數(shù)學史論文《函數(shù)概念的發(fā)展》

數(shù)學史論文《函數(shù)概念的發(fā)展》*********大學*********專業(yè)《數(shù)學史》論文函數(shù)概念的發(fā)展專業(yè)：*********班級：*********老師：*********函數(shù)概念的發(fā)展（*********大學*********學院*********專業(yè)***級*班）一、早期的函數(shù)概念—變量說馬克思曾認為，函數(shù)概念是源于代數(shù)中自羅馬時代就已經(jīng)開始的不定方程的研究，那時，偉大的數(shù)學家丟番圖對不定方程的研究已有相當程度，據(jù)此，可以認為函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽。實際上作為變量和函數(shù)的樸素概念，幾乎和數(shù)學源于同一時期，因為數(shù)學家在研究物體的大小及位置關(guān)系時，自然會導致通常稱為函數(shù)關(guān)系的那種從屬關(guān)系。但是，真正導致函數(shù)概念得以迅速發(fā)展則是在16世紀以后，特別是由于微積分的建立，伴隨這一學科的產(chǎn)生、發(fā)展和完善，函數(shù)概念也經(jīng)歷了產(chǎn)生、發(fā)展和完善的演變過程。十七世紀伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念。到了17世紀，牛頓在創(chuàng)立微積分的過程中一直用“流量”一詞來表示變量之間的依賴關(guān)系，并且從運動的角度，把曲線看成是動點的軌跡。他在《求曲邊形的面積》中說：“我認為這里的數(shù)學量，不是由小塊合成的，而是由連續(xù)運動描出的，線(曲線)是描畫出來的，因而它的產(chǎn)生不是由于湊零為整，而是由于點的連續(xù)運動…”格雷果里在他的論文《論圓和雙曲線的求積》中，給出函數(shù)這一模式的素樸描述，他定義函數(shù)是從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的量，或者是經(jīng)過任何其它可以想象到的運算而得到的。據(jù)他自己解釋，這里的“可以想象到的運算，除了加、減、乘、除和開方外，還有極限運算。格雷果里給出的是函數(shù)的解析定義，由于此后不久就證明這一定義太狹窄，也就逐漸被人們遺忘。"函數(shù)"作為數(shù)學術(shù)語是由微積分的另一位創(chuàng)立者萊布尼茲于1673年引進的,他用"函數(shù)"一詞表示任一個隨著曲線上的點變動的量,并指出:"象曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等,所有與曲線上的點有關(guān)的量稱為函數(shù)."除此以外,他還引進了“常量”、“變量”和“參變量”等概念,一直沿用到現(xiàn)在,這個定義僅是在幾何范圍內(nèi)揭示某些量之問所存在的依賴關(guān)系,并無給出函數(shù)的解析定義,因此,萊布尼茲所給出的函數(shù)的定義可看成是“函數(shù)概念的幾何起源"?？傊搅?7世紀末，人們還沒有從普遍意義上對函數(shù)這一概念的本質(zhì)認識清楚。二、函數(shù)概念的發(fā)展階段—對應說正如所知,微積分是一門研究變量和函數(shù)的學科。盡管牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但由于他們對包括函數(shù)在內(nèi)的一些基本概念，特別是對微積分賴以建立的基礎一無窮小量的認識含混不清，出現(xiàn)了運算過程中的邏輯矛盾，導致了數(shù)學發(fā)展史上所謂的第二次數(shù)學危機。從而促使了數(shù)學家進一步尋找微積分可靠的基礎，在這艱苦的探索過程中，函數(shù)自然也就成為數(shù)學家必須研究的對象。第一個在萊布尼茲工作的基礎上作出函數(shù)概念推廣的是約翰·貝努里。1718年約翰·貝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。18世紀中葉歐拉(l．euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式。他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。除此之外，歐拉還規(guī)定一個給定的函數(shù)在它的整個“定義域”內(nèi)是由同樣一個“解析表達式"來描述的，這種觀點在數(shù)學家拉格朗日的著作中也有所體現(xiàn),如在他的名著《解析函數(shù)論》中,他把函數(shù)定義為在其中可以按任何形式出現(xiàn)并對計算有用的表達式。他在《函數(shù)計算教程》中說：“函數(shù)代表著要得到未知量的值而對已知量要完成的那些不同運算，未知量的值本質(zhì)上只是計算的最終結(jié)果。也就是說，函數(shù)是運算的一個組合?！北M管后來由于歐拉、達朗貝爾和丹尼爾·貝努里在偏微分方程的研究中發(fā)現(xiàn)：整條曲線并不能用一個方程來表示，這迫使數(shù)學家修正函數(shù)的概念，但到了18世紀，甚至19世紀初，函數(shù)由一個解析式給出的觀點仍然占統(tǒng)治地位，并認為連續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個解析表達式表示，由不連續(xù)的曲線或折線所表示的函數(shù)不可能由一個解析式表示。由于受到多項式函數(shù)的影響，即若對于n+1個x的值多項式與都相等，則這兩個多項式相等。人們普遍認為，對區(qū)間上的一切值，恒有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)是完