人教版八年級數(shù)學(xué)上冊分式專題探究

人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十五章分式專題探究分式條件求值歸一代入法例：已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝3，求eq\f(5a＋7ab＋5b,a－6ab＋b)的值．解：由已知條件eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝3，得a＋b＝3ab.對待求式進(jìn)行變形，得eq\f(5a＋7ab＋5b,a－6ab＋b)＝eq\f(5（a＋b）＋7ab,a＋b－6ab).將a＋b視為一個整體，代入得eq\f(5a＋7ab＋5b,a－6ab＋b)＝eq\f(5×3ab＋7ab,3ab－6ab)＝eq\f(22ab,－3ab)＝－eq\f(22,3).整體代入法例：已知a2－a＋1＝2，求eq\f(2,a2－a)＋a－a2的值．解：由條件式得a2－a＝1，故原式＝eq\f(2,a2－a)－(a2－a)＝eq\f(2,1)－1＝1.3.設(shè)輔助元代入法例：已知eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)，求eq\f(3a－2b＋5c,a＋b＋c)的值．解：令eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k.∴原式＝eq\f(3×2k－2×3k＋5×4k,2k＋3k＋4k)＝eq\f(20k,9k)＝eq\f(20,9).4.構(gòu)造互倒式代入法例：已知m2＋eq\f(1,m2)＝4，求m＋eq\f(1,m)和m－eq\f(1,m)的值．解：在m2＋eq\f(1,m2)＝4的兩邊都加上2，得(m＋eq\f(1,m))2＝6，故m＋eq\f(1,m)＝±eq\r(6).同理(兩邊都減2)，可得m－eq\f(1,m)＝±eq\r(2).5.主元法例：已知3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求eq\f(x2＋y2＋z2,xy＋yz＋2xz)的值．解：以x、y為主元，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－z＝0，,2x＋y－8z＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3z，,y＝2z.))∴原式＝eq\f(（3z）2＋（2z）2＋z2,3z·2z＋2z·z＋2×3z·z)＝eq\f(14z2,14z2)＝16.倒數(shù)法例：已知x＋eq\f(1,x)＝3，求eq\f(x2,x4＋x2＋1)的值．解：∵eq\f(x4＋x2＋1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－1＝32－1＝8，∴eq\f(x2,x4＋x2＋1)＝eq\f(1,8).分式條件求值的對應(yīng)訓(xùn)練：1.已知eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝5，求eq\f(3x＋5xy－3y,y－3xy－x)的值．2.已知a＋b＋c＝0，求c(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＋b(eq\f(1,c)＋eq\f(1,a))＋a(eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))的值．3.已知eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(3x＋y＋z,y)的值．4.若x＋eq\f(1,x)＝3，求x2＋eq\f(1,x2)的值．5.若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0(xyz≠0)，求代數(shù)式eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．6.已知三個數(shù)x、y、z滿足eq\f(xy,x＋y)＝－2，eq\f(yz,y＋z)＝eq\f(4,3)，eq\f(zx,z＋x)＝－eq\f(4,3).求eq\f(xyz,xy＋yz＋zx)的值．巧用分式方程的解求值1.利用分式方程解的定義求字母的值例：已知關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)與分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．解：解分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)，得x＝3.將x＝3代入eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)，得eq\f(2,7)＝eq\f(m,3)，解得m＝eq\f(6,7).∴m2－2m＝(eq\f(6,7))2－2×eq\f(6,7)＝－eq\f(48,49).2.利用分式方程有(無)解求字母的值例：若關(guān)于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范圍．解：去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m不能為增根．又∵原方程若有增根，則增根為x＝3，∴4－m≠3.解得m≠1.∴當(dāng)m≠1時，原分式方程有解．利用分式方程有增根求字母的值例：當(dāng)m為何值時，分式方程eq\f(m,x＋1)－eq\f(2,x－1)＝eq\f(3,x2－1)會產(chǎn)生增根？解：去分母并整理，得(m－2)x＝5＋m，假設(shè)產(chǎn)生增根x＝1，則有m－2＝5＋m，方程無解，∴不存在m的值，使原方程產(chǎn)生增根x＝1；假設(shè)產(chǎn)生增根x＝－1，則有2－m＝5＋m，解得m＝－eq\f(3,2).∴當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時，分式方程eq\f(m,x＋1)－eq\f(2,x－1)＝eq\f(3,x2－1)產(chǎn)生增根．4.利用分式方程解的正負(fù)性求字母的值例：若關(guān)于x的分式方程eq\f(x,x－2)＝2－eq\f(m,2－x)的解為正數(shù)，求滿足條件的正整數(shù)m的值．