《相似三角形判定定理的證明》示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)北師大】

第四章圖形的相似4.5相似三角形判定定理的證明一、教學(xué)目標(biāo)了解相似三角形判定定理的證明過(guò)程，發(fā)展推理能力．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：相似三角形判定定理的證明．難點(diǎn)：合理添加輔助線．三、教學(xué)用具多媒體課件、直尺或三角板．四、相關(guān)資源《復(fù)習(xí)相似三角形判定定理》動(dòng)畫(huà)，《相似三角形的判定》微課.五、教學(xué)過(guò)程【復(fù)習(xí)引入】我們學(xué)過(guò)的相似三角形的判定定理有哪些？平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論的內(nèi)容是什么？師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)學(xué)過(guò)的內(nèi)容回答．答：我們學(xué)過(guò)的相似三角形的判定定理有：（1）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)相關(guān)定理的回顧，為后面的探索奠定良好的基礎(chǔ)．【探究新知】前面我們探索了三角形相似的條件，本節(jié)課我們將對(duì)它們進(jìn)行證明．1．定理兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生寫(xiě)出已知、求證并引導(dǎo)學(xué)生完成證明過(guò)程．教師應(yīng)注意指出此時(shí)只能利用定義證明相似，不能使用前面學(xué)過(guò)的判定三角形相似的判定定理證明．已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'．求證：△ABC∽△A'B'C'．證明：在△ABC的邊AB（或它的延長(zhǎng)線）上截取AD=A'B'，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E，則∠ADE=∠B，∠AED=∠C，（平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例）．過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，交BC于點(diǎn)F，則（平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例）．∴．∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DFCE是平行四邊形．∴DE=CF．∴．∴．而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC．∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'．2．定理兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生寫(xiě)出已知、求證并引導(dǎo)學(xué)生完成證明過(guò)程．已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，．求證：△ABC∽△A'B'C'．證明：在△ABC的邊AB（或它的延長(zhǎng)線）上截取AD=A'B'，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，交AC于點(diǎn)E，則∠B=∠ADE，∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）．∴．∵，AD=A'B'，∴．∴．∴AE=A'C'．而∠A=∠A'，∴△ADE≌△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'．3．定理三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生寫(xiě)出已知、求證并引導(dǎo)學(xué)生完成證明過(guò)程．已知：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，．求證：△ABC∽△A'B'C'．證明：在△ABC的邊AB，AC（或它們的延長(zhǎng)線）上分別截取AD=A'B'，AE=A'C'，連接DE．∵，AD=A'B'，AE=A'C'，∴．而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE（兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）．∴．又，AD=A'B'，∴．∴．∴DE=B'C'．∴△ADE≌△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生親身經(jīng)歷證明過(guò)程，讓他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、汲取教訓(xùn)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，形成自己的認(rèn)識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)合理地添加輔助線．【典例精析】例如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AE=EB，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CB，CD上滑動(dòng)，當(dāng)CM為何值時(shí)，△AED與以M，N，C為頂點(diǎn)的三角形相似？師生活動(dòng)；教師出示例題，學(xué)生思考、討論，教師分析、引導(dǎo)，師生共同完成解題過(guò)程．分析：由于本題未指明兩三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以要分CM與AE和AD是對(duì)應(yīng)邊兩種情況進(jìn)行求解．解：．當(dāng)△AED∽△CMN時(shí)，AE∶CM=DE∶NM，即1∶∶1，解得；當(dāng)△AED∽△CNM時(shí)，AD∶CM=DE∶MN，即2∶∶1，解得．∴當(dāng)或時(shí)，△AED與以M，N，C為頂點(diǎn)的三角形相似．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例構(gòu)建方程，是解決線段計(jì)算問(wèn)題的重要途徑．本圖片是微課的首頁(yè)截圖，本微課資源針對(duì)《相似三角形的判定》進(jìn)行講解，并結(jié)合具體例題，提高知識(shí)的應(yīng)用能力，有利于啟發(fā)教師教學(xué)或?qū)W生預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)使用.若需使用，請(qǐng)插入微課【知識(shí)點(diǎn)解析】相似三角形的判定.【課堂練習(xí)】1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）．2．如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在線段AB上取一點(diǎn)D，作DF⊥AB交AC于點(diǎn)F，現(xiàn)將△ADF沿DF折疊，使點(diǎn)A落在線段DB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，AD的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為E1．若△E1FA1∽△E1BF，則AD=_________．3．如圖所示，四邊形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．（1）△ACF與△GCA相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．（2）求∠1+∠2的度數(shù)．4．如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s．如果P，Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？師生活動(dòng)：教師找?guī)酌麑W(xué)生板演，講解出現(xiàn)的問(wèn)題．參考答案1．B．2．3.2．3．解：（1）相似；理由：設(shè)題圖中正方形的邊長(zhǎng)為a，∴．∴，．∴．∵∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△GCA．（2）∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF．∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．4．解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，△QBP與△ABC相似．由題意可知0＜t＜4，此時(shí)PB=(8-2t)cm，BQ=4tcm．（1）當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，，即，解得t=0.8；（2）當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，，即，解得t=2．綜上所述，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)0.8s或2s時(shí)，△QBP與△ABC相似．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解．六、課堂小結(jié)這節(jié)課我們主要