數(shù)學(xué)物理方法69880

《數(shù)學(xué)物理方法》試題（A卷）說(shuō)明：本試題共3頁(yè)四大題，30小題。1．為復(fù)數(shù)，則（）。A沒(méi)有意義；B為周期函數(shù)；C為周期函數(shù)；D。2．下列積分不為零的是（）。A；B；C；D。3．下列方程是波動(dòng)方程的是（）。A；B；C；D。4．泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為（）。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5．二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是（）。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6．一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時(shí)有則我們稱(chēng)（）。A收斂于；B絕對(duì)收斂于；C弱收斂于；D條件收斂于。7．傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)（）。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8．用分離變量法求解偏微分方程定解問(wèn)題的一般步驟是（）。A分離變量解單變量本征值問(wèn)題得單變量解得分離變量解；B分離變量得單變量解解單變量本征值問(wèn)題得分離變量解；C解單變量本征值問(wèn)題得單變量解分離變量得分離變量解；D解單變量本征值問(wèn)題分離變量得單變量解得分離變量解。9．下列表述中不正確的是（）。A在處是二階極點(diǎn)；B某復(fù)變函數(shù)在開(kāi)復(fù)平面內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)，所有這些奇點(diǎn)的殘數(shù)之和為零；C殘數(shù)定理表明，解析函數(shù)的圍線積分為復(fù)數(shù)；D某復(fù)變函數(shù)在某處為階極點(diǎn)，則其倒函數(shù)在該奇點(diǎn)處為階零點(diǎn)。10．函數(shù)以為中心的Laurent展開(kāi)的系數(shù)公式為（）。11．復(fù)數(shù)的幅角為，模為。12．。13．的收斂區(qū)間為。14．的收斂區(qū)間。15．。16．一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。17．波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。18．熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為。19．寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。20．的傅里葉變換的逆傅里葉變換是。21．。22．本征方程的本征值為。23．某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。24．將在上展成羅朗級(jí)數(shù)；25．計(jì)算；26．證明；27．求（是常數(shù)）的傅里葉變推換；28．求（是常數(shù)）的拉普拉斯變推換。29．求解定解解問(wèn)題30．求解定解解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方法試卷（A）答案一、1B2C3A4B5D6C7C8A9C10A二、1，；20；3全平面；4；51；6；7諧波，波腹；8；9；10；111；12；三、1解：2解3證明：故4解5解四、解：所求問(wèn)題是波動(dòng)方程的混合問(wèn)題，其傅氏解為：其中，即有：五、解：所求問(wèn)題是拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問(wèn)題，其傅氏解為：其中，故有：宜賓學(xué)院——學(xué)年度期《數(shù)學(xué)物理方法》試題（B卷）題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分說(shuō)明：本試題共3頁(yè)四大題，30小題。得分閱卷人一、選擇題（每小題3分，共30分）1．復(fù)變函數(shù)在奇點(diǎn)展開(kāi)時(shí)沒(méi)有主要部分，奇點(diǎn)是何種奇點(diǎn)（）。本性奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極點(diǎn)。2．下列積分不為零的是（）。A；B；C；D。3．級(jí)數(shù)的收斂半徑為（）。0。4．泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為（）。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5．二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是（）。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6．一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時(shí)有則我們稱(chēng)（）。A收斂于；B絕對(duì)收斂于；C弱收斂于；D條件收斂于。7．傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)（）。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8．函數(shù)在點(diǎn)處的殘數(shù)（）。。9．下列表述中不正確的是（）。A在處是二階極點(diǎn)；B某復(fù)變函數(shù)在開(kāi)復(fù)平面內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)，所有這些奇點(diǎn)的殘數(shù)之和為零；C殘數(shù)定理表明，解析函數(shù)的圍線積分為復(fù)數(shù)；D某復(fù)變函數(shù)在某處為階極點(diǎn)，則其倒函數(shù)在該奇點(diǎn)處為階零點(diǎn)。