七年級數(shù)學(xué)《解一元一次方程中的同解原理》專項訓(xùn)練題（帶解析）

專題3.13斛一元一次方程中的同解原理（專項綜

可）

所謂同解原理:表示兩個方程的解完合相同，也就是一個方程的解滿足另一個方程的解,

在解題過程中，往往涉及到求參數(shù)，這時把方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)看作未知數(shù)的方程,從而達到解題

的目的.此類題型是考試中的?？碱}，下面精選了一些經(jīng)典題,供練習(xí)使用.

一、單選題

1.關(guān)于X的方程6x+3a=22和方程3x+5=ll的解相同，則”的值為（）

A.—B.54C.27D.40

3

2.方程x-4=-x與方程5x-2（x+Ar）=2x的解相同，則代數(shù)式女的值為（）

A.1B.-1C.0D.2

3.若關(guān)于x的方程3x-7=2x+a的解與方程4x+3a=7“-8的解互為相反數(shù)，則。的值

為（）

A.-2.5B.2.5C.1D.-1.2

c_17_1

4.如果關(guān)于x的方程r三二=：與r■=2|時-'的解相同，那么加的值是（）

632

A.1B.±1C.2D.±2

5.若方程2x+l=-l與關(guān)于x的方程1-2*-幻=2的解相同，則々的值是（）

A.1B.—C.—2D.—1

2

6.若關(guān)于x的一元一次方程三例-三絲=19的解,比關(guān)于x的一元一次方程-2（3x

-4zn）=l-5（x-加）的解大15,則加=（）

A.2B.1C.0D.-1

7.若方程5%-6=-3工+10和3工-2根=10的解相同，則小的值為（）

A.—2B.2C.D.—

8.若關(guān)于x的方程x+2=2（,"-x）的解滿足方程|x-g|=l,則〃7的值是（）

A.一或—B.—C.—D.；或一

444424

9.已知，關(guān)于x的方程2（x-l）+3=x與3（x+m）=m-1有相同的解，則以y為未知數(shù)的

i2

方程-gy+m=6-y的解為（）

A.5B.6C.-5D.-6

10.若關(guān)于X的一元一次方程募x+3=2x+6的解為x=-3,則關(guān)于y的一元一次方

程總（y+l）+3=2（y+l）+方的解為（）

A.y=lB.y=-2C.丁=一3D.y=-4

二、填空題

x—1x—2

11.x=時，式子亍與一了互為相反數(shù).

12.己知關(guān)于x的方程x+a=2r+l的解與方程4工-5=3。-1）的解相同，則a的值

13.若方程二----2=x-1與方程x+〃?=3的解的絕對值相等，則m=.

14.若x=l是方程2-：W-x）=2x的解，則關(guān)于），的方程〃?（y-3）-2=皿2y-5）的解

是.

15.已知m,n為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程（2〃+l）x=m（n+l）x=l的解相同，則

mn-.

16.已知兩個方程3（x+2）=5x和4x—3（a—x）=6x—7（。一x）有相同的解，那么a的值是

17.已知方程言=2-審的解也是方程段-2|=6的解，則》=—.

18.已知關(guān)于x的一元二次方程七x+3=2021x+8的解為x=2O23,則關(guān)于y的一元一

次方程盛（y+D=2021y+2018+〃的解為.

三、解答題

19.若方程12-3（x+l）=7-x的解與關(guān)于x的方程6-2￡=2（x+3）的解相同,求出的

值.

20.已知方程7x+2=3x-6與x-l=&的解相同，求3公-1的值

丫一

21.如果方程4三尸4一7=O三r4匚-1一1的解與方程4x—（3a+l）=6x+2a—l的解相同,求式子

a2-a+1的值.

22.已知關(guān)于x的方程：2（*-1）+1==與3（彳+曲=--1有相同的解,求關(guān)于y的方程

3-mym-3y

—~^=——的解.

32

23.已知方程寸=8-半的解與關(guān)于X的方程4x-（3a+l）=6x+2a-l的解相同，求

”的值.

24.我們把解相同的兩個方程稱為同解方程.例如:方程:2尤=6與方程4x=12的解都為

x=3,所以它們?yōu)橥夥匠?

