高中數(shù)學(xué)選擇性必修二 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

課題等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用單兀第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二

教材本節(jié)課是2019版高中數(shù)學(xué)（人教版）選擇性必修第二冊(cè)，第四章《數(shù)列》第二節(jié)課4.2.1

分析等差數(shù)列的概念。

等差數(shù)列是一種最基本的數(shù)列，研究它的性質(zhì)，需要通過觀察、分析、歸納、猜想等方

法，是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在探究等差數(shù)列性質(zhì)的過程中

使學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)列的方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，掌握研究數(shù)列的基本方法對(duì)于學(xué)好《數(shù)

歹IJ》整章內(nèi)容起著重要的作用

1數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的性質(zhì)

教學(xué)2邏輯推理：等差數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)

目標(biāo)

3數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用

與

4數(shù)學(xué)建模：應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題

核心

素養(yǎng)5直觀想象：等差數(shù)列的性質(zhì)及其與一次函數(shù)的關(guān)系

6數(shù)據(jù)分析：等差數(shù)列的性質(zhì)及其推導(dǎo)、運(yùn)用，提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力

重點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

難點(diǎn)等差數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)

1等差數(shù)列的概念通過回顧等差數(shù)

提示：復(fù)習(xí)導(dǎo)入列的概念、等差

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)中項(xiàng)、通項(xiàng)公式，

與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

文字

常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)象、數(shù)學(xué)建模的

語言

歹U,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公核心素養(yǎng)

差，公差通常用字母d表示.

符號(hào)a

n+i-cin=d（d為常數(shù)，n

語言6N*）

2等差中項(xiàng)

提示：

(1)條件：如果a,A,〃成等差數(shù)列

(2)結(jié)論：A叫做“與》的等差中項(xiàng)

(3)滿足的關(guān)系式是2A=a+/>

3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式

已知等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為由,公差為d

遞推公式通項(xiàng)公式

斯—劭-

i=d(〃N2)an=a\+(n—l)d(nWN*)

講授新課

例3某公司購置了一臺(tái)價(jià)值為220萬元的設(shè)備，通過實(shí)際問題，

隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)等差

表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會(huì)減少d(d為正常數(shù))萬學(xué)生獨(dú)立思數(shù)列的應(yīng)用

元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，考、互相討

它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%,設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定論

d的取值范圍.

分析：這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列

｛%｝.由題意可知，10年之內(nèi)(含10年)，這臺(tái)設(shè)備的

價(jià)值應(yīng)不小于(220x5%=)11萬元；而10年后，這

臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬元.可以利用｛即｝的通項(xiàng)

公式列不等式求解.

解：設(shè)使用〃年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為的萬元，

則可得數(shù)列｛an｝.由已知條件，得

an=an-i-d(n>2).

由于d是與n無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列｛a*是一個(gè)

公差為-d的等差數(shù)列.因?yàn)橘忂M(jìn)設(shè)備的價(jià)值為220萬

元，所以ai=220-d,于是

an=+(n—1)(—d)=220—nd.

根據(jù)題意，得

(flio>11

(an<11

即

(220-10d>11

1220-lid<11

解這個(gè)不等式組，得

19<d<20.9.

所以，d的取值范圍為19<dW20.9.

例4已知等差數(shù)列｛a"的首項(xiàng)的=2,公差

d=8,在｛6｝中每組相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使

它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列｛九｝.

(1)求數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式.

(2)是不是數(shù)列｛即｝的項(xiàng)？若是，它是｛即｝

的第幾項(xiàng)？若不是，說明理由.

分析：(I)｛%｝是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把的，

表示為｛%｝中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得

出｛匕｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)｛即｝中的第n項(xiàng)是｛為｝中的第7項(xiàng)，根

據(jù)條件可以求出n與d的關(guān)系式，由此即可判斷b29

是否為｛a.｝的項(xiàng).

解：⑴設(shè)數(shù)列｛b｝的公差為d'.

由題意可知，瓦=%,生=。2，于是

壇一瓦==8.

因?yàn)榕c一瓦=4d',所以4d'=8,所以d'=2.

所以

bn=2+(n—1)x2=2n.

所以，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是以=2n.

(2)數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)依次是數(shù)列｛%｝的第1，5,

9,13,…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為4

的等差數(shù)列｛cn｝,則％=4n-3.

令4n-3=29,解得

n=8

所以，b29是數(shù)列｛an｝的第8項(xiàng).

思考：

如果插入的是k(kWN*)個(gè)數(shù)，那么bn的公差是

多少？

提示：

設(shè)數(shù)列｛3｝的公差為力.

由題意可知，瓦=%,bk+2=?2＞于是

bk+2一瓦=。2-=8.

因?yàn)镸+2—瓦=(k+l)d',所以(k+l)d'=8,

所以d'=搭

k+1

例5已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，0?$￡￡/7*,且

P+q=S+￡?求證Qp+Qq=Qs+&-

分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出Qp,Clq,

%，Q一再利用已知條件即可得證.

