中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓與相似的綜合題附答案解析

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓與相似的綜合題附答案解析一、相1．如圖，中對線、相于點(diǎn)，點(diǎn)、F是上的點(diǎn)，且AE=EF=FD.連結(jié)BE。它們分別與AO相交于點(diǎn)G、（）EG：BG的（）證：（）AG=a,GH，HO，求a:b:c的【答案】（）：四形是平行四邊形，，AD=BC，BC，△，

=

．AE=EF=FD，，GC=3AG，，：BG=1：（）：（證），AC=4AG，，（）：，，．，AFH△CBH，

==，=，AH=AC．AC=4AG，，

b=AH﹣﹣AC=AC，c=AO﹣﹣AC=，：：：：

=5：：【解析】【分析】（根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AC，，BC從而可證eq\o\ac(△,得)△CBG，出對應(yīng)邊成比例，由可BC=3AE，可證得，可求出：BG的。（）據(jù)相似角形的性質(zhì)可得，就可證得，而可得，即可證得結(jié)論。（）據(jù)平行證得三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=AC，AC，結(jié)合AC，即可得到含AC的數(shù)式分別表示出a、、，可得到a：：的值。2．已知線段，，c滿

，且＋＋＝（）斷，，，2

是否成比例；（）實(shí)數(shù)x為，的例項(xiàng)，求的．【答案】（）：設(shè)則a=3kb=2k，，又a+2b+c=26，3k+2×2k+6k=26，得k=2，，，；，=16，，，=162bc=96，=6×16=962bc=ab

，a，，c，2

是成比例的線段。（）：x是、的比例中項(xiàng)，x=6ab，x=6×4×6，

x=12．【解析】【析】（）設(shè)已知比例式的值為

k，可得出，b=2k，c=6k，代入a+2b+c=26，立關(guān)于k的程，求出kl的，再求出2然后利用成比例線段的定義，可判斷a，，，2

是否成比例。（）據(jù)實(shí)數(shù)x為ab的例中項(xiàng)，可得出x=ab建立關(guān)于x的方程，求出x的。3．如圖，已知：在eq\o\ac(△,)ABC中，斜邊AB=10sinA=，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與，B重合），平交邊BC于點(diǎn)Q，AB于M，CP于N．（）AP=CP時(shí)，求；（）四邊形PMQN為菱形，求CQ；（）究：為值時(shí)，四邊形eq\o\ac(△,)的面積相等？【答案】（）：，sinA=，BC=8，則AC=

=6，．PCA，PQ平分CPB，BPC=2BPQ=2，BPQ=A，PQ，PQBC，又平CPB，，P是AB的點(diǎn)，PQ=AC=3（）：四形PMQN為菱形，MQPC，

APC=90°

×AB×CP=×AC×BC，則，由勾股定理得，，MQPC，

==

，即

=

，解得，（）：平分CPBQMAB，CP，QM=QN，，

eq\o\ac(△,)

，四形PMQNeq\o\ac(△,)的積相等，是線段PB的垂直平分線，B=BPQB=CPQ，CPQCBP

=

，

=

，CP=4×=4×=5，CQ=BQ=8

=

，BM=×=

，﹣PB=AB﹣【解析】【分析】（１）當(dāng)AP=CP時(shí)，由銳角三角函數(shù)可知AC=6，BC=8，為PQ平分CPB，所以PQ//AC，知PB=PC，以點(diǎn)P是AB的點(diǎn)，所以是ABC的位線，=3;當(dāng)邊形PMQN為菱形時(shí)，因?yàn)锳PC=

，所以四邊形PMQN為方形，可得

PC=4.8，為，以，可得

;(3)當(dāng)QM垂直平分PB時(shí)，四邊形PMQN的面積與的面積相，此時(shí)CPQ，應(yīng)邊成比例，可得.