⑴若方程2x-3=ll與關(guān)于x的方程4x+5=3Z是同解方程，求k的值;

（2）若關(guān)于的方程3x-2（x—專）=4x和3x+kl-5x

~V28-=1是同解方程，求人的值;

（3）若關(guān)于*的方程2x-3。=〃和4x+a+/=3是同解方程，求14/+6ab?+8a+6b2的值.

參考答案

1.A

【分析】先解3x+5=ll,可得x=2,再由同解方程的含義把把x=2代入6x+3a=22,求

解。的值即可.

國軍:3工+5=11

移項得：3工=6,

解得：x=2,

把冗=2代入6x+3a=22,

12+3a=22,

移項,合并同類項得：3a=10,

解得:a=g

故選A

【點撥】本題考查的是同解方程,理解兩個方程的解相同是解本題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】先對方程x-4=-x求解，由于兩個方程的解相同，將第一個方程的解代入

5x-2（x+"）=2x,求出”的值然后代入求解即可得.

解:x-4=-x,

2x=4,

x=2;

???兩個方程的解相同，

二將x=2代入5x-2（x+Z）=2x,得5x2-2（2+%）=2x2,

解得:&=1,

當(dāng)后=1時，

Jl2-l=l2-l=O,

故選:C.

【點撥】題目主要考查解一元一次方程及求代數(shù)式的值，理解題意,熟練掌握解一元一次

方程的方法是解題關(guān)鍵.

3.A

【分析】先將兩個一元一次方程的解求出，然后根據(jù)這兩個解互為相反數(shù)求解即可得.

解:3x—l=2x+a,

解得:x=a+7,

4x+3o=7a-8,

解得-2,

???方程的兩個解互為相反數(shù)，

??.。+7+a-2=0、

解得:d——2.5

故選:A.

【點撥】題目主要考查解一元一次方程的方程,相反數(shù)的定義，熟練掌握一元一次方程的

解法是解題關(guān)鍵.

4.D

【分析】解出第一個方程的解，代入第二個方程，求出的值即可.

去分母得5x-l=14,

移項、合并同類項得5x=15,

系數(shù)化為1得戶3,

把x=3代入芻^=2帆一元得l=2|m|-3,

/.|/n|=2,

；?m=±2,

故選:D.

【點撥】本題考查了同解方程，絕對值，把第一個方程的解代入第二個方程是解題的關(guān)

鍵.

5.B

【分析】求出第一個方程的解得到x的值，代入第二個方程計算即可求出左的值.

解:方程2亢+1=-1,

解得:%=/,

代入方程得：1+2+2:2,

解得:人”

故選:B.

【點撥】此題考查解一元一次方程——同解方程問題，解決問題的關(guān)鍵是求出一個方程

的解，代入另一個方程中，求出待定字母的值.

6.A

【分析】分別求出方程W3r—Sirix—m=19的解為x=114+1，方程

-2（3萬-4%）=1-5（N-%）的解為了=3旭-1,然后根據(jù)題意得到小鏟”=3皿-1+15,由此

求解即可.

3x-5m

解:X=i9

23

去分母得：3（3n一5加）一2（x—帆）=114,

去括號得：9x—15m—2x+2/%=114,

移項得：9x-2x=114+15/7?-2m,

合并得:7x=114+13w

114+13"?

系數(shù)化為1得:x=

7

-2（3x-4m）=l-5（x-m）

去括號得:-6x+M=1—5x+5m,

移項得：一6x+5x=l+5m-8m,

合并得:—％=1—3/22,

系數(shù)化為1得:工=3川-1;

?.?關(guān)于X的一元一次方程笥陽-亨=19的解,比關(guān)于X的一元一次方程

-2（3X-4M）=1-5（X-M）的解大15,

114+13加

二3機一1+15

7

???114+13〃？=21"+98.

解得加=2,

故選A.

【點撥】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次方

程的方法.

7.A

［分析］先求出第一個方程的解，把x的值代入第二個方程，即可求出m的值.

解:5x-6=-3x+10,

移項，得

5x+3x=10+6,

合并同類項，得

8x=16,

解得x=2.

把x=2代入3x-2加=10,

得3x2-2,〃=10.

移項，得

2m=6-10.

合并同類項，得

2m=-4,

系數(shù)化為1,得

m=-2.

故選:A.

