包括：一人中獎(jiǎng)，兩人中獎(jiǎng)，三人中獎(jiǎng)，其基本事件數(shù)為。則所求概率。方法二（正難則反）：所求事件的對(duì)立事件是沒(méi)有人中獎(jiǎng)，其基本事件數(shù)為。則至少有1人中獎(jiǎng)的概率。3、已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=（）A.B.C.D.【答案】：D【解析】：本題的關(guān)鍵是找出使△APB的最大邊是AB的臨界條件。如圖，在矩形ABCD中，以AB為半徑作圓交CD分別于E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足題設(shè)要求，所以E、F為CD的四等分點(diǎn)，設(shè)，則在直角三角形ADF中，，所以。4、（2016全國(guó)卷12）從區(qū)間隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)構(gòu)成個(gè)數(shù)對(duì)其中兩數(shù)的平方和小于的數(shù)共有個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）B.C.D.【答案】：C【解析】：由題意得在如圖所示方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影部分中，由幾何概型知；故而有，即。二、填空題5、某輕軌列車有4節(jié)車廂，現(xiàn)有6位乘客準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂是等可能的，則這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為。【答案】：【解析】:6位乘客進(jìn)入車廂的方案共有種，6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的方案有種，從而所求概率。6、在區(qū)間[-3，3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x+1|-|x-2|1成立的概率為_(kāi)_________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚涸O(shè)，則；由，解得，即當(dāng)時(shí)，；由幾何概型公式得所求概率為。7、連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，設(shè)向量與向量的夾角為θ，則的概率是________?！敬鸢浮浚篹q\f(7,12)【解析】：由題目條件可，因?yàn)?，則有。滿足條件的概率，顯然的概率與的概率相等，從而的概率為，因此滿足的概率為。8、已知關(guān)于x的二次函數(shù)。設(shè)集合P＝{－1，1，2，3，4，5}，Q＝{－2，－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中任取一個(gè)數(shù)作為a和b的值，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為_(kāi)_______。【答案】：【解析】：拋物線的對(duì)稱軸為。因?yàn)閥＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，則有且，即且。①若a＝1，則b＝－2，－1；②若a＝2，則b＝－2，－1，1；③若a＝3，則b＝－2，－1，1；④若a＝4，則b＝－2，－1，1，2；⑤若a＝5，則b＝－2，－1，1，2，從而該事件包含基本事件數(shù)為16，所有基本事件數(shù)為6×6=36；因此所求概率。三、解答題9、一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共n()個(gè)，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是．現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球．（1）若n=15，且摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是，設(shè)表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)n取何值時(shí)，摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率最大，最大概率為多少?【解析】：（1）設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為(個(gè))，記“從袋中任意摸出一個(gè)球，得到黑球”為事件A，則，解得；設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為(個(gè))，記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件B，則，化簡(jiǎn)得，解得或(舍)．從而紅球的個(gè)數(shù)為(個(gè))．故隨機(jī)變量的取值為0，1，2，分布列是012的數(shù)學(xué)期望．（2）設(shè)袋中有黑球個(gè)，則…）設(shè)“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)黑球”為事件C，則；當(dāng)時(shí)，最大，最大值為。10、某市公租房房屋位于A.B.C三個(gè)地區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房屋，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中:（Ⅰ）若有2人申請(qǐng)A片區(qū)房屋的概率;（Ⅱ）申請(qǐng)的房屋在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望。【解析】：（Ⅰ）所有可能的申請(qǐng)方式有種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式有種，從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為。（Ⅱ）的所有可能值為1，2，3。，，綜上知，的分布列為：123從而有C組一、選擇題1、節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈在4秒內(nèi)為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是()A.B.C.D.【答案】：C【解析】：由于兩串彩燈第一次閃亮相互獨(dú)立且在通電后4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，所以總的基本事件為如圖所示的正方形的面積，而要求的是第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的基本事件為如圖所示的陰影部分的面積。如圖所示，根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式可知它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是。2、在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（

）A.

