改后第四章概率論習(xí)題-奇數(shù)答案

.第四章概率論習(xí)題__奇MN1某批產(chǎn)品共有件，其中正品件（0NM）。從整批產(chǎn)品中隨機(jī)的進(jìn)行有放回抽樣，每次抽取一件，記錄產(chǎn)品是正品還是次品后放回，抽取了n次（n1）。試求這次中n抽到正品的平均次數(shù)。N解每次抽到正品的概率為：，放回抽取，抽取次，抽到正品的平均次數(shù)為：NnMnM1fx,xRX3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為X，這時(shí)稱服從標(biāo)準(zhǔn)柯西分布。1x2X試證的數(shù)學(xué)期望不存在。xdx1ln(1x2)|xf()2xdx解由于：0(1x2)0X所以的數(shù)學(xué)期望不存在。5直線上一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0從原點(diǎn)出發(fā)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間向左或者向右移動(dòng)一個(gè)單位，若每次移動(dòng)是相互獨(dú)立的，并且向右移動(dòng)的概率為p（0p1n）。表示到時(shí)刻為止質(zhì)點(diǎn)nn1nSnSn向右移動(dòng)的次數(shù)，表示在時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位，置。求與的期望。npn解每次向右移動(dòng)的概率為，到時(shí)刻為止質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的平均次數(shù)，即的期望為：nE()npnnS時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置的期望為：E()Snpn(1p)(n2p1)nn1T7某信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)短（以秒計(jì)）滿足：PTtet1et0t，。用兩種方法求出2ET。解方法1：由于P(0)T1，所以T為非負(fù)隨機(jī)變量。于是有：1E()TP()Ttdtet(1et)dt324(1F())tdt000方法二：由于P(0)T1，所以，可以求出T的概率函數(shù)：0,t0f()t1et(12et),t023tf()tdt于是E()ttf()tdt409已知一根長(zhǎng)度為1的棍子上有個(gè)標(biāo)志點(diǎn)Q，現(xiàn)隨機(jī)的將此棍（1）求包含Q點(diǎn)的那一段棍子的平均長(zhǎng)度（若截點(diǎn)剛好在Q點(diǎn)，則認(rèn)為Q包含在較短的一截內(nèi)）；子截成兩段。精選文檔..（2）當(dāng)Ｑ位于棍子何處時(shí)，包含Ｑ點(diǎn)的棍子平均長(zhǎng)度達(dá)到最大？解設(shè)棍子上的點(diǎn)是在[0,1]之間的，Q點(diǎn)的位置距離端點(diǎn)0的長(zhǎng)度為q。設(shè)棍子是在t點(diǎn)處跌斷，t服從[0,1]的均勻分布。于是：包含Q點(diǎn)的棍子長(zhǎng)度為T，則：t,qt1T1t,0tq，qt1min(q,1q),tq于是包Q點(diǎn)的那一段棍子的平均長(zhǎng)度為：tdt1qq2E(T)Tdx(1t)dt1q1200q11、為診斷５００人是否有人患有某種疾病，抽血化驗(yàn)?？捎脙煞N方法：（Ｉ）每個(gè)人化驗(yàn)500k1一次；（II）分成ｋ人一組（共５００／ｋ組，假設(shè)為正整數(shù)，）。將每組ｋ人的k血樣集中起來(lái)一起檢驗(yàn)，如果化驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說(shuō)明組內(nèi)的每人都是陰性，就無(wú)需分別化驗(yàn)。若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則說(shuō)明這ｋ人中至少有一人患病，那么就對(duì)該組內(nèi)的ｋ人再單獨(dú)化驗(yàn)。如果此病的得病率為３０％，試問(wèn)哪種方法的檢驗(yàn)次數(shù)相對(duì)少些？