考點28解直角三角形（含三角函數(shù)及應(yīng)用）問題

考點28解直角三角形問題課標對考點的要求對解直角三角形問題，中考命題需要滿足下列要求：（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角。（3）能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。重要考點知識解讀一、勾股定理和勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。二、直角三角形的判定及性質(zhì)1.直角三角形的判定(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形；(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形；(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形；(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形。2.直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、各種銳角三角函數(shù)的定義1．正弦：在△ABC中，∠C=90°把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)。2．余弦：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)。3．正切：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)。四、解直角三角形問題類型1．解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2．解直角三角形的理論依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：3.解直角三角形類型總結(jié)表格類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tanA=，∠B=90°-∠A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，∠B=90°-∠A一邊一銳角一直角邊a，銳角A∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA五、仰角、俯角、坡度1．仰角：視線在水平線上方的角；2．俯角：視線在水平線下方的角。3．坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。六、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=七、銳角三角函數(shù)的增減性當角度在0°~90°之間變化時，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?）余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅┲匾獑栴}解題思維方法總結(jié)特殊值的三角函數(shù)三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10中考典例解析【例題1】（2021云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解析】利用三角函數(shù)定義計算出BC的長，然后再利用勾股定理計算出AB長即可．∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握正弦定義．【例題2】（2021福建）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得．據(jù)此，可求得學校與工廠之間的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個銳角，求斜邊的長．，．【點睛】本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵．【例題3】（2021山東東營）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科學計算器求AC的長，則下列按鍵順序正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得tan∠B＝，根據(jù)計算器的應(yīng)用，可得答案．在△ABC中，因為∠C＝90°，所以tan∠B＝，因為∠B＝42°，BC＝8，所以AC＝BC?tanB＝8×tan42°．【例題4】（2021甘肅威武定西平?jīng)觯┤鐖D1是平?jīng)鍪械貥私ㄖ按竺鲗毸?，始建于明嘉靖十四年?535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實踐活動，具體過程如下：方案設(shè)計：如圖2，寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A，B兩處分別測得∠CAD和∠CBD的度數(shù)（A，D，B在同一條直線上）．數(shù)據(jù)收集：通過實地測量：地面上A，B兩點的距離為58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．問題解決：求寶塔CD的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈，sin58°≈，cos58°≈，tan58°≈．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．【答案】見解析?！窘馕觥吭O(shè)設(shè)CD＝xcm，在Rt△ACD中，可得出AD＝，在Rt△ACD中,BD＝，再由AD+BD＝AB,列式計算即可得出答案．解：設(shè)CD＝xcm，在Rt△ACD中，AD＝,在Rt△ACD中,BD＝,∵AD+BD＝AB,∴,解得，x≈．答：寶塔的高度約為m．考點問題綜合訓練一、選擇題1．（2021重慶）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：，坡頂D到BC的垂直距離DE＝50米（點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點D處測得建筑物頂A點的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈；cos50°≈；tan50°≈）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：，求出CE的長，從而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的長．解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50米，∴CE＝120米，∵BC＝150米，∴BE＝150﹣120＝30米，∴AB＝tan50°×30+50＝米．2.（2020?陜西）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．由勾股定理得：AC，∵S△ABC＝3×3，∴，∴13?BD=7∴BD3.（2020?涼山州）如圖所示，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值為（）A． B． C．2 D．2【答案】A【解析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanA的值．如圖，連接BD，由網(wǎng)格的特點可得，BD⊥AC，AD22，BD，∴tanA4.（2020?揚州）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則sin∠ADC的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．如圖，連接BC．∵∠ADC和∠ABC所對的弧長都是AC，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC，∵AC＝2，BC＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴sin∠ADC．5．