第6講 幾何圖形為背景的面積與面積比問題-沖刺2022年中考數學壓軸題（上海）解析版

第6講幾何圖形為背景的面積與面積比問題

-(2022奉賢一模25題解法分析＋經典變式練）

本節(jié)壓軸題解題的基本解題步驟

一．尋找題目中的已知量和特殊條件：

二、求解線段的長度：

三求解面積比：

l．分別表示哪些圖形的面積？

2．面積比怎么求解？

方案一．分別求出兩個圖形的面積，再求解比值；

方案二用面積轉化求解比值。

教學重難點

1.培養(yǎng)學生挖掘信息的能力，并能從題目中尋找有利條件；

2．培養(yǎng)學生分析間題解決問題的能力；

3．讓學生學會把難題分解，從而分段擊破；

4．培養(yǎng)學生動態(tài)數學思維能力和綜合能力。

例1.(2022奉賢一模25題）如圖l，已知銳角LAB戰(zhàn)勺高AD、B庌甘交千點F,延長A島江，

使-DG=FD,聯(lián)結BG,CG.

(1)求證：Bl>AC=AD?BG;

(2)如果BC=IO,設tan乙ABC=n1.

O如圖2,當乙ABG=90°時，用含咱勺代數式表示叢BF咘勺面積；

＠當AB=8，且四邊形BCCE是梯形時，求n的值

AA

BcB,C

Cc

圖2

圖1

【解答】(1)證明：．：么兒釭彴高AD、說狙交于點忙

:.乙J/HB=乙ADC=90°'

又？乙EAF＝乙DAC,

:.乙AFE＝乙ACD,

．．乙BFD＝乙AFE,

:.乙BFD=L'_ACD,

·:BD上FG,DF=fJC,

:.B唾直平分研，

:.BG=BF,

：．乙BGF＝乙BFC,

:.乙BCF＝乙ACD,

又了乙BDC＝乙ADC=90°,

:．叢BDGU)公,ADC,

.?.BD::BG,

ADAC

:.B仄AC=AD?BC;

(2)解：CD·:乙ABC=90°,

:.乙ABO+乙CBC=90°,

．．乙CB滬乙BGD=90°,

:.乙ABD＝乙B叨，

同理乙GBD＝乙BAD,

由（1)知6.BfJCu,6.ADC,

.·.乙GBD=L'_DAC,

：．乙BAD＝乙CAD,

又？AD=AD,L'_ADB＝乙ADC,

:.6.ADB竺6.ADC(ASA),

:.BD=CD=-=-1BC=5,

2

·:tan乙ABC=m.

．二tan乙BGJJ=m,

?·?GD=_5,

m

:.GF=2GD=旦，

m

111025

:.s立即嚴－XFCXBD=-x—X5=—;

22·m·-m

＠當B6/／從時，

:.乙ACB＝乙CBC,

．．乙CBC＝乙CAD,

:.LACB＝乙CAD=45°,

詔"r_CD=AD=x,則BD=IO-x,

由勾股定理得，x2+(10-x)2=8勹

解得x=5士石，

當x=5＋石時，BD=IO-x=5寸7,此時ll]=5寸7二竺色互，

5－石9

5－石16-5石

當x=5－折時，BD=10-x=5十石，此時In=二；

5討9

當BE/IC副，

:.乙EBC＝乙BCG,

則乙CBC＝乙BCG,

.'.BC=CC,

.'.BD=CD=5,

由勾股定理得AD={飛了飛了2=?百一百＝寸否，

:.,n吐2豆，

BD5

綜上，In=16+5石亙吐色色互或丈亙

995

例2.(2021青浦25題）（三角形的面積比）已知：在半徑為2的扇形AOB中，乙AOB=m0(O<

川~180)，點C是^AB上的一個動點，直線AC與直線0階甘交千點D.

(1)如圖1,當0<nJ<90,/::,BC,風亡等腰三角形時，求乙閑j大小（用含n的代數式表

示）;

(2)如圖2,當m=90點C是^AB的中點時，聯(lián)結AB,求竺世世的值；

沁ABC

(3)將---AC沿A吁斤在的直線折疊，當折疊后的圓弧與0所斤在的直線相切千點E,且OE=I

時，求線段AD的長．

4

1c

9

。B

D0

圖1圖2備用圖

【解答】解：（1)”［肚邸線上，

:．乙OB切銳角，

占乙C祝為鈍角，

則6BCD是等腰三角形時，僅有BC=B偽吝一種情況，

:.乙D＝乙BCD,

連接0頌韌!1=X=OB,

:．乙OAC＝乙儀譏，乙“D=乙OBC,

：．乙OBC＝乙仇乙BCD=2乙從

在60CD中，乙COD+-2乙D+-2乙D=l80°,

:.乙AOC＝曠－乙COD=m0+4乙I)-180°'

:.乙AOC＝上X(180°一乙AOC)

2

=180°-正＿-2LD,

2

在6AOD中，IJf＋乙OAC＋乙D=180°'

