大學(xué)物理學(xué)-課后習(xí)題答案-趙近芳-全

習(xí)題及解答（全）

習(xí)題一

drdrdvdv

1-1IW|與dr有無(wú)不同？和d，有無(wú)不同？心和dt有無(wú)不同?其不同在哪里?

試舉例說(shuō)明.

解：⑴同是位移的模，是位矢的模的增量，即加H-H,，=同一同；

W"曳

（2）是速度的模,即dt="8.

dr

山只是速度在徑向上的分量.

史_%+廠正

?.?有r="（式中另叫做單位矢），則dfdtdt

dr

式中df就是速度徑向上的分量，

drj.dr

...dzdt不同如題1-1圖所示.

dvdv

表示加速度的模，產(chǎn)dv

dtd7

⑶d/是加速度a在切向上的分量.

?.?有u=2表軌道節(jié)線方向單位矢），所以

dvdv_dr

——=—r+v——

drdtdr

dv

式中dt就是加速度的切向分量.

drj.df

晨①dt的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論）

1-2設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（分，y=y（f）,在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求

____drd2r

出r='*+y2,然后根據(jù)丫=也，及。=山2而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度

的分量，再合成求得結(jié)果，即

你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？為什么？?jī)烧卟顒e何在？

解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有「=蒐+

_drdr；dy:

V=——=一z+—/

dtdrdr

故它們的模即為

而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作

dr

v=■

山

其二，可能是將由dr誤作速度與加速度的模。在「1題中已說(shuō)明出不是速度的模，

d2r

而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中

d2rWY

的一部分L」?；蛘吒爬ㄐ缘卣f(shuō)，前一種方法只考慮了位矢「在徑向（即

量值）方面隨時(shí)間的變化率，而沒(méi)有考慮位矢及速度0的方向隨間的變化率對(duì)速度、加速

度的貢獻(xiàn)。

1-3一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

I

-5,y=2廠+31.

式中.以s計(jì)，"，》以m計(jì).（1）以時(shí)間f為變量，寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出,

=ls時(shí)刻和f=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算f=Os時(shí)刻到『=

4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算f=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算

/=0s至“=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算，=4s時(shí)質(zhì)

點(diǎn)的加速度（請(qǐng)把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示

成直角坐標(biāo)系中的矢量式）.

r=(3r+5)F+(-t2+3t-4)J

解：(1)2m

⑵將f=lJ=2代入上式即有

r,=8/-0.5；m

G=lU+4]m

與=弓-彳=37+4.5jm

…j-=177+16,

(3)V

=Arr4-r012；+20；

v=---=-------=-----------3z+5jtn-s-1

△t4-04

v=—=37+(r+3)7m-s-'

(4)由

v

則4=3i+7jm.s-'

%=3：+3了,n=37+77

(5)V

竺=-U

Ar44

a=——=1/

(6)dr

這說(shuō)明該點(diǎn)只有y方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.當(dāng)人

以“(m?s")的速率收繩時(shí)，試求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小.

解：設(shè)人到船之間繩的長(zhǎng)度為/,此時(shí)繩與水面成°角，由圖可知

l2=h2+s2

將上式對(duì)時(shí)間f求導(dǎo)，得

根據(jù)速度的定義，并注意到L5是隨f減少的，

d/ds

...%'"船=一了

dsIdlI%

匕A=----=------=—v=--------

即11drsdrsncos。

伍(A2+52),/2V

=---=-------0-------

將V船再對(duì)t求導(dǎo)，即得船的加速度

d/ds

cdv船sdrdr、，一4船、，

(T+fj2M

S2S?3

2-2

1-5質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為°=2+6工，a的單位為m-s,x的單

位為m.質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為l（）m-s，試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值.

dv-d-v---d-r-=y--d-v-

解：dtdxdtdx

2

分離變量：udu=adx=(2+6x)dr

—v2=2x+2x3+c

兩邊積分得2

由題知，x=0時(shí)，%=l°,;.c=50

.v=2J/+x+25m-s-1

1-6已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為°=4+3fm-s”,開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=5m,v=0,

求該質(zhì)點(diǎn)在f=10s時(shí)的速度和位置.

dv.

a=—=4+3o/

解：???山

，

分離變量，得du=(4+3)df

“32

v=4t+-t+G

積分，得2

由題知，

2

v-4t+-t

故2

山,32

又因?yàn)閐t2

dr-(4/+—Z2)dr

分離變量，2

c213

X—2fH—t+c?2

積分得2

由題知r=°,x°=5,...,2=5

X=2t2+-r3+5

故2

所以f=10s時(shí)