【點撥】本題考查了同解方程，先求出第一個方程的解，把方程的解代入第二個方程得出

關(guān)于優(yōu)的一元一次方程是解題關(guān)鍵.

8.A

【分析】解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質(zhì)和絕對值符號內(nèi)代數(shù)式

的值分情況討論,即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解.

解:因為方程lx-[=1,

所以X-y=±1,

解得X=1■或X=-

因為關(guān)于x的方程x+2=2(m-x)的解滿足方程|x-||=1,

所以解方程x+2=2(m-x)得，

也3213

當(dāng)乂=5時,1口=1，

當(dāng)x=-；時,m=J.

24

131

所以m的值為或：.

44

故選:A.

【點撥】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是解含絕對值符號

的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質(zhì)和絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論.

9.B

【分析】根據(jù)方程2(x-l)+3=x可直接求出x的值，代入方程3(x+m)=m-I可求出m,

把所求m代入方程gy-|y+m=6-y,可得到關(guān)于y的一元一次方程，解答即可.

解:解方程2(x-l)+3=x得:x=-1,

■關(guān)于x的方程2(x-l)+3=x與3(x+m)=m-I有相同的解，

/.3(-l+m)=m-1,

解得:m=l,

?212

將m=l代入5y-§y+m=6-y,得5y--y+l=6-y.

解得y=6.

故選:B.

【點撥】本題考查同解方程及解一元一次方程,能夠求解關(guān)于x的方程，根據(jù)同解的定義

建立方程是解題關(guān)鍵.

10.D

【分析】運用整體思想，得到方程盛(>+1)+3=2()，+1)+。中,有“1=-3,即可答

案.

解:???關(guān)于x的一元一次方程=*x+3=2x+b的解為x=-3,

2022

.?.關(guān)于y的一元一次方程壺(y+D+3=2(y+l)+6中，有y+l=-3,

y=-4;

即方程/(y+l)+3=2(y+l)+b的解為y=T；

故選:D

【點撥】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程

y+l=-3是解此題的關(guān)鍵.

H.L

5

【分析】根據(jù)和是零的兩個數(shù)互為相反數(shù)列出方程，解方程即可.

解:根據(jù)題意得:F+9=0,

方程兩邊同乘以6得：3(x-l)+2(x-2)=0.

去括號:3x-3+2x-4=0,

合并同類項：5x-7=0

7

解得：x=:

7

故填:不

【點撥】本題主要考察相反數(shù)的代數(shù)意義和一元一次方程，根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)列出方程

是關(guān)鍵.

12.3

【分析】先求出方程4%-5=3(廠1)的解，再代入方程x+a=2x+l中，然后求出a的值即

可.

解:4x-5=3(x-l),

4x-5=3x-3,

4x-3x=5-3,

x=2,

?.?關(guān)于X的方程x+a=2x+l的解與方程4x-5=3(x-l)的解相同，

.?.2+a=4+1,

.,.a=3.

故答案為：3.

【點撥】本題考查的是同解方程的概念,掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

13.5或1##1或5

【分析】根據(jù)題意解出兩方程的解,得到等式并分情況討論得到"，的值.

解:2x+l-6=3x-3,

3x—2x=1—6+3,

x——2,

解:x+m=3,

x=3—mf

所以,|3-時=卜2|,

當(dāng)3-m=2,解得：機=1,

當(dāng)機一3=2,解得：m=5.

故機的值為：1或5.

【點撥】本題主要考查一元一次方程的求解，絕對值的性質(zhì);正確解出一元一次方程的解,

以及掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.y=0

（分析】把X=1代入關(guān)于X的方程2-，〃LX）=2x，求得m的值，再把〃?的值代入

利（y-3）-2=加（2k5）,從而可得答案.

解:把x=l代入關(guān)于x的方程2-g（m-x）=2x,

得2——x（/n-l）=2,

解得fn=1.

把，*=1代入關(guān)于y的方程"0—3）—2=加（2尸5）,

得y-3-2=2y-5,

解得y=（）.

故答案為:y=o.

【點撥】本題考查的是一元一次方程的解的含義和解一元一次方程.掌握一元一次方

程的解的含義是解題的關(guān)鍵.

15.0或-6

【分析】根據(jù)一元一次方程的解相同即可得到m,n的值；

解:?.,（2〃+1）X=〃7,

m

：.x=-----.

