2022一遍過高考數(shù)學(xué) 第6章　數(shù)列

第六章

數(shù)列一遍過·高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)19數(shù)列的概念與簡單表示法

題組1數(shù)列的遞推式和通項(xiàng)公式答案

題組1數(shù)列的遞推式和通項(xiàng)公式答案

題組1數(shù)列的遞推式和通項(xiàng)公式答案

遞推式方法示例an+1=an+f(n)累加法a1=1,an+1=an+2n累乘法an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列a1=1,an+1=2an+1an+1=pan+q·pn+1(p≠0,q≠0)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列a1=1,an+1=3an+3n+1

題組1數(shù)列的遞推式和通項(xiàng)公式答案

題組2數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系答案

5.[2016浙江卷·13,6分,難度★☆☆☆☆]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=

,S5=

.

題組2數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系答案

題組2數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系答案

答案

答案

3.[2018全國Ⅰ卷·14,5分,難度★☆☆☆☆]記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=

.

答案

4.[2015全國Ⅱ卷·16,5分,難度★★☆☆☆]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=

.

答案

5.[2016浙江卷·17,15分,難度★★☆☆☆]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通項(xiàng)公式an;(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.答案

考點(diǎn)20等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.[2017全國Ⅰ卷·17,12分,難度★★☆☆☆]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.題組1等差數(shù)列的判定與證明答案

題組1等差數(shù)列的判定與證明答案【方法技巧】

判定數(shù)列是等差數(shù)列的方法方法解讀適合題型定義法對于n∈N*,an+1-an為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an=pn+q(p,q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇題、填空題中的判定問題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列2.[2014全國Ⅰ卷·17,12分,難度★★☆☆☆]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).(1)證明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.題組1等差數(shù)列的判定與證明題組1等差數(shù)列的判定與證明答案2.【解析】

(1)由題設(shè),anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1.因?yàn)閍n+1≠0,所以an+2-an=λ.(2)由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.3.[2018全國Ⅰ卷·4,5分,難度★☆☆☆☆]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=A.-12 B.-10 C.10 D.12題組2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

題組2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

5.[2019全國Ⅲ卷·14,5分,難度★☆☆☆☆]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a3=5,a7=13,則S10=

.

題組2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

題組2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

7.[2020全國Ⅱ卷·14,5分,難度★☆☆☆☆]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=-2,a2+a6=2,則S10=

.

題組2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

8.[2015全國Ⅱ卷·5,5分,難度★☆☆☆☆]設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1+a3+a5=3,則S5=A.5 B.7 C.9 D.11題組3等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案

9.[2016全國Ⅰ卷·3,5分,難度★☆☆☆☆]已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=A.100 B.99 C.98 D.97題組3等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案9.C

【解析】

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)镾9=9a5=27,所以a5=3.又a10=8,解得5d=a10-a5=5,所以d=1,所以a100=a5+95d=98,選C.10.[2015陜西卷·13,5分,難度★☆☆☆☆]中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為

.

題組3等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案

11.[2015廣東卷·10,5分,難度★☆☆☆☆]在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=

.

題組3等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案11.10

【解析】

由a3+a4+a5+a6+a7=25得5a5=25,所以a5=5,故a2+a8=2a5=10.1.[2013全國Ⅰ卷·7,5分,難度★★☆☆☆]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=A.3 B.4C.5 D.6答案

2.[2020北京卷·8,4分,難度★★☆☆☆]在等差數(shù)列{an}中,a1=-9,a5=-1.記Tn=a1a2…an(n=1,2,…),則數(shù)列{Tn}A.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng),無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng),有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng),無最小項(xiàng)答案2.B

【解析】

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=-9,a5=-1,∴a5=-9+4d=-1,∴d=2,∴an=-9+(n-1)×2=2n-11.令an=2n-11≤0,則n≤5.5,∴n≤5時(shí),an<0;n≥6時(shí),an>0.∴T1=-9<0,T2=(-9)×(-7)=63>0,T3=(-9)×(-7)×(-5)=-315<0,T4=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)=945>0,T5=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)=-945<0,當(dāng)n≥6時(shí),an>0,且an≥1,∴Tn+1<Tn<0,∴Tn=a1a2…an(n=1,2,…)有最大項(xiàng)T4,無最小項(xiàng),故選B.

