材料力學答案5197

第二章軸向拉壓應力與材料的力學性能題2—1圖如圖2—1所示。圖2—12-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸題2-2圖（a)解：由圖2-2a（1)可知,F(x)2qaqxN軸力圖如圖2-2a（2)所示，1圖2-2a（b)解：由圖2—2b(2)可知,()FxFqaN1RN2R2圖2—2b圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm2,載荷F=50kN。試求圖示斜截面m-m上的正應力與切應力,以及桿內的最大正應力與最大切應力。題2-3圖解:該拉桿橫截面上的正應力為50103NσFA1.00108Pa100MPa－650010m2斜截面m—m的方位角α50，故有2cos2α100MPacos2(50)41.3MPa)49.2MPaτσsin2α50MPasin(1002α桿內的最大正應力與最大切應力分別為σσ100MPamaxτσ50MPa2max2—5某材料的應力—應變曲線如圖所示，圖中還同時畫出了低應變區(qū)的詳圖。試b確定材料的彈性模量E、比例極限、屈服極限、強度極限與伸長率，并判斷該材ps料屬于何種類型(塑性或脆性材料）.題2—5解:由題圖可以近似確定所求各量.EΔσ220106Pa220109Pa220GPaΔε0.001σ220MPa,σ240MPaspδ29.7%σ440MPa,b該材料屬于塑性材料。2—7一圓截面桿，材料的應力—應變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d=10mm，桿長l=200mm，桿端承受軸向拉力F=20kN作用，試計算拉力卸去后桿的軸作用時與向變形.F420103N2.5510Pa255MPaσ8Aπ0.010m22σε查上述曲線，知此時的軸向應變?yōu)棣?.00390.39%軸向變形為Δllε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm拉力卸去后，有ε0.00364，ε0.00026ep故殘留軸向變形為Δllε(0.200m)0.000265.2105m0.052mmp2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=32kN,板寬b=100mm,板厚15mm,孔徑d=20mm.試求板件橫截面上的最大拉應力（考慮應力集中）。題2-9圖解：根據(jù)d/b0.020m/(0.100m)0.2查應力集中因數(shù)曲線，得K2.42根據(jù)σ(bd)δ,KσFmaxσnn得KF(bd)δ2.4232103N(0.100－0.020)0.015m2σKσ＝6.45107Pa64.5MPamaxn2—10圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=36kN，板寬b1=90mm,b2=60mm，板厚=10mm,孔徑d=10mm,圓角半徑R=12mm。試求板件橫截面上的最大拉應力（考慮應力集中)。題2-10圖解:1.在圓孔處根據(jù)d0.010m0.1111b0.090m1查圓孔應力集中因數(shù)曲線，得K2.61故有KF12.636103NσKσ1.17108Pa117MPa(0.090－0.010)0.010m2(b－d)δmax1n112．在圓角處根據(jù)b0.090m1.5D1db0.060m2RR0.012m0.2db0.060m2查圓角應力集中因數(shù)曲線，得故有K1.742KF1.7436103N1.0410Pa104MPaσKσ2bδ80.0600.010m2max2n223.結論σ117MPa(在圓孔邊緣處)max2—14圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用.設各桿的橫截面面積均為A，許用應力均為［］，試確定載荷F的許用值［F]。5題2—14圖2FFN2FFN3根據(jù)強度條件,要求2F[]A由此得[]A[F]22—15圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應力為[]。若在節(jié)點B和C的位置保持不變的條件下，試確定使結構重量最輕的值(即確定節(jié)點A的最佳位置)。題2—15圖解:1。求各桿軸力設桿AB和BC的軸力分別為FN1和F,由節(jié)點B的平衡條件求得N2FF，F(xiàn)FctanαsinαN1N22。求重量最輕的值由強度條件得F[σ]sin，AFctanαA[σ]126FlFlctanαFl2[σ]sin2αVAlAl(ctanα)[σ]sinαcosα[σ]1122由得dVdα03cos2α10α由此得使結構體積最小或重量最輕的值為α5444opt2-16圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應力為[]。若節(jié)點A和C間的指定距離為l，為使結構重量最輕,試確定的最佳值。題2-16圖解：1.求各桿軸力由于結構及受載左右對稱，故有FFN1FN22sinθ2。求的最佳值由強度條件可得FAA2[σ]sinθ12結構總體積為FlFlV2Al11[σ]sinθ2cosθ[σ]sin2θ由dV0dθ得cos2θ0由此得佳值為的最θ45opt2—17解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強度，得載荷F的許用值分別為πd2[][F](a)(b)(c)4tπ(D2d2)[]bs[F]4b[F]πdh[]s理想的情況下，[F][F][F]stb在上述條件下，由式（a）與(c）以及式(a）與（b）,分別得4[][]hd[][]D1dbs于是得由此得[][]:1D:h:d1:[]4[]bsD:h:d1.225:0.333:12—18圖示搖臂，承受載荷F1與F2作用。已知載荷F1=50kN，F(xiàn)2=35。4kN，許用切應力[]=100MPa，許用擠壓應力[]=240MPa.試確定軸銷B的直徑d。bs8題2—18圖xBx12By2由此得軸銷處的總支反力為F252252kN35.4kNB2。