初中七年級(jí)數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)講義專題23與角相關(guān)的問題

專題23與角有關(guān)的問題閱讀與思慮角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線構(gòu)成的圖形都出現(xiàn)角.角既能夠當(dāng)作有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形，也能夠當(dāng)作是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)地點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所成的圖形.按角的大小能夠分紅銳角、直角和鈍角.因?yàn)橹苯呛推浇窃诮侵酗@得特別重要，因此處于不一樣地點(diǎn)，但兩角的和是一個(gè)直角或是一個(gè)平角的角仍舊獲得我們的特別關(guān)注.兩角之和為直角的，這兩個(gè)角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的看法及其應(yīng)用在幾何計(jì)算和證明中都有十分重要的地位.解與角有關(guān)的問題常用到以下知識(shí)與方法：角的分類；角均分線的看法；互余、互補(bǔ)等數(shù)目關(guān)系角；用方程的看法來進(jìn)行角的計(jì)算.例題與求解【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了∠1和∠2，則12.12（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：對(duì)圖形進(jìn)行適合的辦理，經(jīng)過拼補(bǔ)求出12的值.【例2】假如與互補(bǔ)，且，則以下表示的余角的式子中：①90；②90；③1()；④1().此中正確的有（）22A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)（2013年浙江省衢江市數(shù)學(xué)比賽試題）解題思路：相互互余的角只需知足必定的數(shù)目關(guān)系即可，而與地點(diǎn)沒關(guān).【例3】已知AOB80，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線.OM，ON分別均分∠AOC，∠BOC.求∠MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）1AB'BOA'（湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題）解題思路：因OC地點(diǎn)不確立，故分類議論是解本例的重點(diǎn).【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時(shí)三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角均分，求x的值.（湖北省黃岡市比賽試題）解題思路：把秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角均分所得的兩個(gè)角用x的代數(shù)式表示，經(jīng)過解方程求出x的值.【例5】（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（如圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來.19°（2）現(xiàn)有一個(gè)17°的“模板”與鉛筆，你可否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？（3）用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，你可否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？對(duì)（2）（3）兩問，假如能，請(qǐng)你簡述畫法步驟；假如不可以，請(qǐng)你說明原因.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：若只連續(xù)使用模板，則獲得的是一個(gè)19°（或17°或21°）的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的重點(diǎn)是在于可否找到19°（或17°或21°）的一個(gè)倍數(shù)與某個(gè)特別角的某個(gè)倍數(shù)相差1°.【例6】如下圖，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE均分∠BOC.（1）如圖①，若AOC30，求∠DOE的度數(shù)；（2）在圖①中，若AOC，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；3）將圖①中的∠DOC繞極點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的地點(diǎn).①研究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明原因；②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，知足AOC4AOF2BOEAOF，試確立∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明原因2CEDC

EAOBAOBD圖①圖②（湖北省武漢市模擬試題）解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出∠DOE的度數(shù)；（2）先依據(jù)∠DOE與∠COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，而后用∠BOC表示出∠COE，再依據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用α表示出所求角的度數(shù)；3）①可設(shè)∠BOC為一個(gè)未知數(shù)，分別表示出∠AOC與∠DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；②聯(lián)合①把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.能力訓(xùn)練A級(jí)1.已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角余角的6倍，那么這個(gè)角等于.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）2.如圖，BOD45，AOE90，那么不大于90°的角有個(gè)，它們的度數(shù)之和是.EDCBOA（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）3.如圖，AOCBOD150，若AOD3BOC，則BOC等于.ABCOD34.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，AOD120，AOC90，OE均分∠BOD，則圖中相互互補(bǔ)的角有對(duì).CDEAOB（北京市“迎春杯”比賽試題）5.一個(gè)角的補(bǔ)角的1是6°，則這個(gè)角是（）17A.68°B.78°C.88°D.98°（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）6.用一副三角板能夠畫出大于0°且小于176°的不一樣角度有（）種A.9B.10C.11D.127.如圖，若AOB180，∠1是銳角，則∠1的余角是（）2A1BOA.121B.1231C.1(21)D.1(21)22223（甘肅省蘭州市比賽試題）8.如圖，AOB180，OD是∠COB的均分線，OE是∠AOC的均分線，設(shè)BOD，則與α的余角相等的角是（）ECDAαBOA.∠CODB.∠COEC.∠DOAD.∠COA9.如圖，已知COB2AOC，OD均分∠AOB，且COD19，求∠AOB的度數(shù).BDCOA4（北京市“迎春杯”比賽試題）10.如圖，已知∠AOB與∠BOC互為補(bǔ)角，OD是∠AOB的均分線，OE在∠BOC內(nèi)，BOE1EOC，2DOE72.求∠EOC的度數(shù).BEDAOC11.已知AOB80，OC均分∠AOB，COD60，OE均分∠COD.求∠AOE的大小.ACEBOD12.如圖，已知OB，OC，OD為∠AOE內(nèi)三條射線.（1）圖中共有多少個(gè)角？（2）若OB，OC，OD為∠AOE四均分線，且圖中全部銳角的和為400°，求∠AOE的度數(shù).（3）若AOE89，BOD30，求圖中全部銳角的和.ABCDEOB級(jí)1.已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角余角的3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是.（浙江省杭州市比賽試題）2.α，β，γ中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算1()的值時(shí)，有三位同15學(xué)分別算出了23°，24°，25°這三個(gè)不一樣的結(jié)果.此中只有一個(gè)是正確的答案，則.（江蘇省比賽試題）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個(gè)圖形中，不大于平角的角共有個(gè).5EDFCABO（五城市聯(lián)賽試題）4.如圖，射線OC，OD，OE，OF分別均分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若FOD24，則AOB.AEFCDOB（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）5.4點(diǎn)鐘后，從時(shí)針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）A.60B.30（“五羊杯”比賽試題）6.如圖是一個(gè)3×3的正方形，則圖中1239的和等于（）9

63825741A.270°B.315°C.360°D.405°（廣西省比賽試題）7.已知，OM，ON，OP分別是∠AOB，∠BOC，∠AOC的均分線，則以下各式中建立的是（）MPABNCOA.AOPMONB.AOPMONC.AOPMOND.以上狀況都有可能8.如圖，∠是直角，COD21.5，且，分別是∠，∠的均分線，則∠等于AOCOBODAOCBOEAOE（）6CDBEOA°B.138°°D.178°（五城市聯(lián)賽試題）如圖，在直線AB上取一點(diǎn)O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射線OF和OD分別均分∠COE和∠BOE.求證：AOFBOD3DOF.CFEDAOB10.如圖，∠AOA是一個(gè)平角，A3OA2A2OA1A4OA3A3OA2A5OA4A4OA3