答案

答案

5.[2012江西卷·12,5分,難度★☆☆☆☆]設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列.若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=

.

答案5.35

【解析】

解法一

設(shè)數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d1,d2,因?yàn)閍3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.解法二

因?yàn)閧an},{bn}都是等差數(shù)列,所以a1+b1,a3+b3,a5+b5成等差數(shù)列,則2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),即42=7+(a5+b5),得a5+b5=35.6.[2019北京卷·10,5分,難度★☆☆☆☆]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=

,Sn的最小值為

.

答案

7.[2014北京卷·12,5分,難度★☆☆☆☆]若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=

時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大.

答案7.8

【解析】

∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0.∴當(dāng)n=8時(shí),其前n項(xiàng)和最大.

【方法技巧】

求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最值的常用方法二次函數(shù)法——當(dāng)公差d≠0時(shí),將Sn看作關(guān)于n的二次函數(shù),運(yùn)用配方法,借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解通項(xiàng)公式法——求an≥0(或an≤0)成立時(shí)的最大n值,即可求得Sn的最大(或最小)值8.[2020新高考Ⅰ卷·14,5分,難度★★☆☆☆]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為

.

答案

9.[2013全國Ⅱ卷·16,5分,難度★☆☆☆☆]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為

.

答案

答案

答案

考點(diǎn)21等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.[2020全國Ⅱ卷·6,5分,難度★★☆☆☆]數(shù)列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k=A.2 B.3 C.4 D.5題組1等比數(shù)列的判定與證明答案

2.[2015全國Ⅰ卷·13,5分,難度★☆☆☆☆]在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=

.

題組1等比數(shù)列的判定與證明答案

題組1等比數(shù)列的判定與證明答案

題組1等比數(shù)列的判定與證明答案

題組2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

題組2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

題組2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

6.[2015全國Ⅱ卷·4,5分,難度★☆☆☆☆]已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=A.21 B.42 C.63 D.84題組2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案6.B

【解析】

由于a1(1+q2+q4)=21,a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故選B.

題組2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

8.[2018全國Ⅲ卷·17,12分,難度★☆☆☆☆]等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.題組2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式答案

9.[2012新課標(biāo)全國卷·5,5分,難度★☆☆☆☆]已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=A.7 B.5 C.-5 D.-7題組3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案

題組3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案

11.[2021全國甲卷·9,5分,難度★☆☆☆☆]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=A.7 B.8 C.9 D.10題組3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案

題組3等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用答案

答案

2.[2020全國Ⅰ卷·10,5分,難度★★☆☆☆]設(shè){an}是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=A.12 B.24C.30 D.32答案

3.[2018浙江卷·10,4分,難度★★★☆☆]已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4答案

4.[2013遼寧卷·14,5分,難度★☆☆☆☆]已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根,則S6=

.

答案4.63

【解析】

由題意得,a1+a3=5,a1a3=4,由數(shù)列是遞增數(shù)列得,a1=1,a3=4,所以q=2,代入等比數(shù)列的求和公式得S6=63.5.[2012新課標(biāo)全國卷·14,5分,難度★☆☆☆☆]等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=

.

答案5.-2

【解析】

由S3+3S2=0,即a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,即4a1+4a2+a3=0,即4a1+4a1q+a1q2=0,即q2+4q+4=0,所以q=-2.6.[2017全國Ⅲ卷·14,5分,難度★★☆☆☆]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=

.

答案

答案

8.[2016全國Ⅰ卷·15,5分,難度★★☆☆☆]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為

.

答案

9.[2014廣東卷·13,5分,難度★★☆☆☆]等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=

.

答案

答案

答案

專項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解1.[2019全國Ⅱ卷·18,12分,難度★★☆☆☆]已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.答案1.【解析】

(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1+3+…+2n-1=n2.

答案

答案

3.[2014大綱全國卷·17,10分,難度★★☆☆☆]數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.答案

答案

答案

6.[2020全國Ⅲ卷·17,12分,難度★★☆☆☆]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.答案6.【解析】

(1)a2=5,a3=7.猜想an=2n+1.由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],……a2-5=3(a1-3).因?yàn)閍1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.

①從而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.