確定軸銷的直徑由軸銷的剪切強度條件（這里是雙面剪)F2FB[τ]τsAπd2得2F235.410d3m0.015m100106B[τ]由軸銷的擠壓強度條件FFBσ[σ]bddbsbs得F35.4103dδ[σ]0.010240106m0.01475mBbs結論：取軸銷直徑2-19d0.015m15mm。圖示木榫接頭，承受軸向載荷F=50kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應力.題2-19圖解:剪應力與擠壓應力分別為50103N(0.100m)(0.100m)5MPa50103N(0.040m)(0.100m)bs12.5MPa9圖示鉚接接頭，鉚釘與板件的材料相同，許用應力［］=160MPa,許用切應]=120MPa，許用擠壓應力題2—20圖230103N解：最大拉應力為153.3MPamax(0.1700.020)(0.010)(m2)最大擠壓與剪切應力則分別為230103N5(0.020m)(0.010m)230MPabs4230103N146.4MPa5π(0.020m)22—21圖示兩根矩形截面木桿,用兩塊鋼板b=250mm，沿木紋方向的許用拉應力［］=6MPa,許用擠壓應力[]=10MPa，許用切應力[］=1MPa。試確定鋼板的尺寸與l以及木桿的h。連接在一起，承受軸向載荷F=45kN作用。已知木桿的截面寬度高度bs題2-21圖解：由拉伸強度條件Fσb(h2δ)[σ]得45103h2δFb[σ]0.2506106m0.030m(a）由擠壓強度條件Fσbsσ[]bs得F45103δ2b[σ]20.25010106m0.009m9mm（b）bs由剪切強度條件τF[τ]2bl得F45103m0.090m90mm2b[]20.2501106l取δ0.009m代入式（），得ah(0.03020.009)m0.048m48mm結論：取δ9mm，l90mm，h48mm。2—22圖示接頭，承受軸向載荷F作用。已知鉚釘直徑d=20mm，許用應力［］與鉚釘?shù)牟牧舷嗤?=160MPa，許用切應力[]=120MPa，許用擠壓應力[]=340MPa。板件bs試計算接頭的許用載荷。題2—22圖解：1.考慮板件的拉伸強度由圖2—22所示之軸力圖可知,FN1F，F(xiàn)3F/4N2σFN1F[σ](bd)δ1A1F(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kN3F4(b2d)δσFN2[σ]2A2F4(b2d)δ[σ]4(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN33圖2-228s4FτF[τ]sA8πd2F2πd[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN23．考慮鉚釘?shù)臄D壓強度FF4bFF[]d4dbsbbsF4d[σ]40.0150.020340106N4.08105N408kNbs結論：比較以上四個F值,得[F]302kN2-23圖a所示鋼帶AB，用三個直徑與材料均相同的鉚釘與接頭相連接，鋼帶承受軸向載荷F作用。已知載荷F=6kN,帶寬b=40mm，帶厚=2mm，鉚釘直徑d=8mm，孔的邊距a=20mm，鋼帶材料的許用切應力［]=100MPa,許用擠壓應力[bs]=300MPa,許用拉應力[]=160MPa。試校核鋼帶的強度。題2—23圖解：1．鋼帶受力分析分析表明，當各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通,通常即認為各鉚釘剪切面的剪力相同。F等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力過該面的形心時鉚釘孔所受擠壓力F相同，bb鋼帶的受力如圖b所示，擠壓力則為F6103NF2.0103N33b孔表面的最大擠壓應力為F2.0103Nd(0.002m)(0.008m)1.25108Pa125MPa[]bsbbs在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b），切應力為2.0103N2a2(0.002m)(0.020m)Fb2.5107Pa25MPa[]鋼帶的軸力圖如圖c所示.由圖b與c可以看出,截面1—1削弱最嚴重，而截面2—2的軸力最大,因此，應對此二截面進行拉伸強度校核。截面1-1與2-2的正應力分別為F2F3(b2d)2(6103N)83.3MPa3(0.040m20.008m)(0.002m)N11A16103N93.8MPaFFN2(0.040m0.008m)(0.002m)2A(bd)213第三章軸向拉壓變形3—2解：1。計算DFεF，εΔDEAD故有ΔDεDFD4FDEπ(D2d40.302001030.060.2)8010π(006020.0209m）2EA1.79105m0.0179mm2。計算V變形后該桿的體積為π4V2)εεVlAllDεD()[()(dεd)2]Alε(1)(1)ε(122故有Fl2001030.400m3(120.3)80109ΔVVVV(ε2ε)(12μ)E4.00107m3400mm33-4圖示螺栓，擰緊時產生l=0.10mm的軸向變形。已知：d1=8。0mm，d2=6。8mm，d3=7.0mm；l1=6。0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，［］=500MPa.試求預緊力F，并校核螺栓的強度.題3-4解:1。求預緊力FF各段軸力數(shù)值上均等于，因此,lll)4FlllΔlF(()123EAAA122232πEddd312312由此得πEΔlπ2101090.10103N1.865104N18.65kN4(0.0060.0290.008)0.0080.006820.0072Flll24()121232ddd3222.校核螺栓的強度F4F418.65103N5.14108Pa514MPaπdπ0.0068m222σAminmax2[σ]此值雖然超過,但超過的百分數(shù)僅為2。6％，在5％以內,故仍符合強度要求.3-5圖示桁架，在節(jié)點A處承受載荷F作用。從試驗中測得桿1與桿2的縱向正應變分別為ε=4.0×10—4與ε=2.0×10—4。已知桿1與桿2的橫截面面積A1=A2=200mm2,彈性12模量E1=E2=200GPa.