10．你認(rèn)為作為一個(gè)積極向上的學(xué)生應(yīng)該（）。A提前到教室，盡可能前排就座，并檢查自己座位是否整潔；B提前到教室，盡可能后排就座，并檢查講座、黑板是否整潔；C踩著鈴聲到教室，盡可能前排就座；D提前到教室，盡可能前排就座，并檢查講座、黑板是否整潔。得分閱卷人二、填空題（每空題1分，共15分）11．復(fù)數(shù)的幅角為，模為。12．。13．的收斂區(qū)間為。14．的收斂區(qū)間。15．。16．一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。17．波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。18．熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為。19．寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。20．的傅里葉變換的逆傅里葉變換是。21．。22．已知，則。23．某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。得分閱卷人三、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）將在上展成羅朗級(jí)數(shù)；25．計(jì)算；26．證明；27．試用Fourier變換法求解如下擴(kuò)散方程的初值問(wèn)題；求（是常數(shù)）的拉普拉斯變推換。得分閱卷人四、計(jì)算題（第29題10分，第30題15分，共25分）求解定解解問(wèn)題30．設(shè)有一中空的長(zhǎng)方盒，其位置如圖所使，該盒除了的面上的電勢(shì)為外，所有其他幾個(gè)面的電勢(shì)均為零，求盒內(nèi)各處的電位。數(shù)學(xué)物理方法試卷（B）答案一、1C2C3A4B5D6C7C8B9C10D二、1，；20；3全平面；4；51；6；7諧波，波腹；8；9；10；111；12；三、1解：2解3證明：因?yàn)?解對(duì)方程和初始條件關(guān)于變量施行Fourier變換，并記（1分）并注意到由（5）式有則原定解問(wèn)題化為（1分）解之得（2分）求逆變換，得（2分）5解四、解：所求問(wèn)題是波動(dòng)方程的混合問(wèn)題，其傅氏解為：其中，即有：五、解：其定解問(wèn)題為令代入（1）式后兩邊乘以得令（2分）并令則得（3分）其中將(6)式代入(2)、(3)、(4)得（1分）（1分）（1分）解本征值問(wèn)題(7)、(10);(8)、(11)和(9)、(12)分別得（1分）（1分）（1分）所以（1分）將此解代入邊界條件(5)得（3分）故有（3分）（2分）宜賓學(xué)院——學(xué)年度期《數(shù)學(xué)物理方法》試題（C卷）題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分說(shuō)明：本試題共3頁(yè)四大題，30小題。得分閱卷人一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列函數(shù)不是函數(shù)的是（）2．下列積分不為零的是（）。A；B；C；D。3．下列函數(shù)中是三維拉普拉斯方程的解的是（）。A；B；C；D。4．球內(nèi)一點(diǎn)的格林函數(shù)為（）。ABCD5．二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是（）。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6．一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時(shí)有則我們稱(chēng)（）。A收斂于；B絕對(duì)收斂于；C弱收斂于；D條件收斂于。7．傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)（）。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8．用分離變量法求解偏微分方程定解問(wèn)題的一般步驟是（）。A分離變量解單變量本征值問(wèn)題得單變量解得分離變量解；B分離變量得單變量解解單變量本征值問(wèn)題得分離變量解；C解單變量本征值問(wèn)題得單變量解分離變量得分離變量解；D解單變量本征值問(wèn)題分離變量得單變量解得分離變量解。9．由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有（）。10．定解問(wèn)題的解為（）。得分閱卷人二、填空題（每空題1分，共15分）11．函數(shù)，將z平面的圖形；以原點(diǎn)為中心，R為半徑的圓，變?yōu)閣平面的圖形為。12．就奇點(diǎn)的類(lèi)型而言，是函數(shù)的奇點(diǎn)。。13．函數(shù)在處的留數(shù)為。14．的收斂區(qū)間。15．。16．一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。17．波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。18．波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的達(dá)氏解為。19．寫(xiě)出與在上的卷積。20．的傅里葉變換的逆傅里葉變換是。21．。22．本征方程的本征值為。23．某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。得分閱卷人三、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）試將函數(shù)以為中心在全平面展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)；25．計(jì)算；26．證明；27．求（是常數(shù)）的傅里葉變推換；28．