②①-②得-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.所以Sn=(2n-1)2n+1+2.【題型風(fēng)向】

根據(jù)遞推公式猜想通項(xiàng)公式,再證明猜想,是數(shù)列求通項(xiàng)公式的一種常見手段,但近年來考試較少,是一個(gè)新的動態(tài)與風(fēng)向.

答案

答案

答案

考點(diǎn)22數(shù)列求和1.[2016北京卷·15,13分,難度★★☆☆☆]已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.題組1用公式法與分組求和法求和題組1用公式法與分組求和法求和答案

題組1用公式法與分組求和法求和答案【方法歸納】

1.公式法求和——使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的求和方法.2.裂項(xiàng)相消法求和——把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差,使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法.3.錯(cuò)位相減法求和——(1)適用的數(shù)列:{anbn},其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列.(2)方法:設(shè)Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

(*),則qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1

(**),(*)-(**),得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1.4.倒序相加法求和——如果一個(gè)數(shù)列{an}中,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)之和,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,即把正著寫與倒著寫的兩個(gè)式子相加,就得到一個(gè)常數(shù)列的和,例如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.5.分組求和法求和——若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和后相加減,例如已知an=2n+(2n-1),求{an}的前n項(xiàng)和Sn.6.并項(xiàng)求和法求和——把數(shù)列中的若干項(xiàng)結(jié)合到一起,形成一個(gè)新的可求和的數(shù)列,此時(shí),數(shù)列中的項(xiàng)可能正、負(fù)相間出現(xiàn)或呈現(xiàn)周期性,例如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.2.[2016全國Ⅱ卷·17,12分,難度★★☆☆☆]Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和.題組1用公式法與分組求和法求和答案

題組2用錯(cuò)位相減法求和題組2用錯(cuò)位相減法求和答案

題組2用錯(cuò)位相減法求和題組2用錯(cuò)位相減法求和答案

題組3用裂項(xiàng)相消法求和答案

題組3用裂項(xiàng)相消法求和題組3用裂項(xiàng)相消法求和答案

題組4用并項(xiàng)求和法求和答案7.【解析】

(1)由題意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.題組4用并項(xiàng)求和法求和答案

題組4用并項(xiàng)求和法求和答案

題組4用并項(xiàng)求和法求和題組4用并項(xiàng)求和法求和答案

1.[2012新課標(biāo)全國卷·12,5分,難度★★☆☆☆]數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為A.3690 B.3660 C.1845 D.1830答案

答案

答案

4.[2020全國Ⅰ卷·16,5分,難度★★★☆☆]數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1,前16項(xiàng)和為540,則a1=

.

答案

答案

答案

答案

答案

答案

8.[2020新高考Ⅰ卷·18,12分,難度★★☆☆☆]已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.答案

答案

答案【方法技巧】

(1)若題設(shè)等式的某一邊是關(guān)于Sn或an的二次三項(xiàng)式,則一般利用因式分解的方法將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)化;(2)高考對數(shù)列求和側(cè)重于考查裂項(xiàng)法、分組求和法以及錯(cuò)位相減法,因此遇到求和的問題時(shí),要有意識地往這三種方法去思考.10.[2015湖南卷·19,13分,難度★★☆☆☆]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.(1)證明:an+2=3an;(2)求Sn.答案

答案

考點(diǎn)23數(shù)列的綜合應(yīng)用

題組1等差、等比數(shù)列的綜合問題答案

2.[2014安徽卷·12,5分,難度★★☆☆☆]數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=

.

題組1等差、等比數(shù)列的綜合問題答案2.1

【解析】

解法一

因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+1,a3+3,a5+5也成等差數(shù)列,又a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,所以a1+1,a3+3,a5+5是常數(shù)列,故q=1.解法二

因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以可設(shè)a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),得d2+4d+4=0,即d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1.3.[2015湖南卷·14,5分,難度★★☆☆☆]設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=

.

題組1等差、等比數(shù)列的綜合問題答案3.3n-1

【解析】

由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,則3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.