試確定載荷F及其方位角之值。題3-5圖解：1。求各桿軸力FEεA200104.0104200106N1.6104N16kN9N1111FEεA200102.0104200106N8103N8kN9N2222Fθ2。確定及之值由節(jié)點的平衡方程F0和F0得AxyFsin30FsinθFsin300N1N2Fcos30Fcos30Fcosθ0N1N2化簡后,成為及FF2Fsinθ(a）N1N2（b）聯(lián)立求解方程(a）與(b),得FF(168)1030.19253(168)103tanθN1N23(FF)N1N2由此得θ10.8910.9N2.12104N21.2kN.2sin1089FFFN2(168)103N12sinθ3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用.已知板的厚度為，長度為l,左、右端的寬度分別為b與b，彈性模量為E。試計算板的軸向變形。12題3—6圖解：對于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為l0Eb(x)FFΔlldxdx（a）0EA(x)由圖可知,若自左向右取坐標x，則該截面的寬度為bb1xbxb()21l代入式（a)，于是得1bln2ΔlFEdxFllbbEδ(bb)b2110δbx211l3—7,彈性模量為圖示桿件，長為l,橫截面面積為A，材料密度為E，試求自重下桿端截面B的位移。FNgAydygydyEdΔEAy于是得截面B的位移為glgl2()ΔydyE2ECy03—8圖示為打入土中的混凝土地樁,頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設沿地樁單位長度的摩擦力為f,且f=ky2,式中，k為常數(shù).已知地樁的橫截面面積為A,彈性模量為E，埋入土中的長度為l。試求地樁的縮短量。題3-8圖解：1.軸力分析摩擦力的合力為fdylky2dykl3F3yl0根據(jù)地樁的軸向平衡，由此得kl33Fk3F(a）l3y截面處的軸力為yyky3Ffdykydy23N002。地樁縮短量計算截面y處微段dy的縮短量為lkkl4yy3d12EAδNEA3EA00將式(a）代入上式，于是得Fl4EAδ3-9圖示剛性橫梁AB,由鋼絲繩并經無摩擦滑輪所支持。設鋼絲繩的軸向剛度（即產k，試求當載荷F作用時端點B的鉛垂位移生單位軸向變形所需之力）為.題3-9圖解：載荷作用后，剛性梁AB傾斜如圖(見圖3-9）.設鋼絲繩中的軸力為，其總伸長FFNΔl為。圖3—9以剛性梁為研究對象，由平衡方程M0得AFaF(abF(2ab))NN由此得FFN由圖3-9可以看出，y(2ab)ΔlΔΔa(ab)(2ab)yy12可見，ΔΔly（b)根據(jù)k的定義，有FNΔFNkFyk3-10圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計算節(jié)點A的水平與鉛垂位移。題3—10圖(a）解：利用截面法,求得各桿的軸力分別為FFF（拉力）N1N2F2F（壓力）N4F0N3于是得各桿的變形分別為llFl(伸長)12EA2F2l＝2Fl(伸長)EAEAl4l03如圖3－10(1)所示，根據(jù)變形l1與l4確定節(jié)點過A點的鉛垂線相交于A',此即結構變形后節(jié)點B的新位置B’,然后，過該點作長為l+l2A的新的垂線,并過其下端點作水平直線，與位置.于是可以看出,節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為Δ0AxFl212EA2FlFlΔl2llFl2EAAy142EAEAN2于是由圖3－10（2）可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為ΔlFlAx1ΔlFlEAAy13—11圖示桁架ABC,在節(jié)點E，橫截面面積分別為A=320mm與A2=2580mm。試問在節(jié)點B和C的位置保持不變的條2B的鉛垂位移A的最佳位置）。應取何值（B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性模量均為21件下，為使節(jié)點最小，即確定節(jié)點題3—11圖解:1.求各桿軸力由圖3—11a得FsinθF，F(xiàn)FctanθN2N1圖3-112。求變形和位移由圖3—11b得FlN11EA2Fl，Δl＝FlctanθFl2N22EAEAΔl2sin2θ1EA12122及ΔlΔl2ctan2θ)A2Fl(sin2θsinθΔBy122EA1sinθtanθθ3.求的最佳值由dΔ/dθ0，得By2(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ0A1sin2θsinθ22A2由此得2Acos3θA(13cos2θ)012將A與A的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得12cos3θ12.09375cos2θ4.031250解此三次方程，舍去增根，得cosθ0.564967θ由此得的最佳值為θ55.6opt3-12圖示桁架，承受載荷F作用。設各桿的長度為l,橫截面面積均為A，材料的應力應變關系為=B，其中n與B為由試驗測定的已知常數(shù)。試求節(jié)點C的鉛垂位移。n題3—12圖解：兩桿的軸力均為軸向變形則均為FNnFnl2AcoslllBB于是得節(jié)點C的鉛垂位移為lcos2nAnBcosn1FnlΔCy3—13圖示結構，梁BD為剛體，桿3的橫截面面積與材料均相同。C承受集中載荷F作用.已知載荷F=20kN,各桿的橫截面面積均為A=100mm2，彈性模量E=200GPa，梁長l=1000mm。試計算該點的水平與鉛垂位移。1、桿2與桿在梁的中點題3-13圖解:1。求各桿軸力F0，得由xF0N2F0，得由yFFF10kN2N1N32．求各桿變形2N1EA1由圖3-13易知，圖3-13ΔΔl0.50mm()，ΔΔl0.50mm()x1y13—14圖a所示桁架，承受載荷F作用。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA,試求B與C間的相對位移.B/C節(jié)點題3—14圖解：1.