，所以，為，以．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角互余三角形．

與

滿足＝90°，么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)（）eq\o\ac(△,)是準(zhǔn)余三角”，＞90°＝60°則B；（）圖，在eq\o\ac(△,)中ACB＝，＝4BC5若是BAC的分線，不難證明是“互余三角形”．問在邊BC上是否存在點(diǎn)（于點(diǎn)）使得ABE也準(zhǔn)互余三角”？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．（）圖，在四邊形ABCD中，AB7，＝，CD＝BCD，eq\o\ac(△,)是準(zhǔn)余三角形．對角線AC的．【答案】（）（）：存在如圖，結(jié)AE在eq\o\ac(△,)ABC中B+BAC=90°，AD是BAC的分線，BAD，B+2BAD=90°，是準(zhǔn)余三角”，

又也是準(zhǔn)互余三角形，B+2，B+EAC=90°，EAC=B,又C=C,CAE△CBA，

,即CA=CB·CE＝，＝，CE=.BE=BC-CE=5-=.（）：如圖，eq\o\ac(△,)沿BC翻得eq\o\ac(△,)BCF,CD，，BCF=BCD,CBD=CBF,又，BCDCBD+BCD=90°，，即ABD+CBD+CBF=180°，A、B、三共線，在eq\o\ac(△,)AFC中CAB+ACF=90°，即CAB+BCF=90°，，ABC是準(zhǔn)余三角形,CAB+，CAB=BCF，F(xiàn),

1212△，

,即FC=FA·FB,設(shè)，F(xiàn)A=x+7,x（）=12

,解得：=9x（舍去）AF=7+9=16.在eq\o\ac(△,)AFC中==20.【解析】【解答】（1）解：∵△ABC是“準(zhǔn)互三形”，＞90°，A＝60°，B+，B+60°=90°故答案為：【分析】（）據(jù)準(zhǔn)余三角形”，定義，結(jié)合意得2B+，入數(shù)值可求出B度.（）在，根據(jù)直三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得∠B+2，根據(jù)“準(zhǔn)余三角形，義即可eq\o\ac(△,)ABD是準(zhǔn)余三角”；eq\o\ac(△,)是準(zhǔn)余角”，以及直角三角形兩內(nèi)角互余可得∠根相似三角形判定“AA可△CBA，再由似三角形性質(zhì)得

,由求出CE=.從而得BE長（）圖，eq\o\ac(△,)沿翻得eq\o\ac(△,)根翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)準(zhǔn)互余三角形定可得到，再由相似三角形性質(zhì)可得

,設(shè)BF=x，入數(shù)值即可求出x值，從而求出AF值在eq\o\ac(△,)AFC中，根據(jù)勾股定理即可求得AC長5．如圖：在

中，，為AC上的動(dòng)點(diǎn)，且

.

（）AB的度；（）AD·AE的值；（）A點(diǎn)AH，證BH=CD+DH.【答案】（）：作BC，，BC，BM=CM=BC=1,在eq\o\ac(△,Rt)AMB中,BM=1,

=.（）：連接CD，AB=AC,ACB=，四形內(nèi)于圓，ADC+又ACE+ADC=，CAE=CAD，

△CAD，

,AD·AE=AC=AB=（

）=10.（）明：在上一點(diǎn)N，得BN=CD,eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中ABN（）AN=ADAHBD，，NH=DH,又BN=CD,NH=DH,BH=BN+NH=CD+DH.【解析】【析】（1）AMBC，等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BM=CM=BC=1,在eq\o\ac(△,)AMB中根據(jù)余弦定義得cosB=,由此求出AB.（）接CD根據(jù)等腰三角形性質(zhì)等邊對等角得∠ACB=ABC，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相等得ADC=；相似三角形的判定得EAC△CAD，據(jù)相似三角形的性質(zhì)得；從得AD·AE=AC2=AB.（）上一點(diǎn)N，得據(jù)SASeq\o\ac(△,)ACD，由全等三角形的性質(zhì)得AN=AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得NH=DH,而得BH=BN+NH=CD+DH.6．如圖，半徑為4且以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓O交x軸，軸于點(diǎn)B、、、，圓上的動(dòng)點(diǎn)