（2020?重慶）如圖，在距某居民樓AB樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：，山坡坡底C點到坡頂D點的距離CD＝45m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈，cos28°≈，tan28°≈）（）A．m B．m C．m D．m【答案】B【解析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計算出DE、EC、BE、DF、AF，進而求出AB．如圖，由題意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：，∴，設(shè)DE＝4x，則EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈×87≈，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈6.（2021山東威海）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器計算sin3618＇，按鍵順序正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)計算器按鍵順序計算即可．根據(jù)計算器的按鍵順序可知，正確的按鍵順序為D選項．【點睛】本題主要考查用計算器計算三角函數(shù)值，熟悉計算器的按鍵順序是解題的關(guān)鍵．7．（2021山東煙臺）如圖所示，若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序及結(jié)果如下：按鍵的結(jié)果為m；按鍵的結(jié)果為n；按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【解析】分別計算出m，n，k的值即可得出答案．m＝23﹣＝8﹣4＝4；n＝﹣22＝4﹣4＝0；k＝﹣cos60°＝﹣＝4；∴m＝k二、填空題1．（2021大連）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為57°，觀測旗桿底部B的仰角為50°，則旗桿AB的高度為________（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈；sin57°≈，cos57°≈，tan57°≈）【答案】旗桿AB的高度約為7m．【解析】在Rt△BCD中，由銳角三角函數(shù)定義求得BC的長，再在Rt△ACD中，由銳角三角函數(shù)定義求得AC的長，即可解決問題．在Rt△BCD中，tan∠BDC，∴BC＝CD?tan∠BDC＝20×tan50°≈20×＝（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC，∴AC＝CD?tan∠ADC＝20×tan57°≈20×＝（m），∴AB＝AC﹣BC＝﹣≈7（m）．答：旗桿AB的高度約為7m．2．（2021湖北黃岡）如圖，建筑物BC上有一高為8m的旗桿AB，從D處觀測旗桿頂部A的仰角為53°，則建筑物BC的高約為m（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53≈）【答案】．【解析】根據(jù)正切的定義列出關(guān)于x的方程，解方程即可．在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，則BC＝CD，設(shè)BC＝CD＝x，則AC＝x+8，在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，則x+8＝x?tan53°，∴x+8＝x，∴x≈（m），故建筑物BC的高約為m，故答案為：．3．（2021廣西貴港）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝，則tan∠DEC的值是．【答案】．【解析】過點C作CF⊥BD于點F，設(shè)CD＝2a，易證△ABE≌△CDF（AAS），從而可求出AE＝CF＝a，BE＝FD＝1，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖，過點C作CF⊥BD于點F，設(shè)CD＝2a，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，∴∠ADB＝∠BAE＝30°，∴AE＝CF＝a，BE＝FD＝a，∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4a，∴EF＝4a﹣2a＝2a，∴tan∠DEC＝＝，故答案為：．4．（2020?湘潭）計算：sin45°＝．【答案】．【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°．5．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊的中點，連接CD，若BC＝4，CD＝3，則cos∠DCB的值為．【答案】．【解析】過點D作DE⊥BC，垂足為E，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，又∵點D為AB邊的中點，∴BE＝ECBC＝2，在Rt△DCE中，cos∠DCB6．（2020?泰安）如圖，某校教學樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學校決定對該斜坡進行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡．如果改造時保持坡腳A不動，則坡頂B沿BC至少向右移m時，才能確保山體不滑坡．（取tan50°＝）【答案】10．【分析】在BC上取點F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根據(jù)坡度的概念求出BE、AE，根據(jù)正切的定義求出AH，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】在BC上取點F，使∠FAE＝50°，過點F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，F(xiàn)H⊥AD，∴四邊形BEHF為矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比為12：5，∴，設(shè)BE＝12x，則AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH，∴AH20，∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡頂B沿BC至少向右移10m時，才能確保山體不滑坡.7．（2022北京模擬）如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cos（α+β）＝．【答案】．【解析】給圖中各點標上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°結(jié)合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的長，再結(jié)合余弦的定義即可求出cos（α+β）的值．解：給圖中各點標上字母，連接DE，如圖所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．【點評】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及規(guī)律型：圖形的變化類，構(gòu)造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題1．（2021廣東?。┤珙}圖，在中，，作的垂直平分線交于點，延長至點，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．【答案】見解析。【解析】（1）如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點， 為垂直平分線，，，，．（2）設(shè)，，又，，在中，．．2．(2021貴州貴陽)隨著科學技術(shù)的不斷進步，無人機被廣泛應(yīng)用到實際生活中，小星利用無人機來測量廣場B，C兩點之間的距離．