。

:.180°吐邑＿－乙JJ=180°'

2

。

:.乙D＝亞；

2

.D

圖1

(2)過川乍肌f上肚埏長線千M，連接OC,

·:C';為^AB中點，

:.AC=BC,

:．乙BAC＝乙心C且AO=CO=BO,

:.LOAC＝乙OCA＝乙OCB=乙OBC,

:.LACO+乙BCO=上X(360°-90°)=135°,

2

:.乙BCD=45°,

.".45°＋乙ODA＝乙ABC＋乙AB0=45°＋乙ABC,

：．乙ABC＝乙加0＝乙BAC,

:.BD=AB＝補石（勾股定理），

.".BJl!=DJl1=2（乙耶D=乙OBA=45°,．．．隊仁頃lf),

.".A.tlf=AB＋朋＝2奸＋2,

:.AN=上AB飛，

2

義？CNj_AB,叫j_AB,

:.6.ANC=6.AMJJ,

·CNAN

．．二，

DM戰(zhàn)

s2

..·.::>t:i..ABD=AM=6＋屯；

Sb.ABCAN2

.4

(3)圖2如下：

·:E為弧線AECE;與Offi,刀點，

:.A、E、C在半徑為2的另一個圓上，

·.·01￡=2,0￡=1,

:.oo'＝石（勾股定理），

又？OA=OC=2,O'A=O'C=2,

:．四邊形AOCO'是菱形，

壞C上00'且AC、0(J互相平分，

目乙O'Ot共角，

:.6O'OE(/)h.DOP,

：．』＝翌且OP=l.0(J＝五，

O'EOE22

.'.OP飛，

.'.AP＝了＝罕(Rth.APO'的勾股定理）

:.AD=AP+PD=1喬寸可．

2

-1.【2021閔行二模25題】(14分）如圖，在矩形AB“中，AB=4,BC=8,點P在邊BC上（點P

與端點B、C不重合），以閃3圓心，p[fjg半徑作圓，圓P與射線BJJJ勺另一個交點為點E,直線

CE與射線A歷5千點C．點的3線段B莊勺中點，聯(lián)結Alf.設BP=x,B.4/=y.

(1)求y關千泊勺函數解析式，并寫出該函數的定義域；

(2)聯(lián)結AP，當AP/IC壓寸，求泊勺值；

(3)如果射線ECE;與圓府勺另一個公共點為點F，當ACP廳3直角三角形時，求ACP府勺面積．

D

D

Bc

備用圖

【分析】（1)先由華徑定理證明岡且龐，得出AB-AfP與6.BC胱盯以，利用叢BCD.三邊之間

的特殊比值求出y與x之間的函數關系式：

(2)當AP/IC職，則DG=BP=x，再用ADGE－ABC庌盯以，列出方程，求得結果；

(3)6.CPF,為直角三角形分兩種情況，第一種是點仁與點叫i合，第二種是PF上BC,利用

乙EP氓勺正切值）生．這一隱含條件，即可求解．

3

【解答】解：（1)在矩形肚勸沖，CD=AB=4,乙BCD=90°,

.'.BD＝石可;}=E,fs'．凸媯弦Bh的中點，歷圓心，．．．p從LBt`，乙隊1P=90°'

·:ADIiBC,占乙PBM＝互DBC,．旦＝墜＝cos乙DBC,這＝蘭＿，．．．過

BPBDx咕y=5x,

當點6與點A重合時，則點E為B吁，呈l.B廣寸5，讓過2氣綽，

452

:.y關千x的函數解析式y(tǒng)=___2森x（一5；

54

(2)如圖l，當AP//C桏寸，AC=PC,

G

圖1

:.DC=BP=x.由隊f＝色邑，得BE＝生互石－生區(qū)

555

·:DG/1BC．．．叢兀E0叢BCL`,

砃

硒－－－x

:．墜＝塹5=5-x...?X=5-x

BC－－一一過BE了＇4X

5X

整理，得i+4x-40=0,解得x1=-2+';J五，x2=-2-'i:J百（不符合題意

:.x=-4十五·

 (3)如圖2,若乙P陀＝90°'不符合題意；

D

Bc

圖2

如圖3'當L.PCF=90°時，此時y＝呈石＝討飛，心~x＝屯，

25

B

,F

圖3

1

:.PC=8-5=5,CF=C廬4,:.s6!'PF=-X3X4=2;

3

如圖4,當乙CPF=90°時，在BCJ邊上取一點li，連接叩，

A

B

由圖3得，當點μ與點噸合時，此時，加＝5,:.CH:CD:叩＝3:1:2,

了乙EPQ＝乙DHC=2乙DBC,乙O=乙DC/!=90°,

:.6EPQ(/)叢DHC,:.PQ:EQ:PE=3:5:5,

·:PE=BP=PF=-x,．二的＝土x，閱＝立x

35

·:PF!/EQ,:.6CPF氣6.CQE,:旦＝墮三至，

CQEQ-2_4

一5x

:.PC＝且P(}＝呈心旦嚴x,...4-x＝.lx,解得x=5,

99433

:.PC=8-6=2,PF=6,:.S1:;(．產上X2X6=2.