內力與變形分析利用截面法，求得各桿的軸力分別為FFFFF（拉力）2N1N2N3N4FF（壓力）Flllll(伸長)1234F2l2Fll(縮短)5EAEA2。位移分析b所示，過d與g分別作桿h,然后，在點C的新位置如圖2與桿3的平行線,并分別與節(jié)點e與C的鉛垂線相交于C',即為節(jié)de與gh延長線取線段l與l2，并在其端點m與n分別作垂線,得交點3.可以看出，EAl2EA222Δ2CiiC'252l2Fl2Fl2EAFl2B/C33—15如圖所示桁架，設各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求載荷作用點沿載荷作用方向的位移。題3—15圖（a）解：各桿編號示如圖3—15a,各桿軸力依次為221F，，F(xiàn)FFFN32F22N1N2該桁架的應變能為311F2l(221)2EA2EA(2F222l214F2l)2EA4Fl2VNiiεi1圖3—15依據(jù)能量守恒定律，F(xiàn)ΔVε2最后得221)(221)Fl()44EA2F2Δl(F2EA(b）解：各桿編號示如圖b列表計算如下:ililFNiFFl2NiiFl2123450Fl0lF22lFlFl2F2l22F2l(322)F2l于是，(322)F2l5Fl2NiiVε2EA2EAi1依據(jù)能量守恒定律，F(xiàn)ΔV2ε可得Δ(322)Fl()EA3—16圖示桁架，承受載荷F作用。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求節(jié)點B與C間的相對位移.B/C題3-16圖i12345FlilF2NF2l/2liiNi2F/22F/22F/22F/2FlF2l/2F2l/2llF2l/22l2F2l(22)F2l由表中結果可得(22)Fl25F2lNiiVε2EA2EAi1依據(jù)得WVΔ(22)Fl()B/CEA3-17F作用。已知板的厚度為，長度為l，左、右圖示變寬度平板，承受軸向載荷端的寬度分別為b與b2，彈性模量為E，試用能量法計算板的軸向變形。1題3-17圖解：對于變截面拉壓板件，應變能的表達式為VlF2N02EA(x)F2Nldxdx2Eb(x)（a)0由圖可知，若自左向右取坐標x,則該截面的寬度為bb()bxb21x1l將上式代入式(a），并考慮到,于是得FFNl1F2F2l2Eδ(bb)b1bVdxln2bb1x2Eδε0b2211l設板的軸向變形為l，則根據(jù)能量守恒定律可知，F(xiàn)Δl2Vε或FΔlFl2bln222Eδ(bb)b211由此得bln2FlΔlEδ(bb)b2113—19圖示各桿，承受集中載荷F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均為EA,試求支反力與最大軸力。題3—19圖受力如圖3-19a(1）所示,平衡方程為(a)解：桿的F0,FFFF0xAxBx一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。圖3—19aAC，CD與DB段的軸力分別為FF,FFF,FF2FAxAxlFaFFaF2Fa0AxEAAxEAAxEA得FF0Ax由此得FFAxF2FFFBxAx桿的軸力圖如3—19a（2）所示，最大軸力為FFN,max（b）解：桿的受力如圖3—19b(1）所示，平衡方程為F0,qaFF0xAxBx一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19bAC與CB段的軸力分別為FF,FFqxN1AxN2Ax由于桿的總長不變，故補充方程為lFa1Fqxdx0aAxEAEA0Ax得qa20212FaAxEA由此得qa4FAx3qaFqaF4BxAx桿的軸力圖如3-19b(2）所示，最大軸力為3qaF4Nmax3-20圖示結構，桿1與桿2的橫截面面積相同，彈性模量均為E，梁BC為剛體，c]=110MPa,試確定各桿的橫截面面積。F=20kN,許用拉應力［]=160MPa,許用壓應力［t載荷題3—20圖解：容易看出，在載荷F作用下，桿2伸長，桿1縮短，且軸向變形相同，故F為拉力，N2FFFN1為壓力，且大小相同，即N2N1以剛性梁BC為研究對象，鉸支點為矩心,由平衡方程M0,FaFaF2a0N2N1由上述二方程,解得FFFN2N1根據(jù)強度條件,20103NF[]A1.818104m2N1111010Pa6c20103NF[]A1.25104m2N2216010Pa6t取123-21F作用。設各桿各截面的拉壓剛度相同，試求各桿軸力。題3—21圖(a)解:此為一度靜不定桁架。F0，得為正,其余各段軸力以拉力為正。先取桿為研究對象，由ABy設以壓FN,AB（a）FFFN,ABN,BC后取節(jié)點為研究對象，由0和0依次得到y(tǒng)AFFx（b）（c）（d）FFN,ADN,AG及2FN,ADcos45FN,AB在節(jié)點處有變形協(xié)調關系（節(jié)點A鉛垂向下）AΔlΔlΔlAB2ΔlADADcos45BC物理關系為2lΔlΔlFN,BCl，ΔlFlΔF，ADl(e）N,ABEAN,ADEABCEAABAG將式（e）代入式（d）,化簡后得F2FN,AD(d)FN,BCN,AB聯(lián)解方程(a)，(c)(d)和，得22F212FN,BC22F2(壓)，F(xiàn)FN,ADN,AGF(拉）（拉),FN,AB（b）解：此為一度靜不定問題。AyFFAΔ在作用下，小輪沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下，,故有l(wèi)20F0N2F的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡.N13—22許用應力分別為［］1圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，模量分別為E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若載荷F=160kN，A1=A2=2A3，試確定各桿的積.3=40MPa，[］=60MPa，［］=120MPa，彈性2橫截面面題3-22圖度靜不定結構。