如圖所示，小星站在廣場的B處遙控無人機，無人機在A處距離地面的飛行高度是m，此時從無人機測得廣場C處的俯角為63°，他抬頭仰視無人機時，仰角為α，若小星的身高BE＝m，EA＝50m（點A，E，B，C在同一平面內(nèi)）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C兩點之間的距離（結(jié)果精確到1m）．（sin63°≈，cos63°≈，tan63°≈，sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈）【答案】見解析。【解析】（1）如圖，過A點作AD⊥BC于D，過E點作EF⊥AD于F，利用四邊形BDFE為矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝m，則AF＝40m，然后根據(jù)正切的定義求解；（2）先利用勾股定理計算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定義計算出CD，然后計算BD+CD即可．解：（1）如圖，過A點作AD⊥BC于D，過E點作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四邊形BDFE為矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝m，∴AF＝AD﹣DF＝﹣＝40（m），在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，即sinα＝．答：仰角α的正弦值為；（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝，∵tan∠ACD＝，∴CD＝＝≈（m），∴BC＝BD+CD＝≈51（m）．答：B，C兩點之間的距離約為51m．3.（2021黑龍江大慶）小明在點測得點在點的北偏西方向，并由點向南偏西方向行走到達點測得點在點的北偏西方向，繼續(xù)向正西方向行走后到達點，測得點在點的北偏東方向，求兩點之間的距離．（結(jié)果保留，參數(shù)數(shù)據(jù)）【答案】km【解析】根據(jù)題中給出的角度證明△CDB為等腰三角形，得到CB=DB=2，再證明△CBA為30°，60°，90°直角三角形，最后根據(jù)即可求出AC的長．如下圖所示，由題意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，△CDB為等腰三角形，∴CB=DB=2，在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，∴△CBA為直角三角形，又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，∴△CBA為30°，60°，90°直角三角形，∴，代入，∴(km)，故兩點之間的距離為km．【點睛】本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，將題中信息轉(zhuǎn)化成已知條件，本題中得出△CDB為等腰三角形是解題的關(guān)鍵．4.（2021湖南益陽）“2021湖南紅色文化旅游節(jié)﹣﹣重走青年毛澤東游學社會調(diào)查之路”啟動儀式于4月29日在安化縣梅城鎮(zhèn)舉行，該鎮(zhèn)南面山坡上有一座寶塔，一群愛好數(shù)學的學生在研學之余對該寶塔的高度進行了測量．如圖所示，在山坡上的A點測得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔頂D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求寶塔BD的高（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin13°≈，cos13°≈，tan13°≈，sin38°≈，cos38°≈，tan38°≈）【答案】27米．【解析】要求BD的長，由題意知可先求出BC、CD的長．再利用BD＝CD﹣BC求出BD的長．解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，∴BC＝AB?sin∠BAC＝AB?sin13°≈50×＝11（米）；AC＝AB?cos∠BAC＝AB?cos13°≈50×＝（米）；在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，∴CD＝AC?tan∠DAC＝AC?tan38°≈×﹣（米）；∴BD＝CD﹣BC≈﹣11＝≈27（米），答：寶塔BD的高約為27米．5.（2020?荊門）如圖，海島B在海島A的北偏東30方向，且與海島A相距20海里，一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時的速度沿北偏東75°方向航行，同時一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時后，快艇到達C處，此時漁船恰好到達快艇正北方向的E處．（1）求∠ABE的度數(shù)；（2）求快艇的速度及C，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈，cos15°≈，tan15°≈，）【答案】見解析?！痉治觥浚?）過點B作BD⊥AC于點D，作BF⊥CE于點E，由平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，則可得出答案；（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，證明四邊形BDCF為矩形，得出DC，F(xiàn)C，求出CE的長，則可得出答案．【解析】（1）過點B作BD⊥AC于點D，作BF⊥CE于點E，由題意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，∴EF＝BE×sin15°≈10×＝（海里），BF＝BE×cos15°≈10×＝（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，∴AD＝AB×sin30°＝2010（海里），BD＝AB×cos30°＝×＝，∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四邊形BDCF為矩形，∴DC＝BF﹣，F(xiàn)C＝BD＝，∴AC＝AD+DC＝＝，CE＝EF+CF＝＝，設(shè)快艇的速度為v，則v（海里/小時）．答：快艇的速度為海里/小時，C，E之間的距離為海里．6．（2020?岳陽）共抓長江大保護，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項目，需要從如圖A，B兩地向C地新建AC，BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得C地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距離為7km，求新建管道的總長度．（結(jié)果精確到km，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，）【答案】見解析?！窘馕觥咳鐖D，過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)題意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD，∴，∴CD＝2，∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，∴AC＝2，BC，∴AC+BC≈≈（km）．答：新建管道的總長度約為km．7．（2021四川涼山）王剛同學在學習了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試利用所學知識測量河對岸大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為30°（點E、C、B在同一水平線上）．（1）求王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度；（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；（2）過點D作DG⊥AB于點G，設(shè)BC＝x米，用x表示出AG、DG，根據(jù)tan∠ADG＝列出方程，解方程得到答案．解:(1)過點D作DH⊥CE于點H,由題意知CD＝2米,∵斜坡CF的坡比為i＝1：8,∴,設(shè)