華東師大初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)正多邊形和圓-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

正多邊形和—知識(shí)講解基礎(chǔ)）【習(xí)標(biāo)1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念對(duì)稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)識(shí)畫(huà)正多邊形；3.會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì).【點(diǎn)理要點(diǎn)一、正邊的念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．要詮：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件(1)邊相等；各相等；缺一不可如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊(正方形是正多邊).要點(diǎn)二、正邊的要素正多邊的接和的接多形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．正多邊的關(guān)念(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．正多邊的關(guān)算(1)正ｎ邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是(3)正ｎ邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.

；要詮：熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角要點(diǎn)三、正邊的質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成ｎ個(gè)全等的直角三角.3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊的中心當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相.它周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要詮：）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊.要四正多形畫(huà)用量角等圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形.用尺規(guī)分對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作.①正四、八邊形.在O中用尺規(guī)作兩條互相垂的直徑就可把圓分成4等，從而作出正四邊.再次平分邊所對(duì)的弧即作∠的平線交邊形.②正六、三、十二邊形的作.

于E)就可出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，別A、為圓，以⊙O的半為半徑畫(huà)弧與O相于C和、F，A、、、、、是⊙的等分點(diǎn).顯然，、、或C、、D)是O的等分

同樣，在圖(3)中分每條邊所的弧，就可把O12等….要詮：正邊形方法：）將一個(gè)圓n等，（2）順次連各等分.【型題類型一、正多形概1已如四形是O內(nèi)接正方形點(diǎn)P劣弧上不同于點(diǎn)C的任一點(diǎn)則BPC的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°．90°【答案A.【解析如圖，連接OB、OC，∠BOC=90°，根據(jù)圓周角定理，得：BPC=∠BOC=45°．故選A．【總結(jié)升華】本題主要考查了正形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用．舉反：【變】如，O是方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P在⊙上，∠APB等于（）A．30°B．45°．55°．60°【答案連接OA，OB．根據(jù)正形的性質(zhì)，得∠AOB=90°．再根據(jù)圓周角定理，得∠APB=45°．故選B．

【清ID號(hào)：356969

關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱例題1-22．如圖1，△是O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是O的內(nèi)正方形BC∥QR，則∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°．75°圖1【思路點(diǎn)撥】連接，據(jù)題意求出和∠AOD的度數(shù)，利用平行關(guān)系求出∠AOP度數(shù)，即可求出∠的數(shù)．【答案D.【解析如圖2，連接OD，由題可知∠POQ=120°∠AOD=90°由BC∥可知P為弧AD的點(diǎn)所以∠AOP=45°，所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°45°=75°．故選D．圖2【總結(jié)升華解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線（如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等，再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解．類型二、正多形圓有計(jì)

3鞍山一模）如圖，點(diǎn)GH別是正六邊形的的點(diǎn)，且BG=CH，AG交BH于P）求證eq\o\ac(△,)ABG△；（2）求∠的數(shù)．【答案與解析】（1）證明：∵在正六邊形中，∠C=120，在ABG與中，∴△ABG≌BCH；（2）解：由（）知eq\o\ac(△,)ABG△，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠，∴∠APH=°．【總結(jié)升華題查了正多邊的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的素．4巴彥淖爾）如圖，O的切正六邊形的邊為，圖中陰影部分的面積為（）A

B

C．D．【思路點(diǎn)撥】由六邊形ABCDEF是六邊形，所以∠，eq\o\ac(△,故)eq\o\ac(△,)OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設(shè)點(diǎn)G為與的點(diǎn)，連接OG則OG⊥，OG=OA，根據(jù)﹣，而可得出結(jié)論．OABOMN【答案與解析】解：∵六邊形ABCDEF是六邊形，∴∠AOB=60°∴△OAB是邊三角形，OA=OB=AB=2，

設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的點(diǎn)，連接OG則OG⊥AB∴OG=OAsin60°=2×，=∴S﹣=××OABOMN

﹣

=

﹣．故選A．【總結(jié)升華題考查的是正多形和圓據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出OAB是邊角形是解答此題的關(guān)鍵．舉反：【清ID號(hào)：356969關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱典題5-6【變】如圖是對(duì)中心為點(diǎn)的正六邊形．如果用一個(gè)含角直角三角板的角，借助點(diǎn)（角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處這個(gè)正邊形的面積等分，那么的所有可能的值