3

v.=4xl0+-xl02=190m-s_|

1n02

,1,

23

x10=2xl0+-xl0+5=705m

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為8=2+3.,°式中以弧度計(jì)，,以秒

計(jì)，求：（1）'=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；（2）當(dāng)加速度的方向和半徑成45°

角時(shí)，其角位移是多少？

八

3=——de=9t2\BQ=——d69=18r

解：drdr

2

⑴"2s時(shí),ar=Rp=1x18x2=36ms~

%=Raj?=1X(9X22)2=1296m-s-2

tan45°=—=1

（2）當(dāng)加速度方向與半徑成45。角時(shí)，有an

即Ra）~=R/3亦即（9廠產(chǎn)=18，

2?

尸=_9=2+3/=2+3x—=2.67rad

則解得9于是角位移為9

vot--br

1-8質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按5=2的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中S為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧

長(zhǎng)，%,人都是常量，求：（1）/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2）f為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于.

dsr

v=——=vQ—bt

解：⑴df

dv7

ar=——=-b

dt

22

_V_（v0-bt）

a，，~~R~R

a=M+a；=

則VR

加速度與半徑的夾角為

a.-Rb

（P=arctan—=-------丁

4（v0-bt）

（2）由題意應(yīng)有

a…"5坐

VR2

從=〃+比”=（%_初）4=（）

即火一

.?.當(dāng)人時(shí)，a=b

1-9半徑為A的輪子，以勻速％沿水平線向前滾動(dòng)：（1）證明輪緣上任意點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)方程為

x=R（日一sinw）,y=R（l-cosw）,式中0=是輪子滾動(dòng)的角速度，當(dāng)8與

水平線接觸的瞬間開(kāi)始計(jì)時(shí).此時(shí)8所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)椤拜S正方向；（2）

求8點(diǎn)速度和加速度的分量表示式.

解：依題意作出下圖，由圖可知

題1-9圖

⑴

-s1nM

=v^t-Rsind

=R(cot-Rsincot)

y=27?sin—sin—

22

=R(l-cos6)=R(1-cos創(chuàng))

(2)

dr

vr=—=R①(1-coscot)

v=—=RsinM)

I,dr

2dv

a=Reosincot=--

xrdt

<

)dv

a=Rarcoscot=---

I'vdt

1-10以初速度“o=2om-sT拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60°的夾角,

求：(1)球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑與；(2)落地處的曲率半徑汽2.

(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)

解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-10圖

(1)在最高點(diǎn)，

Vj=vx=v0cos60°

-2

an]=g=1()m.s

%——

又；P\

v；(20xcos600)2

p\———

詢10

=10m

(2)在落地點(diǎn)，

-1

v2=v0=20m-s

a=gxcos60°

而n

0-后-(20)2

——————OV111

*■a10xcos60°

?n〃2

1-11飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動(dòng)，其角加速度為￡=0.2rad求，=2s時(shí)邊緣

上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解.當(dāng)，二2s時(shí)，co=pt=0.2x2=0.4ra(j.s1

則u=0.4x0.4=0.16m.s-

222

an=Ra)=0.4x(0.4)=0.064m.S"

2

ar=R/3=0.4x0.2=0.08m-s~

2

a=業(yè)=J(0.064)2+(0.08)2=o.iO2m-s-

1-12如題172圖，物體A以相對(duì)B的速度v=J旃沿斜面滑動(dòng)，丁為縱坐標(biāo)，開(kāi)始時(shí)

A在斜面頂端高為〃處，3物體以“勻速向右運(yùn)動(dòng)，求A物滑到地面時(shí)的速度.

解：當(dāng)滑至斜面底時(shí)，丫:12,則以=J麗，A物運(yùn)動(dòng)過(guò)程中又受到8的牽連運(yùn)動(dòng)影響，

因此，4對(duì)地的速度為

匕地=〃+以

=(“+12ghcosa)z+Q2ghsina)j

1-13一船以速率匕=30km-h'沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率“=40km?hH

沿直線向北行駛，問(wèn)在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，則有”21=彩一匕，依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)

0=arctan—=arctan—=36.87°

方向北偏西“4

(2)小船看大船，則有％2=匕一"2,依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b),同上法，得

vi2=50km-h-'

方向南偏東3687"

1-14當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但

當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3m,如雨滴的速度大小為8m-s1,

求輪船的速率.