節(jié)點處的受力圖和變形圖分別示如圖3-22a和b。C解：此為一圖3—22由圖a可得平衡方程F0，F(xiàn)3F(a）2xN1N21F0，F(xiàn)FF（b）2yN2N3由圖b得變形協(xié)調方程為ΔlΔlsin303Δlctan30（c）21根據(jù)胡克定律,有FlFlFlFl，ΔlFlN33EA33FlΔl，Δl(d)N11N11N22N21EA2EA11EA2123EA33EA1322333將式(d)代入式(c)，化簡后得補充方程為15F32F8FN2N3(c')N1聯(lián)解方程(a）,(b）和(c’），并代入數(shù)據(jù)，得F22.6kN（壓），F(xiàn)26.1kN（拉),F146.9kN(拉)N1N2N3根據(jù)強度要求,計算各桿橫截面面積如下：AF22.6103m25.6510m2565mm24N1[]σ4010611AF26.1103m24.3510m2435mm24N2[]σ6010622AF146.9103m21.22410m21224mm23N3[]σ12010633根據(jù)題意要求,最后取AA2A2450mm21233-23圖a所示支架處承受鉛垂載荷F作用.桿1與桿mm,A=100mm2，E=200GPa.設由千分表測得各桿軸力。,由剛體ABC并經由鉸鏈2固定在墻上,剛體在C點2的長度與彈性模量均相同，分別為l=100C點的鉛垂位移ymm，試確定載荷F與A、桿1與桿、橫截面面積題3—23圖解:1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點A沿順時針方b所示.顯然，本問題具有一度靜不定。向作微小轉動，剛體的位移、桿件的變形與受力如圖M0，得由平衡方程A2由變形圖中可以看出,變形協(xié)調條件為l2l（b）12根據(jù)胡克定律,Fl,FlN2EAΔlΔl（）cN1EA12將上述關系式代入式(b)，得補充方程為F2FN1N2聯(lián)立求解平衡方程（a）與上述補充方程，得4F,2F（d)FFN255N12.由位移確定載荷F與各桿軸力y變形后，C點位移至b），且直線AC與AB具有相同的角位移，因此C’(CC’AC）（圖C點的總位移為ACABCC'l2l11又由于2y由此得l1y將式(c）與（d）的第一式代入上式，于是得F5EA4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104Ny4(10010m)3并從而得F1.5104N,F7.5103NN1N23—24圖示鋼桿,橫截面面積A=2500mm2，彈性模量E=210GPa,軸向載荷F=200kN。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力.(a）間隙=0。6mm；（b）間隙=0.3mm。題3-24圖解:當桿右端不存在約束時,在載荷F作用下,桿右端截面的軸向位移為(200103N)(1.5m)FaEA(210109Pa)(2500106m2)0.57mmFC端存在支反力，其值則為FFF200kN當間隙=0。6mm時，由于,僅在桿CxF當間隙=0.3mm時，由于，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3—24所示。圖3—24桿的平衡方程為FFF0BxCx補充方程為F2aBxEAFaEA由此得EAFF22aBx200103N(0.0003m)(210109Pa)(2500106m2)47.5kN22(1.5m)而C端的支反力則為FFF200kN47.5kN152.5kNCxBx3—25圖示兩端固定的等截面桿AB，桿長為l。在非均勻加熱的條件下，距A端x處的溫度增量為TTx2/l2T,式中的為桿件B端的溫度增量。材料的彈性模量與線膨BB脹系數(shù)分別為件橫截面上的應力。E與。試求桿l題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長x處的桿微段dx就會因溫升而有一個B端約束解除掉，則在此為一度靜不定問題2dxlBtll2全桿伸長為lαΔTxB2ΔldxllB3tl202．求約束反力設固定端的約束反力為，桿件因作用而引起的縮短量為FFΔlFlFlEAEANF由變形協(xié)調條件ΔlΔlFt可得αΔαΔlB3TlEATEAFllB33．求桿件橫截面上的應力αΔETσFNFAAlB33-26圖示桁架，桿BC的實際長度比設計尺寸稍短,誤差為。如使桿端B與節(jié)點G強制地連接在一起，試計算各桿的軸力。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA。題3-26圖下將各桿編號1~5.由強制裝配容易判斷，桿GC解：此為一度靜不定問題.自左向右、自上向1～3受拉,桿4和5受壓。裝配后節(jié)點和的受力圖分別示如圖3-26a和b。圖3-26由圖b可得（b）（c)FN4N5N4變形協(xié)調關系為（參看原題圖）ΔlΔlΔΔl31cos604cos30依據(jù)胡克定律，有FlΔlii(i1~5)（d)NEAi將式（d）代入式（c),得補充方程Δ2Fl2F3lFl(e)N1EAN43EAN3EA聯(lián)立求解補充方程(e）、平衡方程(a)與(b），最后得F(923)EAΔ,23lF(332)EAΔ23lN3N4即FFFN,GE(923)EAΔ(拉）23lN,BCN,GDFF(332)EAΔ（壓）23lN,CDN,CE3—27圖a所示鋼螺栓，其外套一長度為l的套管。已知螺栓與套管的橫截面面積分別為A與At，彈性模量分別為E與Et，螺栓的螺距為p?，F(xiàn)將螺母旋緊1/5圈,試求螺栓與bb螺母的變形忽略不計。套管所受之力.螺帽與題3—27圖解：首先設想套管未套上，而將螺母由距螺帽l處旋轉1/5圈，即旋進=p/5的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長度，故套合后的螺栓將受拉,而套管則受壓.設螺栓所受拉力為F，伸長為力為F，縮短為b與c可知，l，套管所受壓l，則由圖NbbNttllbFlFl(b)NbAENtAEttbb最后，聯(lián)立求解平衡方程（a）與補充方程（b）,得螺栓與套管所受之力即預緊力為l1kAEbFN0FFNbNtb式中，AEbAEkbtt3-28圖示組合桿，由直徑為30mm的鋼桿套以外徑為50mm、內徑為30mm的銅管.