不與重合作，

在AP右側(cè)．

（）P與C重合時(shí)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（）接PC，

時(shí)，求點(diǎn)P的標(biāo)；（）接，接寫出線段OE的值范圍．【答案】（）：當(dāng)與重時(shí)，，

的半徑為4，

在AP右側(cè)，，點(diǎn)坐標(biāo)為；（）：如圖作

于點(diǎn)，為

的直徑，，∽，，

，，，

，，點(diǎn)P的標(biāo)為

或

；

（）：如圖連結(jié)OPAB，AE，，

都為等腰直角三角形，，

，

，，，，【解析】【分】

，當(dāng)P與C重時(shí)，因?yàn)椋?/p>

的半徑為，且在AP右，所以

，所以點(diǎn)坐標(biāo)為

；

作于點(diǎn)F，明

，可求得CF長，在

中求得PF的長，進(jìn)而得出點(diǎn)P的標(biāo)；

連結(jié)，OE，，，AE，明

，可得，據(jù)

，即可得出OE的值范圍．7．如圖，在eq\o\ac(△,)中＝90°，＝6cm，＝動(dòng)M從出，在邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)運(yùn)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)運(yùn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，接（）eq\o\ac(△,)BMNeq\o\ac(△,)ABC相，求的值；（）接AN，CM，，求的值．【答案】（）：ACB＝，＝，＝，＝＝．

由題意得BM＝，＝，BN＝－2t)cm.eq\o\ac(△,)BMN時(shí)，

＝，得t＝；＝eq\o\ac(△,)BMN時(shí)＝，綜上所述eq\o\ac(△,)BMN與ABC相時(shí)t的值為

或

，解得t＝

.（）：如圖過點(diǎn)作MDCB于點(diǎn)D，BDM＝＝90°，又B，∴△BCA

＝＝

.＝6cmBC＝，＝，，＝，＝

tcm＝

cm.AN，ACB＝，CAN＋，＋ACM＝，＝MCD.MDCB＝，CANDCM

＝，∴

＝，解t＝．【解析】【分析】（）直角三角形ABC中由已知條件用勾股定理可求得的長，再根據(jù)路程速

時(shí)間可將BMCN用含的代數(shù)式表示出來，則BN=BC-CN也用含t的代數(shù)式表示出來，因?yàn)锽MN與相似，由意分兩情況，①當(dāng)BMN△時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)可得比例式：，已知的線段代入計(jì)算即可求解；當(dāng)BMN△BCA時(shí)由相似三角形的性質(zhì)可得比例式：

，將已知的線段代入計(jì)算即可求解；（2）點(diǎn)M作MDCB于點(diǎn)，根據(jù)有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得BDMBCA，是可得比例式，已知的線段代入計(jì)算可用含的代數(shù)式表示DM、的，則CD=CB-BD也用含t的數(shù)式表示出來，同理易證∽△，得比例式，將已表示的線段代入計(jì)算即可求得t的。8．已知，如圖，拋物線＝＋＋與軸于點(diǎn)B、，軸交于點(diǎn)A，且AO＝，4．

（）拋物線析式；（）圖2，P是物線第一象限上一點(diǎn)，連接PB交y軸點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，段OQ長d，求d與t之的函數(shù)關(guān)系式；（）在(2)的件下，過點(diǎn)作直線軸在上取一點(diǎn)M(M在二象限連接AM，＝，連接CP并長CP交y軸點(diǎn)，點(diǎn)作l于N，連接、CNCM．若＋NKQ45°，求值【答案】（）：如圖，當(dāng)時(shí)，，A（0，3），OA=OC=3，BC=4，OB=1，B（，）C，0，把B﹣，）（，）代入拋物線+bx+3中得：，