解：原方程可化為x＝2(x－2)＋m，∴x＝4－m，∵方程解為正數(shù)，∴4－m＞0，解得m＜4，∴正整數(shù)m可取1、2、3.又∵方程的解不能是增根，∴4－m≠2，∴m≠2，∴正整數(shù)m只能取1、3.巧用分式方程的解求值的對應(yīng)訓(xùn)練：1.已知關(guān)于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)無解，求m的值．2.當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程eq\f(x＋1,x－2)－eq\f(x,x＋3)＝eq\f(x＋a,（x－2）（x＋3）)的解為負(fù)數(shù)？分式方程應(yīng)用題的常見類型1.工程問題例：一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費102000元；如果甲、乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用的時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元．(1)甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？(2)若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？解：(1)設(shè)甲公司單獨完成此項工程需x天，則乙公司單獨完成此項工程需1.5x天．根據(jù)題意，得eq\f(1,x)＋eq\f(1,1.5x)＝eq\f(1,12)，解得x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是方程的解且符合題意．1．5x＝30.答：甲公司單獨完成此項工程需20天，乙公司需30天．(2)設(shè)甲公司每天的施工費為y元，則乙公司每天的施工費為(y－1500)元，根據(jù)題意，得12(y＋y－1500)＝102000，解得y＝5000.甲公司單獨完成此項工程所需的施工費為20×5000＝100000(元)；乙公司單獨完成此項工程所需的施工費為30×(5000－1500)＝105000(元)．∴甲公司的施工費較少．行程問題例：甲、乙兩同學(xué)與學(xué)校的距離均為3000米，甲同學(xué)先步行600米然后乘公交車去學(xué)校，乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校．已知甲步行的速度是乙騎自行車速度的eq\f(1,2)，公交車速度是乙騎自行車速度的2倍．甲乙兩同學(xué)同時從家出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)早到2分鐘．(1)求乙騎自行車的速度．(2)當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？解：(1)設(shè)乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是eq\f(1,2)x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意，得eq\f(600,\f(1,2)x)＋eq\f(3000－600,2x)＝eq\f(3000,x)－2，解得x＝300.經(jīng)檢驗，x＝300是方程的解．答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘．(2)300×2＝600(米)．答：當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)離學(xué)校還有600米．銷售問題例：金獅中學(xué)開學(xué)初在金利源商場購進(jìn)A、B兩種品牌足球，購買A品牌足球花費了2500元，購買B品牌足球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元．(1)求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元；(2)金獅中學(xué)為響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，決定再次購進(jìn)A、B兩種品牌足球共50個．恰逢金利源商場對兩種品牌足球的售價進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌足球按第一次購買時售價的9折出售．如果這所中學(xué)此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3260元，那么金獅中學(xué)此次最多可購買多少個B品牌足球？解：(1)設(shè)購買一個A品牌足球需x元，則購買一個B品牌足球需(x＋30)元，根據(jù)題意，得eq\f(2500,x)＝eq\f(2000,x＋30)×2，解得x＝50.經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解．則x＋30＝80.答：購買一個A品牌足球需50元，購買一個B品牌足球需80元．(2)設(shè)本次購買a個B品牌足球，則購進(jìn)A品牌足球(50－a)個，根據(jù)題意，得50×(1＋8%)(50－a)＋80×0.9a≤3260，解得a≤31eq\f(1,9).∵a取正整數(shù)，∴a最大值為31.答：此次金獅中學(xué)最多可購買31個B品牌足球．分式方程應(yīng)用題的常見類型對應(yīng)訓(xùn)練：1.甲、乙兩名學(xué)生練習(xí)計算機(jī)打字，甲打一篇1000字的文章與乙打一篇900字的文章所用的時間相同．已知甲每分鐘比乙每分鐘多打5個字，問：甲、乙兩人每分鐘各打多少個字？2.某工程隊修建一條1200m的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．(1)求這個工程隊原計劃每天修建道路多少米？(2)在這項工程中，如果要求工程隊提前兩天完成任務(wù)，那么實際平均每天修建道路的工效比原計劃增加百分之幾？3.從貴陽到廣州，乘特快列車的行程約為1800km，高鐵開通后，高鐵列車的行程約為860km，運行時間比特快列車所用的時間減少了16h．若高鐵列車的平均速度是特快列車平均速度的2.5倍，求特快列車的平均速度．4.某學(xué)校后勤人員到一家文具店給九年級的同學(xué)購買考試用的文具包，文具店規(guī)定一次購買400個以上，可享受8折優(yōu)惠．若給九年級學(xué)生每