求的逆拉普拉斯變推換。得分閱卷人四、計(jì)算題（第29題10分，第30題15分，共25分）29．長(zhǎng)為兩端固定的弦，弦中張力為。在處受到一橫向力作用后開(kāi)始振動(dòng)，求解該振動(dòng)問(wèn)題（10分）30．求解定解解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方法試卷（C）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、（每題3分，答對(duì)方給分）1B2C3A4B56C7C8A9C二、（每空1分，答對(duì)方給分）1．以原點(diǎn)為中心的單位圓：； 2．本性奇點(diǎn)，；3．；4；51；6；7諧波，波腹；8；9；10；111；12；三、1解：在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)和，故圓域、環(huán)域和圓外區(qū)域內(nèi)均解析，我們能在這些區(qū)域中分別將函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)。4分在中1分1分所以1分這是一Taylor展開(kāi)。1分在中1分而的展開(kāi)式同（2）式，故有1分這是一具有正、負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。1分在中1分而的展開(kāi)式同（3）式，故有1分2解考慮函數(shù)的積分。因?yàn)?分所以為可去奇點(diǎn)，則有1分1分1分2分故當(dāng)時(shí)將（2）∽（4）諸式一并代入（1）式有所以1分3證明：2分4分故1分4解5分2分5解4分3分四、解：這是有界弦的自由振動(dòng)，其定解問(wèn)題為其中，初始條件為故有，3分其中5分從而有2分五、解：所求問(wèn)題是拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問(wèn)題，其傅氏解為：2分其中，3分3分故有：2分宜賓學(xué)院——學(xué)年度期《數(shù)學(xué)物理方法》試題（D卷）題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分說(shuō)明：本試題共3頁(yè)四大題，30小題。得分閱卷人一、選擇題（每小題3分，共30分）1．函數(shù)以b為中心的羅朗展開(kāi)的系數(shù)公式為（）。2．彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫(xiě)作以下三種情況的哪一種（）。A．，;B.C.3．下列方程是波動(dòng)方程的是（）。A；B；C；D。4．泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為（）。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5．定解問(wèn)題的解為（）。6．一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時(shí)有則我們稱(chēng)（）。A收斂于；B絕對(duì)收斂于；C弱收斂于；D條件收斂于。7．傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)（）。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8．用分離變量法求解偏微分方程定解問(wèn)題的一般步驟是（）。A分離變量解單變量本征值問(wèn)題得單變量解得分離變量解；B分離變量得單變量解解單變量本征值問(wèn)題得分離變量解；C解單變量本征值問(wèn)題得單變量解分離變量得分離變量解；D解單變量本征值問(wèn)題分離變量得單變量解得分離變量解。9．由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有（）。10．定解問(wèn)題的解為（）。得分閱卷人二、填空題（每空題1分，共15分）11．多值函數(shù)是值函數(shù)。其支點(diǎn)是。12．以知一解析函數(shù)的虛部為，則該解析函數(shù)為。13．函數(shù)在處的留數(shù)分別為，，14．的收斂區(qū)間。15．。16．一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。17．波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。18．熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為。19．寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。20．的傅里葉變換的逆傅里葉變換是。21．。22．本征方程的本征值為。23．某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。得分閱卷人三、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）試將函數(shù)以為中心在全平面展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)。25．計(jì)算；26．證明；27．求（是常數(shù)）的傅里葉變推換；28．求（是常數(shù)）的拉普拉斯變推換。得分閱卷人四、計(jì)算題（第29題10分，第30題15分，共25分）29．求解定解解問(wèn)題30．求解角形區(qū)域的格林函數(shù)，并求解下列定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方法試卷（D）答案一、1A2C3A4B5A6C7C8A9C10C二、1．0，-1，2，-2，∞； 2．；3．1，-1，0；4；51；6；7諧波，波腹；8；9；10；111；12；三、1解：在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)和，故圓域、環(huán)域和圓外區(qū)域內(nèi)均解析，我們能在這些區(qū)域中分別將函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)。