解得：，拋線的解析式y(tǒng)=﹣x2；（）：如圖，設(shè)（，﹣+2t+3）（＜＜）過作軸于，，△，

，

，d=﹣（＜＜）（）：如圖，接AN，長PN交x軸G，由（）：OQ=3﹣，，AQ=OA﹣﹣3﹣）QN=OG=AQ=t，

121121AQN是腰直角三角形，，，

t

，

，OK=3t+3，，ANK，。ANK=45°，NKQ=45°，ANK=MCN，NG=CG=3﹣，是腰直角三角形，NC=

（﹣），GNC=45°，NCM+NMC=45°，，AKN，

，AQ=QN=t，AM=PQ，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)（）﹣2﹣3）﹣+3t，﹣7t+9=0，＞，t=＜＜，＞，符題，舍去，．t=

，

，【解析】【分】（1）據(jù)函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離得出，BC=4，而出的離，進(jìn)而得出B,C兩的坐標(biāo)，再將兩的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+3中得出一個(gè)關(guān)于a,b的元一次方程組，求解得出a,b的，從而得出拋物線的解析式；（）P作x軸，根據(jù)P點(diǎn)橫坐標(biāo)得出P點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)P（，t2）（＜＜）根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似，得出

△，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出PG=OBBG,從而得出d關(guān)t的函數(shù)關(guān)系式；（）接AN延長PN交x軸，2）：OQ=3﹣，從而得﹣﹣（﹣）進(jìn)而得QN=OG=AQ=t，而判斷出AQN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，AN=t，根據(jù)平行線分線段成比例得出OK=CGOC,故OK=3t+3，AK=3t，根據(jù)等式的性質(zhì)得出MCN，斷出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出NC=

（﹣）GNC=45°，判斷eq\o\ac(△,)AKNNMC根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AMAN，再利用HL判斷出eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)故MQ=PN=﹣+2t+3（﹣）﹣2+3t，而得出關(guān)于t的方程，求解并檢驗(yàn)即可得出答案二、圓綜合9．如圖，角梯形OABC中BCOA，，，（）的為；（）是上一點(diǎn)，以BD為直徑，M交AB于．當(dāng)M與軸相切時(shí)，

；（）圖2，點(diǎn)P以每秒1個(gè)位長度的速度，從點(diǎn)O沿線段OA向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以相同的速，從點(diǎn)B沿線B﹣向O運(yùn)．當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A時(shí)兩同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作線PEOC與折線﹣﹣交點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．求當(dāng)以、、E為點(diǎn)的三角形是直三角形時(shí)點(diǎn)的標(biāo)．【答案】（）；（）

5；（）E的標(biāo)為（，）、（，）（，）．33【解析】分析：1）點(diǎn)作于，圖（），易證四邊形OCBH是形，從而有=BH，需eq\o\ac(△,)AHB中用三角函數(shù)求出即．（）點(diǎn)作BH于，過點(diǎn)作GF于，過點(diǎn)B作BROG于，連接MN、，如圖1（）則OH，=4，．圓的半徑為r，MN=MBMD=r．eq\o\ac(△,)BHD中運(yùn)用勾股理可求出r，從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重．易證，從而可求出、、、OGOB、．OR=，利用=OB2﹣OR2BG2﹣2可求出x，而可求出BR．eq\o\ac(△,)中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題．（）eq\o\ac(△,)BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況①BDE，②BED=90°，DBE）論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立

22關(guān)于t的程就可解決問題．詳解：1）點(diǎn)作于，圖（），則COA，OCBH．OA，四形OCBH是矩形OCBH，OHOA，BC，AH﹣=﹣=6﹣．=90°，BAO，=

=1，BHHA=4，OCBH=4．故答案為．（）點(diǎn)作BH于，過點(diǎn)作GF于，過點(diǎn)B作BROG于，連接MN、，如圖1（）由1）：=2BH．與M相于，MNOC．設(shè)圓的半徑為，=MD=．OC，OCBCMNOA．=CNON，=

（+OD），=2r﹣，=

OD2r

．在eq\o\ac(△,)BHD中，BHD=90°，

=BH+2（）=42+（﹣．

解得：，DH=0，即點(diǎn)D與H重，BD0A，=AD．BD是M的直徑，BGD，即，BGAG．GF，OA，GFBD，AFG△ADB，AFGFAG11==，AF==2，=BD，OF，ADBD22OG=4同理可得：=2，AB=4

