河南省南陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理科)與解析

222U2n4611111111222U2n4611111111學(xué)年河省南陽市二（上）期數(shù)學(xué)試卷理科）一、選題（本大題分分，每小題分）1分）設(shè)全集U=R，集合A={|x﹣2x≥0}，B={|y=log（x﹣1}，則（A）∩B=（）A．[122]

B2D∞，﹣1∪[0，2分）若A（，﹣1（4，3（6，﹣1，4△ABC的形狀是（）A．不等邊銳角三角形．鈍角三角形

B．直角三角形D等邊三角形3知在等比數(shù)列{}中是方程x﹣8x+9=0的兩根）A．﹣3．±3C．3D．4分）已知雙曲線：近線方程為（）

（a＞0，b0）的離心率為

，則的漸A．y=

B．C．y=±x

D．y=5分）已知x≥則f（x）

有（）A．最大值8．最小值10C．最大值12D．最小值6分）如圖，長方體﹣BCD中，=AB=2AD=1，點(diǎn)E、F、分別是DD、ABCC的中點(diǎn)，則異面直線AE與GF所成角的余弦值是（）A．

B．

C．

D．第1頁（共19頁）

2121212122*nnnn3232aab112111117分）過點(diǎn)M（20）的直線m與橢圓+y2121212122*nnnn3232aab11211111PP的中點(diǎn)為設(shè)直線m的斜率為k（≠0線OP的斜率為k則kk的值為（）A．2．﹣2C．

D．﹣8分）數(shù)列a}的通項(xiàng)a是關(guān)于x的不等式x﹣x＜（nN）的解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)，則數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=）A．n

2

B．n+1）

C．

D1+29分）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則＞B”的逆命題是真命題；B．命題p：≠2或y≠3，命題q：+y≠5則p是q的必要不充分條件；．“?x∈R，x﹣x+1≤0”否定是“?x∈R，x﹣x+10”D“若ab則2＞2﹣1”的否命題為若≤，則≤2﹣1”．A．1．2C．3D．10分）某旅行社租用、B兩種型號(hào)的客車安排名客人旅行，、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別1600元輛和2400元/，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛且B型車不多于A型車7輛則租金最少為（）A．31200元

B．元

C．36800元

D．38400元11分）已知點(diǎn)P是雙曲線

=1a0，b＞0）右支上一點(diǎn)，，F(xiàn)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I

為△PFF的內(nèi)心，若SA．4

=SSB．

成立，則雙曲線的離心率為（）C．2D12分）如圖，正方體ABCD﹣BCD的棱長為，點(diǎn)P是平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在棱AB上，且AM=，且動(dòng)點(diǎn)P到直線D的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）第2頁（共19頁）

132222121211111111111A．圓

B．拋物線

C．雙曲線

D．直線二、填題（本大題括4小題，每題5分，共20分）13分）已知數(shù)列{a}是公比為（q≠）的等比數(shù)列，且a，，成等差數(shù)列，則公比q的值為．5分）拋物線x=y上一點(diǎn)到直線4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是．15分）△ABC中，AB=

，AC=1，B=30°則△ABC的面積等于．16分家通常依據(jù)“觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)（ba）以及常數(shù)（0＜x＜1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+（ba里x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系x恰好使得（﹣a）是（c）和（a）的等比中項(xiàng)，據(jù)此可得，最佳樂觀系x的值等于．三、解題17分）在△ABC中，角A，，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤簟鰽BC的面積S=5

，b=5，求sinBsinC的值．18分）已知命題p：和x是方程x﹣﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式﹣5a3|x﹣x|對任意實(shí)數(shù)m[﹣1，1]恒成立；命題q：等式ax＞0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍．