題組1等差、等比數(shù)列的綜合問題答案

題組1等差、等比數(shù)列的綜合問題答案

5.[2015天津卷·18,13分,難度★★☆☆☆]已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=anbn,n∈N*,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.題組1等差、等比數(shù)列的綜合問題答案

6.[2020全國Ⅱ卷·3,5分,難度★★☆☆☆]如圖,將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1,a2,…,a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為A.5 B.8 C.10 D.15題組2數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用及數(shù)列與其他知識的綜合答案6.C

【解析】

通解

由題意,知ai,aj,ak構(gòu)成原位大三和弦時(shí),j=k-3,i=j-4,所以ai,aj,ak為原位大三和弦的情況有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5種.ai,aj,ak構(gòu)成原位小三和弦時(shí),j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak為原位小三和弦的情況有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5種.所以用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10,故選C.優(yōu)解

由題意,知當(dāng)ai,aj,ak為原位大三和弦時(shí),k-j=3且j-i=4,又1≤i<j<k≤12,所以5≤j≤9,所以這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦的個(gè)數(shù)為5.當(dāng)ai,aj,ak為原位小三和弦時(shí),k-j=4且j-i=3,又1≤i<j<k≤12,所以4≤j≤8,所以這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位小三和弦的個(gè)數(shù)為5.所以用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為10,故選C.7.[2015福建卷·8,5分,難度★★☆☆☆]若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于A.6 B.7 C.8 D.9題組2數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用及數(shù)列與其他知識的綜合答案

1.[2015浙江卷·3,5分,難度★☆☆☆☆]已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0答案

2.[2014天津卷·11,5分,難度★★☆☆☆]設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為

.

答案

答案

答案

4.[2017山東卷·19,12分,難度★★☆☆☆]已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.答案

答案

答案

答案

答案

易錯(cuò)疑難集訓(xùn)

易錯(cuò)點(diǎn)1

忽視對n=1的檢驗(yàn)致誤易錯(cuò)點(diǎn)1

忽視對n=1的檢驗(yàn)致誤答案

2.[2012湖北卷·20,13分,難度★★☆☆☆]已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.易錯(cuò)點(diǎn)1

忽視對n=1的檢驗(yàn)致誤答案

易錯(cuò)點(diǎn)1

忽視對n=1的檢驗(yàn)致誤答案

3.[2012浙江卷·13,4分,難度★★☆☆☆]設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則q=

.

易錯(cuò)點(diǎn)2

忽視公比q的取值致誤答案

4.[2012陜西卷·17,12分,難度★★☆☆☆]設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a5,a3,a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的公比;(2)證明:對任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.易錯(cuò)點(diǎn)2

忽視公比q的取值致誤答案4.【解析】

(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠0,q≠1),由a5,a3,a4成等差數(shù)列,得2a3=a5+a4,即2a1q2=a1q4+a1q3,由a1≠0,q≠0得q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.(2)解法一

對任意k∈N+,Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1·(-2)=0,所以,對任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.易錯(cuò)點(diǎn)2

忽視公比q的取值致誤答案

易錯(cuò)點(diǎn)3

用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)漏項(xiàng)或添項(xiàng)答案

易錯(cuò)點(diǎn)3

用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)漏項(xiàng)或添項(xiàng)答案

易錯(cuò)點(diǎn)3

用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)漏項(xiàng)或添項(xiàng)答案

易錯(cuò)點(diǎn)3

用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)漏項(xiàng)或添項(xiàng)答案

7.[2017天津卷·18,13分,難度★★☆☆☆]已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).易錯(cuò)點(diǎn)4

用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)的位置處理不當(dāng)致誤易錯(cuò)點(diǎn)4

用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)的位置處理不當(dāng)致誤答案

易錯(cuò)點(diǎn)4

用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)的位置處理不當(dāng)致誤易錯(cuò)點(diǎn)4

用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)的位置處理不當(dāng)致誤答案

易錯(cuò)點(diǎn)4

用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)的位置處理不當(dāng)致誤答案

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案

x(1,e)e(e,+∞)f

'(x)+0-f(x)↗極大值↘

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案2.【思維導(dǎo)圖】

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案

疑難點(diǎn)與新定義結(jié)合的數(shù)列的綜合應(yīng)用問題答案

素養(yǎng)題型專練1.[2017全國Ⅱ卷·3,5分,難度★☆☆☆☆](數(shù)學(xué)文化)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈A.1盞 B.3盞C.5盞 D.9盞答案

答案

3.[2020全國Ⅱ卷·4,5分,難度★★☆☆☆](數(shù)學(xué)應(yīng)用)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊答案

4.[2017全國Ⅰ卷·12,5分,難度★★★☆☆](數(shù)學(xué)應(yīng)用)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,