=25．2，BG

2．設(shè)OR=x，則RG=2x．OG，BROBRG，

2﹣=BG2﹣，（

5）﹣2（

）﹣2﹣x）．解得：=

365，BR2=OB﹣=（5）﹣（）=，=．556BR在eq\o\ac(△,)ORB中，==5=．OB2故答案為

．（）當(dāng)時(shí)點(diǎn)D在線上如圖2．此時(shí)=，+OP+=BC=2BDt．則t=2

，，解得：．則=CDDB=1．DEBDE△，點(diǎn)E的坐標(biāo)為1，）

1==，，EP，2②當(dāng)BED=90°時(shí)如圖．DBEOBC，BCO，DBEOBC，

BEDBBEt=，BE=2

t．PE，OEPBOC．OPE=BCO=90°，OPEBCO，

OEOB

=

OEt=，OE5t．BC252OEBE=2+

t．解得：=

，=，，PE=2=，3點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3

）．③當(dāng)DBE=90°時(shí)如圖．此時(shí)==6﹣，=OC+BCt=6t．則有OD=PEEA

PE2PA

=

2（﹣）

2﹣2?，BE=﹣EA

2﹣（﹣2t）

2﹣2．PE，=PE，=90°，四形是形，DEOP=t，，BED=BAO=45°．在eq\o\ac(△,Rt)DBE中，BED=

BEDE

=，=

2BE=

2t﹣

2）﹣．解得：，=4，PE﹣，點(diǎn)的標(biāo)為（，）綜上所述：當(dāng)以B、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，2）、（，）、（，）3

點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性．10．圖O的半徑為，經(jīng)O上一點(diǎn)O的切線交半徑的長于點(diǎn)B，作的平分線交于點(diǎn)D，于F，長DA交BC于點(diǎn)．（）證：OD；（）果DEBC，

的長度．【答案】（）明見解析；2）π．【解析】試題分析：1）OC=，平，證ACD，即可證得ACOD；（）O于CDEBC易證得平行四邊形ADOC是形，繼而可證eq\o\ac(△,得)是邊三角形，則可得：AOC，繼而求得弧AC的度．試題解析：1）明：OCODODCCD平ACO，=，ACDODCACOD；（）BC切O于點(diǎn)，．BC，OCDE．OD，四形ADOC是平行四邊形．OC，平四邊形ADOC是菱形，OC=，AOC是等邊三

角形，=60°，弧AC的長=

=2．點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及弧長公式．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．1）圖1，在矩形中點(diǎn)O在邊AB上，=，證：AOOB；（）圖2，O的徑，PA與O相于點(diǎn)A與O相于點(diǎn)C，連接CB=40°，的度數(shù)．【答案】（）明見解析；2）25°.【解析】試題分析：（）據(jù)等量代換可求AOD=BOC，根據(jù)矩形的對邊相等，每個(gè)角都是直角，可知A=B=90°AD=BC，根據(jù)三角全等的判定AAS證eq\o\ac(△,)AOD，從而得證結(jié)論．（）用切線性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)得到圓心的數(shù)，然后利用圓周角定理來求ABC的數(shù)．試題解析：1）AOC=BOD-即BOC四形是形A=，

BOC（）：AB是e直徑與O相于點(diǎn)，AB，又，AOP=50°，OB=OCB=OCB.又B+OCB，

OCB

AOP25

.12．圖，已知eq\o\ac(△,)ABC中，在AC上，以為徑O切AB于點(diǎn)，且

BC=BD（）證：為O的切線；（）BC=6，

，求O的半徑；（）（）的條件下，點(diǎn)上為一動(dòng)點(diǎn)，求BP的最大值與最小值【答案】（），明略；2）徑為3；3）大值35+3，5【解析】分析：1）接，，eq\o\ac(△,)ODB即可.（）sinA=

且BC=6可，且cosA=，然后求出的度即可5（）三角形三邊關(guān)系，可知當(dāng)連接OBO于點(diǎn)E、，點(diǎn)P分別于點(diǎn)E、重時(shí)，BP分別取最小值和最大值詳解：1）圖：連接、eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中OD=OC,OB=OB,BC=BD;OCB）C=90°.AB為的線（）圖：

sinA=

3，AB

,BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD=4,sinA=

，cosA=，5OA=5OD=3，即O的半徑為：（）圖：連，O為E，由三角形的三邊關(guān)系可知：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取小值由（）知OD=3DB=6,OB=

3

2

5

.