2n+l

又?.,(〃+l)x=l.

1

X-------,

〃+1

m

???由題可得:二一-

2〃+1n+1

2/7+1

/.m=

n+i

2(〃+1)-1

〃+1

〃+1

為整數(shù)，

=1或〃+l=—1,

當(dāng)72+1=1時,〃=0,代入可得:771=1,

當(dāng)"+1=一1時,"二一2,代入可得：相=3,

:.mn=0xl=0?Kmn=-2x3=-6.

故答案為0或-6.

【點撥】本題主要考查了一元一次方程的同解問題，準確計算是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)解方程，可得X的值,根據(jù)同解方程，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答

案.

解:由3(x+2)=5x解得x=3,

由兩個方程3(x+2)=5x和4x-3(a-x)=6x-7(a-x)有相同的解，得

9

12-3(a-3)=18-7(a-3),解得:a=-

故答案為，9

【點撥】本題考查了同解方程，利用同解方程得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵.

17.￥

【分析】先解方程Y—于2=2-x歲+3，得因Q為這個解也是方程|3x-2|=b的解，根據(jù)方程

的解的定義，把x代入方程|3x-2|=b中求出b的值.

解:由冷=2-等，得21=20—(5x+15),

解得：X=￡

913

所以可得8=3、亍-2=亍

故答案為:，13.

18.2022

【分析】將募"+l)=2021y+2()18+b進行變形,再根據(jù)換元法得出丁+1=-2023,進而

解答即可.

解:；圭(y+l)=2021y+2018+。，

(y+l)=2021y+2018+3+6-3,即一!一(y+l)+3=2021(y+l)+6,

；關(guān)于X的一元一次方程^^x+3=2021x+b的解為X=2O23,

，關(guān)于)的一元一次方程程表(y+1)=2021〉+2018+b的解，y+1=2023,

解得：y=2022,

故答案為：2022.

【點撥】此題考查一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)換元法解答.

19.-1

【分析】先解方程12-3（x+l）=7-x得x=l,根據(jù)同解方程的定義把x=l代入

6-2Z=2（x+3）得6-2%=8.然后解關(guān)于氏的一元一次方程即可.

解:?.?12-3（x+l）=7-x,

12-3x-3=7-x,

/.—2x=-2,

??x-1?

把x=l代入6—2Z=2（x+3）得：

6-2%=8,

:.k=-ly

的值為-1.

【點撥】本題考查了同解方程:如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程.

20.26

【分析】先解方程7x+2=3x-6,求出x的值，然后代入x-1=左中求出出的值，最后把火

的值代入式子中進行計算即可解答.

解:7x+2=3x-6,

7x-3x=-2-6,

4x=-8,

x=-2,

把》=-2代入x-1=女中可得：

k=-2-1=-3,

：.3k2-1

=3x（-3）2-1

=27-1

=26.

【點撥】本題考查了同解方程，熟練掌握同解方程的意義是解題的關(guān)鍵.

21.21

【分析】先解關(guān)于x的方程得出k10,將其代入方程4x-（3a+\）=6x+2a-\求得a的值，繼

而代入計算可得.

3（3x-4）-42=2（2x+l）-6

9x-12-42=4x+2-6

5x=Y+12+42

x=10

將x=10代入方程4x-(3a+l)=6x+2a—1

40-(3〃+1)=60+2〃?1,

解得〃=-4.

/_〃+1=(.4)2_(?4)+1=21?

【點撥】本題考查了同解方程，利用同解方程的出關(guān)于〃的方程是解題關(guān)鍵.

22.y=~

13

【分析】先求出方程2(%-1)+1=x的解，將解代入3(、+機)=m-1求出m,將m的值代入

主養(yǎng)=與曳求得方程的解.

解:解方程：2(x-l)+l=x，得X=l,

?.?方程2(》-1)+1=%與3"+，”)="一1有相同的解，

工將x=l代入3(工+加)=機一1,得3(l+m)=m-l,

解得m=-2,

將m=2代入手=矢型，

得3+2y=二口!

,32

2(3+2y)=3(-2-3y)

12

解得y=-

【點撥】此題考查同解方程，解一元一次方程，正確掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.

23.a=-4

【分析】分別解出兩方程的解，然后讓它們的解相等，即可求得a