解(I)每個(gè)人化驗(yàn)一次，需要化驗(yàn)500次500（II）分成k組，對(duì)每一組進(jìn)行化驗(yàn)一共化驗(yàn)次，每組化驗(yàn)為陽(yáng)性的概率為：10.7k，k若該組檢驗(yàn)為陽(yáng)性的話，需對(duì)每個(gè)人進(jìn)行化驗(yàn)需要k次，于是該方法需要化驗(yàn)的次數(shù)為：500(1(10.7k)k)。k500將（II）的次數(shù)減去（I）的次數(shù)，得：(1(10.7k)k)500500(10.7k)kk于是：1當(dāng)1時(shí)，第二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)少一些；當(dāng)0.7k00.7k0時(shí)，第一種方法檢驗(yàn)的kk1次數(shù)少一些；當(dāng)0.7k0時(shí)，二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)一樣多。krr013、某電子監(jiān)視器的圓形屏幕半徑為（），若目標(biāo)出現(xiàn)的位置點(diǎn)Ａ服從均勻分布。設(shè)Ａ的平面直角坐標(biāo)為X,Y。（１）求E(X)與E(Y)；（２）求點(diǎn)Ａ與屏幕中心位置0,0的平均距離。解由題意知：12,rxr2,ryr，f(x)r0，其他值,x,y在圓內(nèi)，f(x,y)rf(x)r2XY0，其他值0，其他值2（1）計(jì)算可得E(X)E(Y)rxdx0rr（2）A的位置是x,y，距中心位置（0，0）的距離是：x2y2，于是所求的平均距離為：精選文檔..12rdxdyr3x2y2E(X2Y2)2x2y2r2315、接第13題，求當(dāng)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)的條件期望。rY21,r2x2yr2x2f(x,y)解f(y|x)2rf(x)XY|X0，其他值f(3r,y)21rr,yf(y|3r)2r222f(3r)Y|X0，其他值2X于是：3r1rE(Y|X)ydy0222rr217、某技術(shù)考試，成績(jī)必為0,1，…，10這11個(gè)數(shù)之一，而且考生取得每個(gè)成績(jī)的可能性XY相同。第一次考試，若考生成績(jī)?yōu)?，然后需繼續(xù)參加下一次考試，直到他獲得的成績(jī)不Z低于第一次考試為止。記第一次考試后，又進(jìn)行了次才通過(guò)第二次考試。由于每次考題都是在題庫(kù)中隨機(jī)抽取的，所以所有考試均相互獨(dú)立。（1）求最終的平均成績(jī)EY解：由題意知P(Xk)1；（2）求EZ。11，其中k0,1,2,10。于是P(Yk,Xi)0,ik1,,1111P(Yk,Xi)P(Xi)P(Yk|Xi),i0,1,,k1111i11kk從而P(Yk)P(Yk,Xi)1111ii0i0110k于是：E(Y)k7.511ik0i010(11i)ik1又P(Zk)11k1i1110從而E(Z)P(Zk)k3.02(11i)i1k1精選文檔..19、隨機(jī)變量X服從Gamma分布，概率密度函數(shù)為fxx1ex，x0，其EXk1DX中，稱為“形狀參數(shù)”，稱為“尺度參數(shù)”。求（）和。k00()k,(k1)xx1exdxk解E()Xka()()k0a(2)(1)[]2axx1exdx[D()Xxx1exdx]22()()()()220021、機(jī)器處于不同狀態(tài)時(shí)制造產(chǎn)品的質(zhì)量有所差異。如果機(jī)器運(yùn)作正常，則產(chǎn)品的正品率為98%；如果機(jī)器老化，則產(chǎn)品的正品率為90%；如果機(jī)器處于需要維修的狀態(tài)，則產(chǎn)品的正品率為74%。機(jī)器正常運(yùn)作的概率為0.7，老化的概率為0.2，需要維修的概率為0.1.先隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品（假設(shè)生產(chǎn)這些產(chǎn)品的機(jī)器的狀態(tài)相互獨(dú)立），求（1）產(chǎn)品中非正品數(shù)的期望與方差；（2）在已知這些產(chǎn)品都是正常機(jī)器制造出來(lái)的條件下，求正品數(shù)的期望和方差。