4分在中1分1分所以2分這是一Taylor展開(kāi)。1分在中2分而的展開(kāi)式同（2）式，故有2分這是一具有正、負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。1分在中2分而的展開(kāi)式同（3）式，故有2分這是一僅具有負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。2分2解對(duì)照公式知，此處，奇點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)，故有（3分）（2分）從而有（2分）3證明：（2分）（3分）故（2分）4解（7分）5解（7分）四、解：所求問(wèn)題是波動(dòng)方程的混合問(wèn)題，其傅氏解為：（4分）其中，（4分）即有：（2分）五、解：（4分）（4分）（2分）電信系數(shù)學(xué)物理方法試卷（E）一二三四五總分注意：本試卷共4頁(yè)，120分鐘完卷，所有答案均寫(xiě)在答卷紙上。一、選取擇題（每小題只有一個(gè)最佳答案，每題3共30分）1下式正確的是。.2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有。3下列方程是波動(dòng)方程的是。A；B；C；D。4泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫(xiě)作以下三種情況的哪一種。A．，;B.C.7傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8定解問(wèn)題的解為。9函數(shù)以為中心的Laurent展開(kāi)的系數(shù)公式為。10定解問(wèn)題的解為。二、填空（每空1分，共15分）1計(jì)算。2以知一解析函數(shù)的虛部為，則該解析函數(shù)為。3函數(shù)在處的留數(shù)分別為，，4的收斂區(qū)間。5。6一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。7波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。8熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為。9寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。10在球域內(nèi)的解為。11。12本征方程的本征值為。13某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。三、求解下列各題（每小題6分，共30分）：將在圓環(huán)與內(nèi)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)；計(jì)算；證明；求函數(shù)的Fourer變換；求Gauss分布函數(shù)可頻譜函數(shù)。四、求解一端自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由縱振動(dòng)（10分）五、求解定解解問(wèn)題（10分）：數(shù)學(xué)物理方法試卷（E）答案一、1A2C3A4B5D6C7C8A9A10C二、1．； 2．；3．1，-1，0；451；6；7諧波，波腹；8；9；10；111；12；三、1解：1）在內(nèi)。因?yàn)?。所以?）在內(nèi)。因?yàn)?，所以2解對(duì)照公式知，此處，奇點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)，故有（3分）（2分）從而有（2分）3證明：故4解注意到在中是偶數(shù)，于是由Fourier變換公式有===5解求函數(shù)的可頻譜函數(shù)，即要求函數(shù)的Fourier變換,設(shè)則有：：四、解：（1）式的通解為故由（2）式有（5）由（3）式有即(6)其中，，解(5)(6)式得(7)(8)以上二式是在的前提下推得的.因?yàn)榭偸谴笥诨虻扔诹愕?故由(7)式有(9)至于就不一定大于零了.若,則由(8)式有（10）（2）若，則（8）式不能用。但將（4）式代入通解得令，并對(duì)上式從0到積分得即故（11）（12）將（9）（10）（11）各式一并代入通解，得(13)五、解：所求問(wèn)題是拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問(wèn)題，其傅氏解為：其中，故有：電信系數(shù)學(xué)物理方法試卷（F）一二三四五總分注意：本試卷共4頁(yè)，120分鐘完卷，所有答案均寫(xiě)在答卷紙上。一、選取擇題（每小題只有一個(gè)最佳答案，每題3共30分）1下式正確的是。.2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有。3下列方程是波動(dòng)方程的是。A；B；C；D。4泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫(xiě)作以下三種情況的哪一種。A．，;B.C.7傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8定解問(wèn)題的解為。9函數(shù)以為中心的Laurent展開(kāi)的系數(shù)公式為。10定解問(wèn)題的解為。二、填空（每空1分，共15分）1就單、多值而言，函數(shù)是值函數(shù)。2以知一解析函數(shù)的虛部為，則該解析函數(shù)為。3函數(shù)在處的留數(shù)分別為，，4的收斂區(qū)間。5。6一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。7波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。8熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為。9寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。