鉚接后，溫度升高40，試計算鉚釘剪切E=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為組成，二者由兩個直徑為10mm的鉚釘連接在一起面上的切應力。鋼與銅的彈性模量分別為E=200GPa與scls=12.5×10—6與lc=16×10—6-1.—1題3-28圖δ和銅管自由伸長量分別為和,由于二者TsT被鉚釘連在一起，δTc解：設溫度升高時鋼桿變形要一致，即變形協(xié)調條件為δΔlδΔlTssTcc或寫成ΔlΔlδδscTcTs這里，ΔlΔl伸長量和縮短量均設為正值。sc引入物理關系,得FlFl(αα)lΔTNsEAEAcNclclsssc將靜力平衡條件FFF代入上式,得NsNcEAEA(αα)ΔTcFsscEAEAclclsssc注意到每個鉚釘有兩個剪切面，故其切應力為EAEA(αα)ΔTτFFSsscclcls2A(EAEA)ssccA2A由此得2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m25.93107Pa59.3MPa3-29圖示結構，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為EA,梁BD為剛體,試在下列兩種情況下，畫變形圖，建立補充方程.(1)若桿2的實際尺寸比設計尺寸稍短，誤差為;（2）若桿1的溫度升高T，材料的熱膨脹系數(shù)為。l題3—29圖DD。2未與剛性桿BD連接時，下端點位于,即D(1）解：如圖3-29（1）a所示，當桿端點鉛垂位移至D，同時，桿C1的下端點則鉛垂位移至。當桿2與剛性桿BD連接后，下CeΔl1的彈性變形，同時，Δ,過作直線C’e垂直于桿1的軸線，顯然，即代表桿CDDl21即代表桿2的彈性變形。與上述變形相應，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3—29（1)b所示。圖3—29(1)可以看出,DD2CC即變形協(xié)調條件為而補充方程則為或Δl22Δl21Fl4Fl021EAEAEAF4F021l（2）解:如圖3-29(2)a所示,當桿1未與剛性桿BD連接時，由于其溫度升高,下端點位于,下端點鉛垂位移至,而桿2的下端點Δ即代表桿,即CCC2lΔT。當桿1與剛性桿連接后CBDClC作直線C'e垂直于直線DCC，顯然,eC1的彈性變2的彈性變形.與上述變形相應，桿1受壓,桿2受拉,剛性桿BD3—29(2）b所示。D則鉛垂位移至。過l1DDΔl形，同時，，代表桿2的受力如圖圖3—29（2)DD2CC可以看出，故變形協(xié)調條件為而補充方程則為2lΔTΔlΔl222l1Fl2EA2lΔTF2l22l1EA或lF4F4EAΔT0213-30圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應力均相同，并分別為A,E與l。Δ[F］。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設計長度l變?yōu)椋踋,試確定該桁架的許用載荷試問當為何值時許用載荷最大，其值［F］為何。max題3—30圖節(jié)點C處的受力及變形示如圖3—30a和b。圖3-30由圖a得平衡方程為FF，2Fcos30FFN3（a)（b）(c)N1N2N1由圖b得變形協(xié)調條件為ΔlΔlcos3013依據(jù)胡克定律,有FlNii(i1,2,3)EAΔli將式(c）代入式(b），化簡后得補充方程為43（b’）FN3FN1將方程(b’)與方程(a)聯(lián)解，得3N24334N3433FN1FF，F(xiàn)FFN14F(433)AσFN3[σ]maxA由此得F(433)[]A,[F](433)[]A44為了提高[F]值，可將桿3做長，由圖b得變形協(xié)調條件為ΔlΔlΔ31cos30l與l[σ],有了后，應使三根桿同時達到,即式中，均為受載后的伸長，依題意31[σ]lΔ4[σ]lE3E由此得Δ(41)[σ]l[σ]l3E3E此時，各桿的強度均充分發(fā)揮出來，故有)[]A(13)[]A[F]2([]Acos30max第四章扭轉4-5一受扭薄壁圓管，外徑D=42mm，內徑d=40mm，扭力偶矩M=500N?m,切變,并計算管表面縱線的傾斜角模量G=75GPa。試計算圓管橫截面與縱截面上的扭轉切應力.解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為1DdDdR()20.5mm，1mm222220于是,該圓管橫截面上的扭轉切應力為T500N2π0.020520.001m21.894108Pa189.4MPa2πR20依據(jù)切應力互等定理，縱截面上的扭轉切應力為ττ189.4MPa該圓管表面縱線的傾斜角為τ189.4106rad2.53103rad75109G4—7,在線彈性范圍內，且當R/≥10時，薄壁圓管的扭轉切應力公式的最0試證明大誤差不超過4。53％。解：薄壁圓管的扭轉切應力公式為Tτ2πR2δ0述公式計算的扭轉切應力為設R/δβ，按上0TTτ(a)2πR2δ2πβ2δ30軸考慮，軸的內、外直徑分別為按照一般空心圓d2，2RδDRδ00極慣性矩為41πRδIπ(D4d4)π[(2R0δ)(2Rδ)4]40(4R2δ2)032322p0由此得π3(421)T(21)τ(RδTT)(2R)(b）0(4R22)2πRmax00Ip0比較式(a)與式（b）,得π2(21)(421)421τT2π233τT(21)maxR當10時，041021210(2101)0.9548maxτ可見，當/10時，按薄壁圓管的扭轉切應力公式計算的最大誤差不超過4.53％。Rδ04—81/m表示，截面軸，材料的曲線如圖b所示，并可用圖a所示受扭圓C式中的C與m為由試驗測定的已知常數(shù).試建立扭轉切應力公式，并畫橫截面上的切應力分布圖.題4-8圖解：所研究的軸是圓截面軸,平面假設仍然成立.據(jù)此，從幾何方面可以得到d（a)（b)dxρ根據(jù)題設，軸橫截面上距圓心為處的切應力為d)1/τC(mρdx由靜力學可知，ddAC()ρ(m1)/mdAT（c）（d)1/mρdxdA取徑向寬度為的環(huán)形微面積作為，即dA2πρdρAAdρ將式(d）代入式(c)，得dd/2ρ(2m1)/mdρT2πC()1/mdx0由此得（e）d2πCm(d)(3m1)/m2M1/m2πmd()(3m1)/m3m12橫截面上的切應力的徑向分布圖示如圖4—8。