+2x﹣119分）如圖所示，在正方體﹣ABCD中，E是棱DD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求直線BE與平面ABBA所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱CD上是否存在一點(diǎn)F使BF∥平面ABE？證明你的結(jié)論．第3頁（共19頁）

n1423nnnn1423nnnnnn20分）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)F（10）且和直線l：x=﹣1相切．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)（﹣，過點(diǎn)的直線與軌跡交于A，兩點(diǎn)，求證：直線MAMB的斜率之和為定值．21分）已知數(shù)列a}是遞增的等比數(shù)列，且a+a=9aa=8．（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)S為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，b=22分）已知（﹣2圓E：

+

，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T．（a＞b0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求的方程．第4頁（共19頁）

222U2U222U2n462n4222U2U222U2n462n4學(xué)河省陽高（上期數(shù)試（科參考答案與試題解析一、選題（本大題分分，每小題分）1分）設(shè)全集U=R，集合A={|xA）∩B=（）

﹣2x≥0，B={|y=log（x

﹣1），則（?A．[122]

B2D∞，﹣1∪[0，【解答】解：∵A={x|x﹣2x≥0}=x|≤0或x≥2}，∴?A=x|x＜2}，由x

﹣10，得x＜﹣1或x＞1∴B={|y=log（x﹣）}=x|＜﹣1或x＞，則（?A）∩B={x|0x＜2}∩={x|x＜﹣或x＞1}=（1，故選：B．2分）若A（，﹣1（4，3（6，﹣1，4△ABC的形狀是（）A．不等邊銳角三角形．鈍角三角形

B．直角三角形D等邊三角形【解答】解：，得A為銳角；，得C為銳角；，得B為銳角；

，所以為銳角三角形故選：A．3知在等比數(shù)列{}中是方程x﹣8x+9=0的兩根）A．﹣3．±3C．3D．【解答】解：∵在等比數(shù)列{a}中，a，a是方程第5頁（共19頁）

﹣8x+9=0的兩根，

484848662211111111∴a+a=8aa=9，∴a＞0a＞484848662211111111∵∴a=3．故選：．

=94分）已知雙曲線：近線方程為（）

（a＞0，b0）的離心率為，則的漸A．y=

B．C．y=±x

D．y=【解答】解：由雙曲線C：則離心率e===故漸近線方程為y=±x=故選：D

（a＞0b0，即4b=a，x，5分）已知x≥則f（x）A．最大值8．最小值10【解答】解：x≥4，即為x﹣4＞0，

有（）C．最大值12D最小值14則f）==（x﹣4）+

=x++4≥2

+4=10，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣

，即x=7時(shí)，取得等號(hào)，則f）的最小值為10．故選：B．6分）如圖，長方體﹣BCD中，=AB=2AD=1，點(diǎn)E、F、分別是DD、ABCC的中點(diǎn)，則異面直線AE與GF所成角的余弦值是（）第6頁（共19頁）

111212121212122221111211212111212121212122221111211212*nnnnA．

B．

C．

D．【解答】解：以DA，，DD所在直線方向，y，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則可得A（10，2（0，01（0，，1（11，0）∴

=（﹣10﹣1

=（1﹣1﹣1設(shè)異面直線AE與GF所成角的為θ，則cos|cos＜

，＞|，故選：D7分）過點(diǎn)M（20）的直線m與橢圓+y=1交于P、P兩點(diǎn)，線段PP的中點(diǎn)為設(shè)直線m的斜率為k（≠0線OP的斜率為k則kk的值為（）A．2．﹣2C．

D．﹣【解答】解：過點(diǎn)M（﹣0的直線m的方程為y﹣0=k（x+2代入橢圓的方程化簡得（2k+1x+8kx+8k﹣2=0，∴x+x=

，∴P的橫坐標(biāo)為，P的縱坐標(biāo)為k（x+2）=

，即點(diǎn)P，直線OP的斜率k=

，∴kk=﹣．故選：D8分）數(shù)列a}的通項(xiàng)a是關(guān)于x的不等式x﹣x＜（nN）的解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)，則數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=）第7頁（共19頁）

