四維幾何基礎(chǔ)知識(shí)四

本〈四維幾何基礎(chǔ)知識(shí)>系列文章一共有五章，分別為:第一章名詞術(shù)語(yǔ)和簡(jiǎn)單的夬第二章位置關(guān)系第三章投影第四章面軸第五章曲體這是其中的一章.如果您對(duì)其他章節(jié)感興趣，請(qǐng)?jiān)诎俣任膸?kù)中查找，或光臨本人的微博:“四維幾何基礎(chǔ)知識(shí)”，里面有打包下載的更新鏈接.四雄幾何基礎(chǔ)知識(shí)發(fā)布了頭條文章：■（四維幾何基礎(chǔ)文章，目回噫凡可叁三二:聿明2四雄幾何基礎(chǔ)知識(shí)發(fā)布了頭條文章：■（四維幾何基礎(chǔ)文章，目回噫凡可叁三二:聿明2日19W5來(lái)自微博wei&四維幾何基礎(chǔ)文章201802第一次更新在本系列文章中，有個(gè)非常重要的問(wèn)題要說(shuō)明，那就是“多胞體”這個(gè)名稱用"夬（ju。”字暫代了，例如:五胞體T五體夬,正八胞體T正方夬，超球體T圓夬.其原因已在〈前言〉中說(shuō)明,在此不再重復(fù).感謝您的關(guān)注,希望〈四維幾何基礎(chǔ)知識(shí)>系列文章能夠?yàn)槟膶W(xué)業(yè)有所幫助.作者四維幾何基礎(chǔ)知識(shí) （201802第一次更新）第四章面軸本章內(nèi)容是分析幾何形在四維空間中的旋轉(zhuǎn)，重點(diǎn)介紹四維及以上空間才存在的幾何定義:面軸.“面軸”這個(gè)詞在字面上是有爭(zhēng)議的，在三維幾何中，點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，線稱為旋轉(zhuǎn)軸，所以在四維空間中，面稱為軸是不合適的，軸在現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)圓柱體，從古代起就有車(chē)軸，磨軸，現(xiàn)代有各種各樣的機(jī)械軸，軸的概念和形態(tài)廣為大眾所熟知.而“面軸”這個(gè)幾何概念，如果制作成產(chǎn)品的話，必然是一個(gè)夬，是“四維人”使用的“四維機(jī)械”，它無(wú)法被我們?nèi)S人感受和認(rèn)知，也無(wú)法給它取個(gè)合適的三維名。所以在本文中暫時(shí)取名為“面軸”，以使讀者更容易的理解和想象。一〉 面軸的原理面軸旋轉(zhuǎn)就是以面為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，這樣的旋轉(zhuǎn)方式在三維空間是不可行的，因?yàn)橐粋€(gè)平面就占了二維，而旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)也是二維，在三維空間內(nèi)的幾何形如果以面為軸旋轉(zhuǎn)，其結(jié)果就是撞到這個(gè)面上，所以面軸只能出現(xiàn)在四維及以上空間.而以面為軸的旋轉(zhuǎn)，三維內(nèi)無(wú)法全面的觀察，為了描述這個(gè)狀態(tài)，我們先以線軸作為類(lèi)比。圖一中，OP是線軸，線段AB繞OP旋轉(zhuǎn).這個(gè)過(guò)程，我們可以把線段AB分解成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)作垂直于OP的直線與之相交，這樣可以看成每個(gè)點(diǎn)都以相交點(diǎn)為圓心，垂線長(zhǎng)度為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)。把所有的點(diǎn)連合起來(lái)，就是線段AB繞線軸OP旋轉(zhuǎn)不僅是線段，所有的幾何形繞線軸旋轉(zhuǎn)都可以分解成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)垂直于線軸旋轉(zhuǎn)，再把所有的旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)整合起來(lái)就是此幾何形繞線軸旋轉(zhuǎn)的過(guò)程。以上過(guò)程類(lèi)比到面軸，我們就可以得到以面為軸的旋轉(zhuǎn)原理：若幾何形圍繞面軸旋轉(zhuǎn)，可以看成此幾何形分解成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)作垂直于該面軸的垂線并相交于交點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)都以相交點(diǎn)為圓心，垂線長(zhǎng)度為半徑旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)樵搸缀涡螄@面軸旋轉(zhuǎn)的方向。把所有的旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)整合起來(lái)，就是此幾何形繞面軸旋轉(zhuǎn)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程描述比較復(fù)雜，但有另外一個(gè)描述比較簡(jiǎn)單，那就是“鏡子原理”，把面軸看作是一面鏡子，當(dāng)幾何形繞面軸旋轉(zhuǎn)180度后，它的位置和形態(tài)就是“鏡子中的自己“二＞旋轉(zhuǎn)方向.因?yàn)槊孑S本身是二維的，所以旋轉(zhuǎn)的方向是360度，這點(diǎn)與一維線軸有區(qū)別.當(dāng)我們確定面軸時(shí)，還要說(shuō)明旋轉(zhuǎn)的方向,這樣才能保證旋轉(zhuǎn)軌跡的唯一性.