圖4—84-9在圖a所示受扭圓截面軸內，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面ADFC切出單元體ABCDEF(圖b)。試繪各截面上的應力分布圖，并說明該單元體是如何平衡的.題4-9圖解:單元體ABCDEF各截面上的應力分布圖如圖4-9a所示。圖4-9根據(jù)圖a,不難算出截面上分布內力的合力為AOOD114TldFx1τ(l)π22maxd2同理，得截面上分布內力的合力為OCFO14TlπdFx22方向示如圖c。設FF作用線到軸線的距離為，容易求出與xxez1x122dd323ez1根據(jù)圖b，可算出單元體右端面上水平分布內力的合力為Tπd/2π28T3πdcos(θ)ρdρdθFzI002p同理，左端面上的合力為方向亦示如圖c.8T3πdFz1設作用線到水平直徑DF的距離為（見圖Fzeyb），由2FeTπcos2()dπd/2dT432zyI002p得3π48T3πd32eTd0.295dy同理，作用線到水平直徑的距離也同此值。ACFz1根據(jù)圖b,還可算出半個右端面上豎向分布內力的合力為DOE1π/2dρπT4T3πdF/2sin(θ)ρdρdθ2yI003p設F作用線到豎向半徑的距離為OEe（見圖b），由y1z32Tπ/2cos2dd/2FedT38yzI0032p得T3πd3πd32e0.295d84Tz2、AOBOCB上的豎向分布內力的合力為同理，可算出另半個右端面以及左端面OFE14TFFFy1y4y23πd方向均示如圖c.它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為e。z2由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對力的作用下處于平衡狀態(tài),這四對力構成四個力44偶，顯然，這是一個空間力偶系的平衡問題.TT22M0，F(xiàn)eFeFeFe0xyzzyyzzy4221218Tl8Tl0M0，F(xiàn)lF(2e)3πd3πdyzxz1214Tl4Tl0M0，F(xiàn)lFl3πd3πdzyy34既然是力偶系,力的平衡方程（共三個）自然滿足,這是不言而喻的。TM上述討論中，所有的在數(shù)值上均等于。4-11如圖所示，圓軸AB與套管CD用剛性突緣E焊接成一體，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=56mm，許用切應力[］=80MPa，套管的外徑D=80mm，1壁厚=6mm,許用切應力[]=40MPa。試求扭力偶矩M的許用值.2題4—11圖M解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于。1.由圓軸AB求M的許用值M16M1[]11Wπd3max1p1M由此得的許用值為πd3[]π0.056380106M[]Nm2.76103Nm2.76kNm116161CDM2．由套管求的許用值D806mm37mm，Rδ6mmR102200此管不是薄壁圓管.80－62680.858080M216M[]2Dπ(1)max2W234p2M由此得的許用值為[M]πD3(1)[]π0.0803(10.854)401046Nm2161621.922103Nm1.922kNm[][]1.922kNm24—13圖示階梯形軸，由AB與BC兩段等截面圓軸組成,并承受集度為分布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定AB與BC段的長度l1與l2以及直徑d1與］.m的均勻題4—13圖解:1.軸的強度條件在截面A處的扭矩最大，其值為Tmax1ml由該截面的扭轉強度條件max116mlT[τ]πmax1Wd31p1得16mlπ[τ](a)d31段上的最大扭矩在截面處，其值為BBCTmax2ml2由該截面的扭轉強度條件得316ml2π[τ]d22．最輕重量設計軸的總體積為πVd2(ll)d2lπ4[(16π[mlτ])2/3(ll)(π[τ]2)2/3l]π416ml4122222根據(jù)極值條件dV0dl2得(16ml)(16m53)2/3l2/302/3π[]π[]2由此得52從而得3lll[1()3/2]l0.535l(c）(d）51216m316mld(2)1/3l()0.775d11/321/23π[]π[]5該軸取式(a)～（d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。4—14一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F=1kN作用。設彈簧的平均直徑D=40mm,彈簧絲的直徑d=7mm，許用切應力［］=480MPa，試校核彈簧的強度。解：由于D40m5.7110d7故需考慮曲率的影響，此時，8FD(4m＋2）81.001030.040(45.712)Ndm3)π0007(45.713)m.maxπ(43323.72108Pa372MPa結論:[]，該彈簧滿足強度要求。max4-20圖示圓錐形薄壁軸AB，兩端承受扭力偶矩M作用。設壁厚為,橫截面A與B的平均直徑分別為dA與dB,軸長為l，切變模量為G。試證明截面A和B間的扭轉角為（dd)2MlA/BABπGd2d2AB題4—20圖xx證明：自左端向右取坐標，軸在處的平均半徑為AddR(x)1(dAx)1(dcx)2AB2l0A式中，cddBAlx截面的極慣性矩為1πδI2πR32π[(dcx)]3(dcx)324p0AA依據(jù)dT(x)4MGπ(dcx)AdxGI3p得截面A和B間的扭轉角為4Mld(dcx)2M()|dcx2l0AπG0c()πGδcA/BAdcxA32MlπGδ(dd)112Ml(dd)AB()d2d2πGδd2Ad2BABAB4-21圖示兩端固定的圓截面軸,承受扭力偶矩作用.試求支反力偶矩。設扭轉剛度為已知常數(shù)。題4—21圖（a)解:此為靜不定軸,但有對稱條件可以利用。