2*n*n+n1nnn3232aab3232*n*n+n1nnn3232aab3232abab

2

B．n+1）

C．

D1+2【解答】解：不等式x﹣x＜nx（N）的解集為{x|0＜x＜n1∵通項(xiàng)a是解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)∴a=nn∈）∵a﹣a=n+﹣（常數(shù)∴數(shù)列{a}是首先為1，公差為1的等差數(shù)列．∴前n項(xiàng)和S=

．故選：．9分）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）A．“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則＞B”的逆命題是真命題；B．命題p：≠2或y≠3，命題q：+y≠5則p是q的必要不充分條件；．“?x∈R，x

﹣x

+1≤0”否定是“?x∈，x

﹣x

+10”；D“若ab則2＞2﹣1”的否命題為若≤，則≤2﹣1”．A．1．2C．3D．【解答】解：對于A項(xiàng)在△ABC中，若＞sinB，則A＞”的逆命題為“在△ABC中，若A＞B，則sinAsinB”，若＞，則a＞根據(jù)正弦定理可知sinA＞sinB，∴逆命題是真命題，∴正確；對于B項(xiàng)，由≠2，或≠3，得不到+y≠，比如x=1，，+y=5，p不是q的充分條件；若x+≠5則一定有2且y≠即能得≠2或≠3，p是q的必要條件；∴p是q的必要不充分條件，所以B正確；對于C項(xiàng)“?x∈Rx﹣x+1≤0”的否定是x∈x﹣x+1＞0”所以不對．對于D項(xiàng)“若a＞b，2

＞2

﹣1”否命題為若a≤b2

≤2

﹣1”．所D正確．故選：．10分）某旅行社租用、B兩種型號(hào)的客車安排名客人旅行，、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別1600元輛和2400元/，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛且B型車不多于A型車7輛則租金最少第8頁（共19頁）

112121121212121211221212111212112121212121122121212A．31200元

B．元

C．36800元

D．38400元【解答】解：設(shè)分別租用A、B兩種型號(hào)的客車x輛、y輛，所用的總租金為z元，則z=1600x+2400y，其中x、滿足不等式組、y∈N）∵A型車租金為1600元，可載客36人，∴A型車的人均租金是

≈44.4元，同理可得B型車的人均租金是

=40元，由此可得，租用B型車的成本比租用A型車的成本低因此，在滿足不等式組的情況下盡可能多地租用B型車，可使總租金最低由此進(jìn)行驗(yàn)證，可得當(dāng)x=5y=12時(shí)，可載客36×560×12=900人，符合要求且此時(shí)的總租金z=1600×2400×12=36800，達(dá)到最小值故選：．11分）已知點(diǎn)P是雙曲線

=1a0，b＞0）右支上一點(diǎn)，，F(xiàn)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I

為△PFF的內(nèi)心，若SA．4

=SSB．

成立，則雙曲線的離心率為（）C．2D【解答】解：如圖，設(shè)圓I與△PFF的三邊FF、PF、PF分別相切于點(diǎn)、FG，連接IE、IF、IG，則IE⊥FF，IF⊥PF，⊥PF，它們分別是：eq\o\ac(△,IF)eq\o\ac(△,)F，△IPF，△IPF的高，∴S=×|PF|×|IF|=|PF|，=×|PF|×IG||PF|，S

=×|FF|×|IE|=|FF|，其中r是△PFF的內(nèi)切圓的半徑．∵S

=SS

，第9頁（共19頁）

121212121212121211111111111122211212121212121212111111111111222111122兩邊約去得：|PF|=|PF|+|FF|，∴|PF|﹣|PF|=|FF|，根據(jù)雙曲線定義，得|PF|﹣|PF|=2a，|F|=2c，∴2a=c

離心率為e=2，故選：．12分）如圖，正方體ABCD﹣BCD的棱長為，點(diǎn)P是平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在棱AB上，且AM=，且動(dòng)點(diǎn)P到直線D的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．圓