10在球域內(nèi)的解為。11。12本征方程的本征值為。13某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。三、求解下列各題（每小題6分，共30分）：試將函數(shù)以為中心在全平面展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)；計(jì)算；證明；求函數(shù)的Fourer變換；求Gauss分布函數(shù)可頻譜函數(shù)。四、求解一端自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由縱振動(dòng)（10分）五、求解定解解問(wèn)題（10分）：數(shù)學(xué)物理方法試卷（F）答案一、1A2C3A4B5D6C7C8A9A10C二、1．單； 2．；3．1，-1，0；451；6；7諧波，波腹；8；9；10；111；12；三、1解：在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)和，故圓域、環(huán)域和圓外區(qū)域內(nèi)均解析，我們能在這些區(qū)域中分別將函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)。4分在中1分1分所以2分這是一Taylor展開(kāi)。1分在中2分而的展開(kāi)式同（2）式，故有2分這是一具有正、負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。1分在中2分而的展開(kāi)式同（3）式，故有2分這是一僅具有負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。2分2解對(duì)照公式知，此處，奇點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)，故有（3分）（2分）從而有（2分）3證明：故4解注意到在中是偶數(shù)，于是由Fourier變換公式有===5解求函數(shù)的可頻譜函數(shù)，即要求函數(shù)的Fourier變換,設(shè)則有：：四、解：（1）式的通解為故由（2）式有（5）由（3）式有即(6)其中，，解(5)(6)式得(7)(8)以上二式是在的前提下推得的.因?yàn)榭偸谴笥诨虻扔诹愕?故由(7)式有(9)至于就不一定大于零了.若,則由(8)式有（10）（2）若，則（8）式不能用。但將（4）式代入通解得令，并對(duì)上式從0到積分得即故（11）（12）將（9）（10）（11）各式一并代入通解，得(13)五、解：所求問(wèn)題是拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問(wèn)題，其傅氏解為：其中，故有：電信系數(shù)學(xué)物理方法試卷（G）一二三四五總分注意：本試卷共4頁(yè)，120分鐘完卷，所有答案均寫(xiě)在答卷紙上。一、選取擇題（每小題只有一個(gè)最佳答案，每題3共30分）1下式正確的是。.2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有。3下列方程是波動(dòng)方程的是。A；B；C；D。4泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫(xiě)作以下三種情況的哪一種。A．，;B.C.7傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8定解問(wèn)題的解為。9函數(shù)以為中心的Laurent展開(kāi)的系數(shù)公式為。10定解問(wèn)題的解為。二、填空（每空1分，共15分）1設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)確定，則在的內(nèi)點(diǎn)可微的充分必要條件是，在點(diǎn)處可微并滿(mǎn)足條件。2以知一解析函數(shù)的虛部為，則該解析函數(shù)為。3將函數(shù)，將在內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。4是的本性奇點(diǎn)，求在點(diǎn)的留數(shù)5函數(shù)在處的留數(shù)。6用留數(shù)定理計(jì)算。7的拉氏變換為。8原象，用傅立葉變換求其象為。9稱(chēng)為函數(shù)，則滿(mǎn)足兩式：，。10在球域內(nèi)的解為。11。12本征方程的本征值為。13。三、求解下列各題（每小題6分，共30分）：試將函數(shù)以為中心在全平面展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)；計(jì)算；證明；求函數(shù)的Fourer變換；求Gauss分布函數(shù)可頻譜函數(shù)。四、求解一端自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由縱振動(dòng)（10分）五、有內(nèi)一半徑而外半徑為均勻球殼，且內(nèi)、面的溫度分布分別保持為零和。求球殼的穩(wěn)定溫度分布（10分）。數(shù)學(xué)物理方法試卷（G）答案一、1A2C3A4B5D6C7C8A9A10C二、1．或哥西—黎曼條件； 2．；3、；4、；5、； 6、；7、； 8、；9、 ；10；111；12；130。三、1解：在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)和，故圓域、環(huán)域和圓外區(qū)域內(nèi)均解析，我們能在這些區(qū)域中分別將函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)。4分在中1分1分所以2分這是一Taylor展開(kāi)。1分在中2分而的展開(kāi)式同（2）式，故有2分這是一具有正、負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。1分在中2分而的展開(kāi)式同（3）式，故有2分這是一僅具有負(fù)冪的Laurent展開(kāi)。