設A與B端的支反力偶矩M分別為和，它們的轉向與扭力偶矩M相反.由于左右對MAB稱，故知MMABM0可得x由MM2M2MABA即MMMAB（b)解：此為靜不定軸，可解除右端如圖4—21b。約束,代之以支反力偶矩M，示B圖4-21b變形協(xié)調條件為利用疊加法，得0（a)BMaM(2a)Ma(3)(b）BBGIGIGIppp將式（b)代入式(a），可得1M3MB進而求得13M（轉向與M相反）BMA（c）解：此為靜不定軸,與（a)類似，利用左右對稱條件,容易得到ma2MMABM和M的轉向與m相反。AB（d)解:此為靜不定軸，可解除右端約束,代之以支反力偶矩,從變形趨勢不難判斷，MB的轉向與.m相反MB變形協(xié)調條件為0（c)（d)B利用疊加法，得到（端向右取）x從左m(ax)(2a)ma2MaxdM2aBGIB2GIGIBB,mBM,GI0Bpppp將式（d）代入式（c），可得ma4MB進而求得3maMmaMA4B的轉向亦與。m相反MA4—22圖示軸，承受扭力偶矩M=400N?m與M2=600N?m作用。已知許用切應力1[]=40MPa，單位長度的許用扭轉角[］=0。25(°)/m，切變模量G=80GPa。試確定軸徑。設端支反力偶矩MB為，該軸的相當系統(tǒng)示4-22aB圖4—22利用疊加法，得1[4000.5006001.250M2.500]GIBBp將其代入變形協(xié)調條件0，得BM(6001.2504000.500)Nm2220Nm2.500mB該軸的扭矩圖示如圖4—22b。2。由扭轉強度條件求d由扭矩圖易見，T380Nmmax將其代入扭轉強度條件，Tmax16Tmax[]πd3maxWp由此得d316Tmax316380m30.0364m36.4mmπ40106π[]3。由扭轉剛度條件求d將最大扭矩值代入Tmax32T[]maxGπd4GIp得d432TπG[]32380180m4max4π801090.25π0.0577m57.7mmd57.7mm。:最后確定該軸的直徑結論4—23圖示兩端固定階梯形圓軸AB，承受扭力偶矩M作用。已知許用切應力為［]，為使軸的重量最輕,試確定軸徑d與d2。1題4—23圖解：1。求解靜不定設A與B端的支反力偶矩分別為MA與MB,則軸的平衡方程為M0,MMM0（a)xABAC與CB段的扭矩分別為代入式（a），得TM，TM1A2BTTM0(b)12設AC與CB段的扭轉角分別為AC與CB，則變形協(xié)調條件為AC0CB（c）利用扭轉角與扭矩間的物理關系，分別有Ta2TaCB，1GI2GIACp1p2代入式（c),得補充方程為4dT2T0(d）1d221最后，聯(lián)立求解平衡方程（b）與補充方程（d)，得d4M2Td42d4,(e)1221212。最輕重量設計從強度方面考慮，要使軸的重量最輕，應使AC與CB段的最大扭轉切應力的數(shù)值相等，M作用時,最大扭轉切應力均等于許用切應力，即要求且當扭力偶矩TT[]，[]12WWp1p2由此得WT1Td3Wp1d12p22將式（e）代入上式，得d2d21并從而得M8M9T1T，29根據(jù)圓軸扭轉強度條件,于是得軸的直徑為d2316T1316Mπ[]9π[]d214—24圖示二平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷F作用。已知載荷F=750N，軸1和軸2的直徑分別為d=12mm和d2=15mm，軸l=500mm，搖臂長度a=300mm，切長均為變1模量G=80GPa,試求軸端的扭轉角。題4—24圖解:這是一度靜不定問題。變形協(xié)調條件為ΔΔ或2(a)121這里，和分別為剛性搖臂1和2在接觸點處的豎向位移。設二搖臂間的接觸力為21和2承受的扭矩分別為aTF()Fa，TFa(b)(c)21222物理關系為Tl1GITl12，＝2GIp2p1將式(c)代入式(a）,并注意到式(b)，得d4F22(d4d4)12F2由此得Tl16Fal167500.3000.500m4)π8010(0.01240.0154)m2GIπG(d4d29p12210.1004rad5.75||4-26如圖所示,圓軸AB與套管CD借剛性突緣.圓軸的直徑d=38mm，許用切應力［］=80MPa，切變模量D=76mm，壁厚M的許用值。E焊接成一體,并在突緣E承受扭力偶矩M作用G=80GPa；套管的11外徑=6mm，許用切應力[］=40MPa，切變模量G=40GPa。試求扭力22偶矩題4-26圖解：1。解靜不定此為靜不定問題。靜力學關系和變形協(xié)調條件分別為TTM1（a）（b）212物理關系為Tl11GI1p1Tl2212，＝（c）GI2p2將式(c）代入式(b)，并注意到761276πD40.8421，πd432I(14)，Ip32p21得GIlT1p12T2d4D4(14)343842T3764(10.84214)2T0.1676T22(d)12GIl2p21將方程（a）與（d）聯(lián)解，得T20.856M，0.144MT12．由圓軸的強度條件定的許用值M160.144Mπd3T1[]1max1Wp1由此得扭力偶據(jù)的許用值為πd3[]π0.038380106160.144M[]Nm5.99103Nm5.99kNm1160.14413.由套管的強度條件定的許用值MT160.856M[]24πD(1)2maxW32p2由此得扭力偶據(jù)的許用值為πD3(1)[]π0.0763(10.84214)401064M[]Nm2160.856160.85622.00103Nm2.00kNm結論:扭力偶矩的許用值為[M][M]2.00kNm24-27圖示組合軸，由圓截面鋼軸與銅圓管并借兩端剛性平板連接成一體，并承受扭M=100N·m作用。試校核其強度。設鋼與銅的許用切應力分別為[］=80MPa與［c］s=20MPa，切變模量分別為G=80GPa與Gc=40GPa，試校核組合軸強度力偶矩。s54題4—27圖解:1。求解靜不定如圖b所示,在鋼軸與剛性平板交接處（即橫截面B）,假想地將組合軸切開，并設鋼軸與M0可知，x銅管的扭矩分別為Ts與Tc,則由平衡方程TT（a）(b）sc兩個未知扭力矩，一個平衡方程，故為一度靜不定問題。在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移相同，即sc設軸段AB的長度為l,則TlsGIssps(MT