三＞定位線和定位面在四維空間中,還有以中心點(diǎn)，以線為軸的旋轉(zhuǎn)，這樣的旋轉(zhuǎn)最終都要轉(zhuǎn)化為以面為軸的旋轉(zhuǎn)，也需要說(shuō)明旋轉(zhuǎn)的方向，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，就要引入定位線和定位面的概念.我們先看下面的這個(gè)例子.在三維空間O-XYZ中有線段AB繞。點(diǎn)向X軸正方向旋轉(zhuǎn)，求線段AB的旋轉(zhuǎn)軌跡.（圖二左）從例子中所提供的條件，是沒(méi)辦法確定線段AB的旋轉(zhuǎn)軌跡的，必須再加上一個(gè)條件：在線段AB上有一點(diǎn)C,以CO為定位線晌X軸正方向旋轉(zhuǎn)，這樣一來(lái)線段AB的旋轉(zhuǎn)軌跡就確定了.（圖二右）將定位線的概念引入四維空間，就能得到這樣的定義:在四維空間中，有幾何形a繞線軸L旋轉(zhuǎn)，在幾何形a有一關(guān)鍵點(diǎn)A,經(jīng)點(diǎn)A和線軸L作一平面，此平面即為定位面.經(jīng)線軸L作平面S垂直于定位面，則平面S是幾何形a的面軸，結(jié)合幾何形a的旋轉(zhuǎn)方向，就可以確定幾何形a的旋轉(zhuǎn)軌跡.如果幾何形繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，必須要求得相對(duì)應(yīng)的定位面和面軸，才能確定幾何形的旋轉(zhuǎn)軌跡.例一：有一四維空間O-XYZW在底空間O-XYZ中，有一正方體OABC-DEFG棱長(zhǎng)為L(zhǎng),現(xiàn)在以面OABC為定位面，線段OA為軸,將此正方體旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)閃軸正方向,求旋轉(zhuǎn)軌跡形成的夬的夬積.（圖三）

答:從圖中可知,平面OAED垂直于平面OABC,平面OAED是此正方體旋轉(zhuǎn)的面軸.現(xiàn)在將平面BCGF分解成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)作垂線垂直于面軸OAED,則每條垂線的長(zhǎng)度均為L(zhǎng),將所有的垂線繞垂直點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，可以得到無(wú)數(shù)個(gè)面積為n(LA2)的圓,而之前的那無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，分解自一個(gè)面積為(LA2)的正方形，所以旋轉(zhuǎn)軌跡形成的夬的夬積為：j=S1*S2=n(LA2)*(LA2)=n(LA4)新形成的夬是一個(gè)圓柱柱夬，它的底體與頂體為圓柱體，側(cè)體為兩個(gè)圓柱體和一個(gè)四維的圓柱面柱體.例二：有一四維空間O-XYZW在底空間O-XYZ中，有一正方體OABC-DEFG棱長(zhǎng)為L(zhǎng),現(xiàn)在以面OAFG為定位面，線段OA為軸,將此正方體旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)閃軸正方向,求旋轉(zhuǎn)軌跡形成的夬的夬積.(圖四)答:從圖四中可以看出，平面OAFG是正方體的對(duì)角面，作平面S垂直于平面OAFG且相交于線段。4則平面S為此次旋轉(zhuǎn)的面軸.把正方體分解成無(wú)數(shù)點(diǎn)，繞面軸旋轉(zhuǎn)一周形成無(wú)數(shù)個(gè)圓圈，將所有的圓圈集合在一起，就是所求的夬積.而所有的這些點(diǎn)中，與面軸等距離的點(diǎn)組成一個(gè)與面軸平行的平面.此題可用積分方法求解.在正方體中，線段GO垂直于面軸S,也垂直于線軸OA,它的長(zhǎng)度為(J2)L.將正方體分解成無(wú)數(shù)個(gè)平行于面軸S的平面，這些平面分為兩部分:在與面軸S的距離處于0和(J2)L/2之間時(shí)，面積公式為：S=(cot(n/4))*H*2*L=2LH其中H為該平面到面軸S的距離.與面軸S的距離處于(J2)L/2和(J2)L之間時(shí)，面積公式為：S=(cot(n/4))*((J2)L-H)*2*L=2L((J2)L-H)這樣我們可以得到兩個(gè)積分公式：p^L/2To2nH*2LH2nH*2L(V2L-H)?/2 ' f計(jì)算得到：J=J1+J2=((J2)/3)n(LA4)+((2J2)/3)n(LA4)=(J2)n(LA4)這是一個(gè)菱環(huán)柱夬，它的底體和頂體為菱環(huán)體，側(cè)體為2個(gè)四維圓錐面柱體和2個(gè)四維圓錐臺(tái)面柱體.例三：用面軸旋轉(zhuǎn)的原理驗(yàn)證圓夬的體積公式.(圖五)答:在三維空間中，我們用半個(gè)圓面，繞直徑旋轉(zhuǎn)一周,就可以得到一個(gè)圓球.同樣的道理,在四維空間中用半個(gè)圓球，以大圓面作面軸，向第四維方向旋轉(zhuǎn)一周,就能得到圓夬.將半徑為R的半個(gè)圓球分解成無(wú)數(shù)個(gè)平行于面軸的圓面，以其中一個(gè)圓面作參照,圓面上的每個(gè)點(diǎn)與面軸的距離都是相等的.把每個(gè)點(diǎn)作垂線垂直于面軸，再以垂線長(zhǎng)度作半徑,與面軸交點(diǎn)作圓心畫(huà)圓，這樣無(wú)數(shù)個(gè)圓面上的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，可以得到無(wú)數(shù)個(gè)圓圈.把這無(wú)數(shù)個(gè)圓圈集合起來(lái)，就是圓夬的夬積.設(shè)某個(gè)平行于面軸的圓面的圓心為P,圓周上有一點(diǎn)A,連接點(diǎn)P與球心O,則OP等于圓面上的每個(gè)點(diǎn)