.當(dāng)點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)去大，35.點(diǎn)睛：本題屬于綜合類型題，主要考查了圓的綜合知.鍵是對三角函數(shù)值、勾股定理、全等三角形判定與性質(zhì)的理解13．圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓直徑AE的長線與大圓交于點(diǎn)B，D在大圓上，與小圓相切于點(diǎn)，的長線與大圓相交于點(diǎn)C，CEBD．出圖中相等的線段并證明．

【答案】見解析【解析】試題分析：由是的直徑，可得，接，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，然后由垂徑定理，可證得DF=BF，證得OFCE，據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得，而可得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得，．后連接OD、OC，證eq\o\ac(△,得)EOC，可得．試題解析：圖中相等的線段有：，DF=BF，，AB=CD，．證明如下：AE是O的直徑，OA=OE．連接OF，BD與相切于點(diǎn)，OFBD．BD是圓的弦，DF=BFCEBD，CEOF，AF=CF四形是行四邊形．，．CE：：，OF=AO，．連接、，OD=OC，EOC=OEC，AOC=EOC，AOD，AD=CE．BC=AD=CE=AE．

【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法，小心不要漏解．14．1）題背景如圖，是O的直徑，點(diǎn)O上AB=AC，為上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），求證：PA=PB+PC．小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出有三條線段AB，，，，就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊．于是，小明同學(xué)有如下思考過程：第一步：eq\o\ac(△,)PAC繞著點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)（①；第二步：證明QB，三共線，進(jìn)而原題得證．請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程．（）比遷移如圖，O的半徑為，點(diǎn)，在O上，為O內(nèi)點(diǎn)AB=AC，，垂足為A，求OC的小值．（）展延伸如圖，O的半徑為，點(diǎn)，在O上，為O內(nèi)點(diǎn)AB=為，則OC的小值為．

AC，，垂足【答案】（）明見解析；2）OC最值是32﹣；（）

．【解析】試題分析：1）eq\o\ac(△,)PAC繞點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)（①），只要證eq\o\ac(△,)APQ是等腰直角三角形即可解決問題；（）圖中，連接，eq\o\ac(△,)OAC繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)，接OB，，在BOQ中利用三邊關(guān)系定理即可解決問題；

（）圖構(gòu)造相似三角形即可解決問題．作OA，得

，接，，．eq\o\ac(△,)推出BQ=

，當(dāng)BQ最小時(shí)OC最；試題解析：1）eq\o\ac(△,)PAC繞點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)（①）；BC是徑BAC=90°，，ACB=ABC=45°，由旋轉(zhuǎn)可得QBA=PCA，ACB=APB=45°PC=QBPCA+，PBA=180°，Q，B，三點(diǎn)共線，BAP=，QP=AP=2AP2，QP=

2，

2AP=PC+PB．（）圖中，連接，eq\o\ac(△,)OAC繞A順針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)，接OB，，ABAC,BAC=90°,由旋轉(zhuǎn)可得，AQ=OA，QAB=OAC，BAO=BAO+OAC=90°在eq\o\ac(△,)OAQ中，

2，AO=3，eq\o\ac(△,)OQB中，﹣2﹣，即OC最值是3﹣；（）圖中，作OA，得AQ=

，接，BQ，OB．BAC=90°，QAB=，

QA4=，OA

，BQ=

，當(dāng)BQ最時(shí)OC最，易知，，，BQ≥OQ﹣，OQ，BQ的小為2的最小值為

×2=