B．拋物線

C．雙曲線

D．直線【解答】解：如圖所示：正方ABCD﹣ABCD中，作⊥AD，為垂足，則PQ⊥面ADDA，過點(diǎn)作⊥DA，則DA⊥面為點(diǎn)到直線AD的距離意可得PR﹣PQ=RQ．又已知PR﹣PM=4，∴PM=PQ，即P到點(diǎn)的距離等于到AD的距離，根據(jù)拋物線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，第10頁（共19頁）

n132n1323122111222200200202n132n13231221112222002002020二、填題（本大題括4小題，每題5分，共20分）13分）已知數(shù)列{a}是公比為（q≠）的等比數(shù)列，且a，，成等差數(shù)列，則公比q的值為﹣．【解答】解：由數(shù)列{a}是公比為qq1）的等比數(shù)列，且a，a，a成等差數(shù)列2a=a+a，∴2aq=aqa，∴2q=q+∴q=1或q=﹣，∵q1∴q=﹣．故答案為：﹣．14線x=y上一點(diǎn)到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1）．【解答】解：設(shè)拋物線y=x

上一點(diǎn)為A（x，x

點(diǎn)（x，）到直線2x﹣y﹣的距離d==

（x﹣1）+3|，∴當(dāng)x=1時(shí)，即當(dāng)（，）時(shí)，拋物線上一點(diǎn)到直線2x﹣﹣4=0的距離最短．故答案為115分eq\o\ac(△,）)ABC中AB=

AC=1B=30°則△ABC的面積等于

或．【解答】解：△ABC中，

，b=AC=1．B=30°第11頁（共19頁）

2222222222由正弦定理可得bc∴＞B=30°∴C=60°，或C=120°當(dāng)C=60°時(shí)，，當(dāng)C=120°時(shí)，A=30°，故答案為：

或16分家通常依據(jù)“觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)（ba）以及常數(shù)（0＜x＜1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+（ba里x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系x恰好使得（﹣a）是（c）和（a）的等比中項(xiàng)，據(jù)此可得，最佳樂觀系x的值等于．【解答】解：∵c﹣（b﹣ac=（ba）﹣xba（c﹣）是（bc）和（a）的等比中項(xiàng)，∴[x（a）]=（﹣）﹣（ba），∴x+x﹣，解得∵0＜x＜1，∴．故答案為：

，．三、解題17分）在△ABC中，角A，，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤簟鰽BC的面積S=5

，b=5，求sinBsinC的值．【解答】解）由cos2A﹣3cos（+C）=1得2cos第12頁（共19頁）

A+3cosA﹣2=0，

22222121221212112222111112222212122121211222211111

（舍去因?yàn)?＜A以（Ⅱ）由S==

．=

，得到bc=20．又b=5，解得．由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA=2516﹣，故

．又由正弦定理得

．18分）已知命題p：和x是方程x﹣﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式﹣5a3|x﹣x|對任意實(shí)數(shù)m[﹣1，1]恒成立；命題q：等式ax＞0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍．【解答】解：∵x，x是方程x﹣mx﹣2=0的兩個(gè)實(shí)根∴∴|x﹣x|==∴當(dāng)m∈[﹣11時(shí)，x﹣x|=3

+2x﹣1由不等式a

2

﹣5a3≥x﹣x|對任意實(shí)數(shù)m∈[﹣1，恒成立．可得：a﹣5a33，∴≥6或a≤﹣1∴命題p為真命題時(shí)≥6或a≤﹣1命題q不等式ax+2x﹣1＞0有解．①當(dāng)a＞0時(shí)，顯然有解．②當(dāng)a=0時(shí)，2x﹣10有解③當(dāng)a＜0時(shí)，∵ax+2x﹣10有解，∴eq\o\ac(△,=4)eq\o\ac(△,)+4a0，∴﹣1＜＜0從而命題q不等式ax+2x﹣1＞0有解時(shí)a＞﹣又命題q是假命題，∴a≤﹣1故命題p是真命題且命題q是假命題時(shí)，a的取值范圍為a≤﹣．19分）如圖所示，在正方體﹣ABCD中，E是棱DD的中點(diǎn)．第13頁（共19頁）