證明：設(shè)數(shù)列｛Qn｝的公差為d,則

Qp=Ql+(p—l)d,

Qq=Ql+(q_l)d,

0s=+(s—l)d,

%=%+("l)d.

所以

ap-I-aq=2%+(p+q—2)d

Qs+4=2al+(s+t—2)d

因?yàn)閜+q=s+3所以

%+%=%+%?

拓展

等差數(shù)列的常用性質(zhì)

⑴通項(xiàng)公式的推廣：an=am-l-(n-

m)d(珥mwN*).(d—)

n-m根據(jù)前面的

（2）若｛an｝是等差數(shù)列，p,q,s,t€N*,且p+例題，學(xué)生

q=s+t.則%+%=%+%討論、合作、

①特別地，當(dāng)p+q=2A(p,q,k€N*)時(shí)，探討推導(dǎo)等

a+a=2a

pqk差數(shù)列的常

②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離'’的兩

用性質(zhì)

項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，

即a1+an=a2+an-i=…=ak+an_k+1=

（3）若｛aj是公差為d的等差數(shù)列，則

①｛c+an）（c為任意常數(shù)）是公差為d的等

差數(shù)列

②｛caj（c為任意常數(shù)）是公差為cd的等差數(shù)

列

③，ak+m,ak+tn,是公

差為竺d的等差數(shù)列.

（4）若｛即｝,｛b｝分別是公差為四，42的等差

數(shù)列，

則數(shù)列｛pa“+q%｝（P，q是常數(shù)）是公差為

pdi+qd2的等差數(shù)列.

課堂練習(xí)：

1已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，且的一。5+。9-a13+

a17=117,求%+45的值.

解：???等差數(shù)列｛即｝中，若p+q=s+t.則

%+%=Qs+at

??+。17=+。13，

由條件等式得。9=117

a

/.a3+is=2a9=2x117=234

2（多選題）下列命題正確的是（）

A給出數(shù)列的有限項(xiàng)就可以唯一確定這個(gè)數(shù)列

的通項(xiàng)公式

B若等差數(shù)列｛a.｝的過程d>0,則｛aj是遞增數(shù)

列

C若a,b,c成等差數(shù)列，則可能成等

差數(shù)列

D若數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛%+2冊(cè)+1｝

不一定是等差數(shù)列

答案：BC

3裂活這元求解等差數(shù)列

(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩數(shù)之積比中間數(shù)的平

方小16,則公差是多少？

(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2,首末

兩項(xiàng)的積為一8,求這四個(gè)數(shù).

解：

(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a,a+d,

又“首末兩數(shù)之積比中間數(shù)的平方小16”

二x2—(x—d)(x+d)=16

解得

d=±4

故公差是±4

⑵法一：

設(shè)這四個(gè)數(shù)為a—3d,a—d,a+d,a+3d(公差為2d),

依題意，2a=2,且(a-3rf)(a+3d)=—8,

即a=l,a2-9d2=-8,

:.d2=1,

d=1或d=-l.

又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0,

Ad=l,故所求的四個(gè)數(shù)為一2,(),2,4.

法二：

若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,a+d,a+2d,a+3d(公差為d),

依題意，2a+3d=2,且a(a+3rf)=—8,

把a(bǔ)=1—|d代入a(a+3<0=-8,

得（1號(hào)祖1+"）=-8

即1_。2=-8,

4

化簡得d2=4,所以d=2或一2.

又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0,所以d=2,

a=-2?

故所求的四個(gè)數(shù)為一2,0,2,4.

常見設(shè)元技巧

（1）某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)

這兩個(gè)數(shù)為：。一d,〃+d,公差為2d；

（2）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a—d,

a,〃+d,公差為d；

（3）四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成〃一3d,a-d,。

+d,a+3d,公差為2d.

4在等差數(shù)列｛an｝中，若的+&+…+&5=30,

+。7+…+。10=80,求Q11+。12++

a15?

解：

法一

由等差數(shù)列的性質(zhì)得

+Qu—?2a6，02+@12=2。7，***>。5+

@15=2。10?

??（"1+。2+-----。5）+Qll+a12-----?"。15）=

2（即+。7--------,■aio）

+。12+…+。15=2（。6+。7+…+

。10）—（由+0.2+…+。5）=2x80-30=130.

法二

:數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列

?,?%+。2+…+05，。6+@7+…+@10，"11+

。12+…+。15也成等差數(shù)列，

即30,80,an+a12d-----1-a15成等差數(shù)列.

?**30+（%1+%2+…+&5）=2x80

??+012+***+=130?

｛｝

5在等差數(shù)列an中，a3,Qi。是方程/-3%-5=0

的根，則曲+。8=________?

解：由已知得&3+%0=3.

又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，

?