4

綜上所述，ACP勵面積為6.

2.【2021年黃浦區(qū)二?！?14分）如圖，A膚邑6.ABCB'0角平分線，過點小乍Alli勺垂線交邊A時氣點

E，垂足為點O，聯(lián)結JJE.

(1)求證：DE=DC;

(2)當乙ACB=90°，且AB龐與AAB煙面積比為1:3時，求CE:Al的值；

(3)是否存在6AB哺老使CE為6AB戊lAB上的中線，且CE=A憂如果能，請用乙C兒的某個三

角比的值來表示它此時的大??；如果不能，請說明理由．

ABAB

備用圖

【分析】(1)根據已知條件證明么從店爭~AOh`，可得AC=Ah'．再證明叢AC壓紅這兒D,即

可得結論；

(2)由6BDE與AAB組勺面積比為1:3,又6AC壓立""14ED,可得ABDE、6ACD與AAE莊勺

面積均相等．證明AAC砂戎穿邊三角形，根據含30度角的直角三角形即可得結論；

(3)作EFIIA!J5鈕C千點F，對應邊成比例，令AD=CE=8k,則OE=OC=4k,0D=2k,OA

=6k,作CH上AE千點從址明6CEf-fv,6ACO,可得g!＝gi＝旦；，再根據銳角三角形和

OAACCD

即可得結論．

【解答】解：(1)·:A圾主角平分線，．．．乙CAO=乙HAO.

又？CE1-AD,:.乙COA=乙EOA=90°.

又AO=AO,:.6A”竺6AOE(ASA).".AC=AE.

在6ACD與6AED中，飛'AC=-AE,乙CAD=乙OAD,AD=AD,

:.6ACD竺6AED(SAS),.".DE=IX:

(2)？6BDE與叢ABC的面積比為1:3,

．：叢ACD竺叢AED,:.6BDE、叢ACD與AAEalJ面積均相的．

:.BE=AE=AC,又乙ACB=90°,:．乙ABC=30°,:.LBAC=60°,

：心AC動等邊二角形，．．．CE=AC.

在6ACD中，乙ACD=90°,乙CAD=上乙CAB=300,

2

··蓋五，即竺』豆：

AD2AD2

(3)存在這樣的三角形，

如圖，作EF/／兒皮BC千點F,

A方

則ODCOlEFBE1

、=---=—,=---=—,

EFCE2ADBA2

·:AD=CE,

令AD=CE=8k，則OE=OC=1k,OD=2k,OA=6k,

在Rt叢AO吽！，根據勾股定理，得

AC三＝2洹k'.".AE=2掃k

如圖，作CHJ_AE千點兒．．．乙EC}/t乙CEH=90°,

·:乙OAE立CE}!=90°,:.乙ECH=乙OAE,

·:乙OAE＝乙OAC,:.乙ECH＝乙OAC,

．．乙CHE＝乙A()C=90°,．．心C￡Hc.n6ACO,:旦＝竺＝埋，

OAACCD

32五21西

:.CH=8kX-k'EH=8kX-k'

岳一—13岳一—13

16平1西

·:AH=AE-EH,:.AH=2`［了社K二，

13..13k

在Rt6AC旰，tan乙CAB~且=1].

AH5

3.【2021金山二?！浚ū绢}滿分14分，第(l)題4分，第(2)CD題4分，第(2)＠題6分）

已知在心田C中，AB=AC=2?3,L'BAC=l20°，心\DE的頂點D在邊BC上，AE交

BC于點F（點F在點D的右側），乙DAE=30°.

(l)求證：MBF=!::JJCA.

(2)若AD=ED.

s

＠聯(lián)結EC,當點F是BC的黃金分割點(FC>BF)時，求一竺f....

s6FEC

＠聯(lián)結BE,當DF=l時，求BE的長

A

AA

CBCBC

E

第25題圖備用圖

第25題圖第25題圉備用圖

【答案】（1)證明：·:AB=AC,:．乙B=乙C:.......................................Cl分）

·:乙BAC＋乙B＋乙C=180',乙BAC=120°,:.乙B＝乙C=30勹

·:乙DAE=3Q°,:.乙B=乙C=乙DAE;…..................(1分）

？叢DC＝篤＋篤從），紐'AF=LDAE＋紐'AD:

:.乙BAF=乙ADC:······….．．．．．．．．．．．（1分）A

.

·:乙B=乙C;

.·.MBF(./)!illCA.··············.......Cl分）c

AFBF

(2)＠解：＇，．MBF(./)!illCA,::.—=—，即

ADAC

ADAF

—=—;..................Cl分）

ACBFE

·:AD=ED,:．乙DAE＝乙DEA,:．乙DEA=乙C;

又·:LDAE=乙B,:．