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111（Ⅱ）在棱CD上是否存在一點(diǎn)F使BF∥平面ABE？證明你的結(jié)論．【解答】解）如圖aAA的中點(diǎn)，連接EM，因?yàn)镋是DD的中點(diǎn)，四邊形ADDA為正方形，所以EM∥．又在正方體ABCD﹣ABCD中．AD⊥平面ABBA，所以EM⊥面A，從而BM為直線BE在平面ABBA上的射影，∠EBM直線BE與平面ABBA所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則，BE=于是在Rt△BEM中，即直線BE與平面ABBA所成的角的正弦值為．

，（Ⅱ）在棱CD上存在點(diǎn)F，使BF平面ABE，事實(shí)上，如圖（b所示，分別取CD和CD的中點(diǎn)F，G，連接，BG，CD，F(xiàn)G，因AD∥BC∥BC，且AD=BC，所以四邊形BCD為平行四邊形，因此DC∥B，EG分別為DDCD的中點(diǎn)，所∥D，從∥AB，這說明A，B，G，E共面，所以?平面ABE因四邊形CCDD與BBCC皆為正方形FG分別為CD和CD的中點(diǎn)所以∥C∥BBFG=CC=BB此四邊形BBGF為平行四邊形以BF∥BG，而BF平面ABE，BG?平面ABE，故BF∥平面ABE．第14頁（共19頁）

221122121n142221122121n1423nnnnnn131420分）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)F（10）且和直線l：x=﹣1相切．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)（﹣，過點(diǎn)的直線與軌跡交于A，兩點(diǎn)，求證：直線MAMB的斜率之和為定值．【解答】解：由題意得：圓心P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，∴圓心P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)圓心P的軌跡方程為y（p0＞∵=1∴p=2．∴圓心P的軌跡方程為：y=4x證明設(shè)直線AB的方程為x=my+1A（x，y（x，y）聯(lián)立直線與拋物線可得y﹣4my﹣，∴y+y=4myy=﹣4∴k+k=為定值．

+

==0即直線，MB的斜率之和21分）已知數(shù)列a}是遞增的等比數(shù)列，且a+a=9aa=8．（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)S為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，b=

，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T．【解答】解）由題設(shè)可知?a=a?a=8，又+a=9解得：由

或（舍去）得：公比q=2，第15頁（共19頁）

n12n222112222n12n222112222（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又因?yàn)?，所T=b++…+b=．所以，（或22分）已知（﹣2圓E：

+

以==（a＞b0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求的方程．【解答】解）設(shè)F（c，0條件知所以，b=a﹣c=1，故的方程

，得．…分）

又，（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線：y=kx﹣設(shè)（x，（，y）將y=kx﹣代入

，得（1+4k）x﹣16kx+12=0，當(dāng)△

=16

（

4k

﹣

3

）＞

0

，

即

時(shí)，第16頁（共19頁）

．．．．．．．．．．．．．22．．．從而又點(diǎn)

O

到直線

PQ

的距離，所以△OPQ

的面積=

，設(shè)，則t＞

，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±

等號(hào)成立，且滿足△＞0所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)l的方程為y=

x﹣2或y=﹣

x﹣2分）贈(zèng)送—高中數(shù)知識(shí)點(diǎn)【】單性最大小值（）數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)

定義如果對于屬于定義域I內(nèi)

圖象

判定方法（）用定義某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)

（利已知函數(shù)函數(shù)的

自變量的值x、,當(dāng)x<時(shí)都有f(x)<f(x)，那么就說f(x)在這區(qū)間上是增數(shù)

o

f(x)

f(x)

的單調(diào)性（利函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（利復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

如果對于屬于定義域I