2分2解對(duì)照公式知，此處，奇點(diǎn)為，且當(dāng)時(shí)，故有（3分）（2分）從而有（2分）3證明：故4解注意到在中是偶數(shù)，于是由Fourier變換公式有===5解求函數(shù)的可頻譜函數(shù)，即要求函數(shù)的Fourier變換,設(shè)則有：：四、解：（1）式的通解為故由（2）式有（5）由（3）式有即(6)其中，，解(5)(6)式得(7)(8)以上二式是在的前提下推得的.因?yàn)榭偸谴笥诨虻扔诹愕?故由(7)式有(9)至于就不一定大于零了.若,則由(8)式有（10）（2）若，則（8）式不能用。但將（4）式代入通解得令，并對(duì)上式從0到積分得即故（11）（12）將（9）（10）（11）各式一并代入通解，得(13)五、其定解問(wèn)題為變量法可得方程的解為將解代入邊界條件得比較上式兩邊系數(shù)得解方程組得解方程組得將求得的代入式，于是得定解問(wèn)題的解為電信系數(shù)學(xué)物理方法試卷（H）一二三四五總分注意：本試卷共4頁(yè)，120分鐘完卷，所有答案均寫(xiě)在答卷紙上。一、選取擇題（每小題只有一個(gè)最佳答案，每題3共30分）1下式正確的是。.2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有。3下列方程是波動(dòng)方程的是。A；B；C；D。4泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫(xiě)作以下三種情況的哪一種。A．，;B.C.7傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8定解問(wèn)題的解為。9函數(shù)以為中心的Laurent展開(kāi)的系數(shù)公式為。10定解問(wèn)題的解為。二、填空（每空1分，共15分）1已知，則。2已知一解析函數(shù)的虛部為，則該解析函數(shù)為。3函數(shù)在處的留數(shù)分別為，，4的收斂區(qū)間。5。6一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。7波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。8Dirichlet積分公式是定解問(wèn)題的解的積分表達(dá)式。9寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。10在球域內(nèi)的解為。11。12本征方程的本征值為。13某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。三、求解下列各題（每小題6分，共30分）：試將函數(shù)以為中心在全平面展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)；計(jì)算；證明；求函數(shù)的Fourer變換；求Gauss分布函數(shù)可頻譜函數(shù)。四、求解一端自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由縱振動(dòng)（10分）五、求解定解解問(wèn)題（10分）：電信系數(shù)學(xué)物理方法試卷（H）一二三四五總分注意：本試卷共4頁(yè)，120分鐘完卷，所有答案均寫(xiě)在答卷紙上。一、選取擇題（每小題只有一個(gè)最佳答案，每題3共30分）1下式正確的是。.2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有。3下列方程是波動(dòng)方程的是。A；B；C；D。4泛定方程要構(gòu)成定解問(wèn)題，則應(yīng)有的初始條件個(gè)數(shù)為。A1個(gè)；B2個(gè)；C3個(gè)；D4個(gè)。5二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題是。A哥西問(wèn)題；B狄拉克問(wèn)題；C混合問(wèn)題；D狄里克雷問(wèn)題。6彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫(xiě)作以下三種情況的哪一種。A．，;B.C.7傅里葉變換在物理學(xué)和信息學(xué)中能實(shí)現(xiàn)。A脈沖信號(hào)的高斯展寬；B高斯信號(hào)壓縮成脈沖信號(hào)；C實(shí)空間信號(hào)的頻譜分析；D復(fù)頻信號(hào)的單頻濾波。8定解問(wèn)題的解為。9函數(shù)以為中心的Laurent展開(kāi)的系數(shù)公式為。10定解問(wèn)題的解為。二、填空（每空1分，共15分）1已知，則。2已知一解析函數(shù)的虛部為，則該解析函數(shù)為。3函數(shù)在處的留數(shù)分別為，，4的收斂區(qū)間。5。6一維波動(dòng)方程的齊次邊界條件為。7波動(dòng)方程的傅里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱(chēng)為，振動(dòng)最強(qiáng)的位置稱(chēng)為。8Dirichlet積分公式是定解問(wèn)題的解的積分表達(dá)式。9寫(xiě)出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。10在球域內(nèi)的解為。11。12本征方程的本征值為。13某粒子的運(yùn)動(dòng)復(fù)從，請(qǐng)寫(xiě)出其邊值條件。三、求解下列各題（每小題6分，共30分）：試將函數(shù)以為中心在全平面展開(kāi)為T(mén)aylor或Laurent級(jí)數(shù)；計(jì)算；證明；求函數(shù)的Fourer變換；求Gauss分布函數(shù)可頻譜函數(shù)。四、求解一端自由的半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由縱振動(dòng)（10分）五、求解定解解問(wèn)題（10分）：電信系數(shù)學(xué)物理方法試卷（I）一二三四五總分注意：本試卷共4頁(yè)，120分鐘完卷，所有答案均寫(xiě)在答卷紙上。一、選取擇題（每小題只有一個(gè)最佳答案，每題3共30分）1下式正確的是。.2三維空間中的格林函數(shù)是。3