B.C.D.【答案】：D【解析】：因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，其通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)，展開(kāi)式的9項(xiàng)全排列為種，所有的有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無(wú)理項(xiàng)全排，把3個(gè)有理項(xiàng)插入形成的7個(gè)空中，有，所以有理項(xiàng)互不相鄰的概率為。3、以平行六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為（）A． B． C． D．【答案】：A【解析】：已平行六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形共有個(gè)，從中取出兩個(gè)三角形共有種，其中兩個(gè)三角形共面的結(jié)果有種，故兩個(gè)三角形不共面的概率。4、向邊長(zhǎng)分別為的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)M，則該點(diǎn)M與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的概率為（

）A．B.C.D.【答案】：A【解析】：設(shè)△ABC的三邊AB=5，BC=6，AC=，根據(jù)余弦定理可得，，則，所以△ABC的面積；而在△ABC的內(nèi)部且離點(diǎn)A距離小于等于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為，同理可得在△ABC的內(nèi)部且離點(diǎn)B、C距離小于等于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積分別為，，所以在△ABC內(nèi)部，且與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于1的平面區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為。二、填空題5、連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m、n，向量與向量的夾角記為，則的概率為。【答案】：【解析】：連續(xù)投擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)m、n，構(gòu)成的向量，共有36個(gè)，因?yàn)榕c的夾角，則，即，從而有n<m；又滿足要求的向量有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(51)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)共15個(gè)，故所求概率。6、某中學(xué)早上8點(diǎn)開(kāi)始上課，若學(xué)生小張與小王均在早上7:40至8:00之間到校，且兩人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校都是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚涸O(shè)設(shè)小張到校的時(shí)間為x，小王到校的時(shí)間為y。(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槭且粋€(gè)矩形區(qū)域，對(duì)應(yīng)的面積S=20×20=400；則小張比小王至少早5分鐘到校事件作出符合題意的圖象，如圖，符合題意的區(qū)域?yàn)椤鰽BC，聯(lián)立解得C(55，60)；聯(lián)立得B(40，35)，則，由幾何概率模型可知小張比小王至少早5分鐘到校的概率。7、某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為_(kāi)_________(用數(shù)字作答)?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚夯臼录倲?shù)為，事件“相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課”所包含的基本事件可分為三類：第一類：三節(jié)藝術(shù)課各不相鄰有；第二類：有兩節(jié)藝術(shù)課相鄰有；第三類：三節(jié)藝術(shù)課相鄰有.由古典概型概率公式得所求概率為。8、已知平面區(qū)域，直線和曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直線與曲線C圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。【答案】：[0，1]【解析】：如圖，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過(guò)定點(diǎn)(?2，0)，平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的上半圓，直線過(guò)(?2，0)，(0，2)時(shí)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為，此時(shí)，當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，；故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1]。三、解答題9、美國(guó)次貸危機(jī)引發(fā)2008年全球金融動(dòng)蕩，波及中國(guó)股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之際“抄底”.若四人商定在圈定的6只股票中各自隨機(jī)購(gòu)買一只（假定購(gòu)買時(shí)每支股票的基本情況完全相同）。（Ⅰ）求甲、乙、丙、丁四人恰好買到同一只股票的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙、丁四人中至多有兩人買到同一只股票的概率；（Ⅲ）由于國(guó)家采取了積極的救市措施，股市漸趨“回暖”。若某人今天按上一交易日的收盤(pán)價(jià)20元/股，買入某只股票1000股（10手），且預(yù)計(jì)今天收盤(pán)時(shí)，該只股票比上一交易日的收盤(pán)價(jià)上漲10%（漲停）的概率為0.6，持平的概率為0.2，否則將下跌10%（跌停），求此人今天獲利的數(shù)學(xué)期望（不考慮傭金，印花稅等交易費(fèi)用）?！窘馕觥浚海?）四人恰好買到同一只股票的概率；（2）（方法1）四人中有兩人買到同一只股票的概率；四人中每人買到不同的股票的概率；所以四人中至多有兩人買到同一只股票的概率（方法2）四人中有三人恰好買到同一只股票的概率所以四