解(1)設(shè)p表示從產(chǎn)品取到非正品的概率，于是有：p(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)0.06，用X表示產(chǎn)品中非正品數(shù)，X服從二項(xiàng)分布B(100，0.06)，有：E()XkP(Xk)1000.066100k0D()X100p(1p)5.64（參考77頁(yè)的例4.2.5）（3）用Y表示在該條件下正品數(shù)，Y服從二項(xiàng)分布B(100,0.98)，于是E()Y1000.9898D()X1000.98(10.98)1.96XY23、設(shè)隨機(jī)變量和獨(dú)立，且方差存在，證明：D()()()(())()(())()XYDXDYEX2DYEY2DX解證明：D()(())(())XYEXYEXY2E(X2Y2)(())EXY22E()()(()())(X2EY2EXEY2由于X,Y相互獨(dú)立)=(D()())((XEXDYE())()()YEX2EY222D()()(())()(())()XDYEX2DYEY2DXXX25、接第20，題（1）求與的相關(guān)系數(shù)，并判斷兩者是否相關(guān)；XX（2）判斷與是否獨(dú)立？精選文檔..解（1）由相關(guān)系數(shù)的定義，得：Cov(X,X)XX，其中Cov(X,X)E(XX)E(X)E(X)D(X)D(X)XX通過(guò)計(jì)算得Cov(X,X)0，即（2）很顯然，X與X不是相互獨(dú)立的。27、隨機(jī)三角形ABC，角A與角B獨(dú)立同分布，其分布律均為0，從而說(shuō)明X,X是不相關(guān)的。/6/3/4AP1322181。已知EsinAE(cosA)00其中，，且滿足。（1）寫(xiě)出A,B的聯(lián)合分布律；（2）求EsinC；（3）求角A與角C的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷它們的相關(guān)性（若相關(guān)，要求說(shuō)明是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)）。解（1）由題意得：E(A)(1)3466612E(sinA)sinsinsin，E(cosA)coscoscos6126126611，結(jié)合已知條件，可求出：42由于A和B是獨(dú)立同分布的，于是（A,B）的聯(lián)合分布律為：ABP(A=i)3461/161/81/161/431/81/41/81/2461/161/81/161/4（2）精選文檔..E(sin)CE(sin(BA))E(sincosBA)E(cossin)BAE(sin)BE(cos)AE(cos)BE(sin)A2[3221]20.9668Cov(A,C)（3）AC，其中D(A)D(C)Cov(A,C)Cov(A,AB)Cov(A,A)Cov(A,B)Cov(A,A)D(A)D(C)D(AB)D(A)D(B)2D(A)所以：AC，說(shuō)明A和C是負(fù)相關(guān)的。Cov(A,C)1D(A)D(C)2XY），若和相29、設(shè)X~N(0,1)Y1PY1p（0p1，的可能取值為，且互獨(dú)立，并記XY。X；（2）計(jì)算，并判斷與的相關(guān)性和獨(dú)立性。（1）證明：~N(0,1)XXY解（1）證明：由于和相互獨(dú)立，于是由題意得E()E(XY)E(X)E(Y)0D()D(XY)D(X)D(Y)(E(X))2D(Y)(E(Y))2D(X)4p(1p)(2p1)21從而有~N(0,1)（2）Cov(X,)XCov(X,)Cov(X,XY)E(X2Y)E(X)E(XY)D(X)D()E(X2)E(Y)E(X)2E(Y)E(Y)2p1p12p1，即0X時(shí)，和是不相關(guān)的；當(dāng)X時(shí)，說(shuō)明和是正相關(guān)的當(dāng)當(dāng)2XCp1，即0X時(shí)，說(shuō)明和是負(fù)相關(guān)的2XCX顯然，和是不獨(dú)立的31、求參數(shù)為的泊松分布的眾數(shù)。ek解（1）泊松分布的表示式為：P(Xk),k0,1,k!，于是通過(guò)計(jì)算有：精選文檔..P(Xk1)P(Xk)k11,當(dāng)k1P(Xk1)1,當(dāng)k1故：P(Xk)1,當(dāng)k1因此若為正整數(shù)，則眾數(shù)為和-1；當(dāng)不為正整數(shù)時(shí)，則眾數(shù)為的整數(shù)部分[]。33、三元正態(tài)變量XX,X,XNa,Ba0,0,1，其中，123121。B2160104X（1）寫(xiě)出的每個(gè)分量的分布；XXX3（2）判別，，的相關(guān)性與獨(dú)立性；12（3）若YXX，YXX，求YY,Y12的分布。112231解（1）由題意可知：D(X)1,E(X)0，說(shuō)明X~N(0,1)111D(X)1,E(X)