解：依題意作出矢量圖如題1-14所示.

夕船地

題1-14圖

"雨船="雨—，船

D雨=/雨船+詢e

由圖中比例關(guān)系可知

丫船=丫雨=8m?s1

習(xí)題二

2-1一細(xì)繩跨過(guò)一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為g的物體，另一邊穿在質(zhì)量為加2的圓

柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng).今看到繩子從圓柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩

子以勻加速度d下滑，求加I,加2相對(duì)于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦

力(繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)).

解：因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均為外,其對(duì)于““則為牽連加速度，又知加2

對(duì)繩子的相對(duì)加速度為"，故"2對(duì)地加速度，由圖(b)可知，為

又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力,在數(shù)值上等于繩的張力丁，由牛頓定律，

有

mxg-T=mxax②

T-m2g^m2a2③

聯(lián)立①、②、③式，得

_(mx-m2)g+m2a'

a\~~

m1+m2

(ml-m2)g-〃q儲(chǔ)

mx+m2

于=T=叫m式2g-a，)

mx+m2

討論(1)若優(yōu)=°,則%=%表示柱體與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).

(2)若“'=2g,則7=/二°,表示柱體與繩之間無(wú)任何作用力，此時(shí)機(jī)1,均作自由

落體運(yùn)動(dòng).

(a)(b)

題2-1圖

2-2一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面(傾角為1)上以初速度％運(yùn)動(dòng)，“°的方向

與斜面底邊的水平線A8平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道.

解：物體置于斜面上受到重力“g，斜面支持力N.建立坐標(biāo)：取“。方向?yàn)閄軸，平行斜

面與X軸垂直方向?yàn)檠据S.如圖2-2.

AB

題2-2圖

工=0x=vt

X方向：o①

F=mgsina=ma

Y方向:vv②

t=0時(shí)y=0vy=0

1.

y--gsmat''2

由①、②式消去L得

1.2

y=-7gsmaJC

2%

2-3質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在“作平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),受一恒力作用，力的分量為人=6N,八=

v1V

-7N,當(dāng)r=0時(shí),-V=y=0,v=-2m-s>'=o.求

當(dāng)，=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的⑴位矢;(2)速度.

A6

Um.s.

解：m168

-7

A=——ms-2

叫m16

(1)

f235

匕=匕。+])?V^=-2+-X2=--m-s

2-77

Vv=Vvo+f=——x2=——ms

>>°J。'168

于是質(zhì)點(diǎn)在2s時(shí)的速度

⑵

2

產(chǎn)++^aytj

i31_7

=(-2x2+-x-x4)z+-(—)x4j

2o21o

2-4質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力&丫及為常數(shù))作用，'=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的

-哈"

速度為功,證明(1)/時(shí)刻的速度為v=%e.(2)由0至*的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為

嗎%(勺,/“

苫=(&)[1-e"]；(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離為k；(4)證明當(dāng)‘一叼"時(shí)速

度減至乙的e,式中勿為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.

-kvdv

a=----=—

答：⑴：mdr

分離變量，得

dv_-kdt

vm

「du_'一kdt

兒vm

即

In—=]ne,n

%

_k_f

v-voe

r

x=Jvd/=￡vQe^dt=(1-e~")

(2)

(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即tf8,

故有

tn

(4)當(dāng)t=k時(shí)，其速度為

上0_1Vn

k

v=voe=voe=—

e

即速度減至%的e.

2-5升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為〃"，”2,且“2=2〃/用細(xì)繩連接，跨過(guò)滑輪，繩子

不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速"='g上升時(shí)，求：(1)

叫和恤相對(duì)升降機(jī)的加速度.(2)在地面上觀察犯，"％的加速度各為多少？

解：分別以加I,加2為研究對(duì)象，其受力圖如圖(b)所示.

(1)設(shè)“2相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為屋，則加2對(duì)地加速度。2"；因繩不可伸

長(zhǎng)，故叫對(duì)滑輪的加速度亦為屋，又㈣在水平方向上沒(méi)有受牽連運(yùn)動(dòng)的影響，所以叫在

水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁檫@，由牛頓定律，有

r

m2g-T=m2(a-a)

r

T=m}a

題2-5圖

聯(lián)立，解得”=8方向向下

(2)團(tuán)2對(duì)地加速度為

2方向向上

叫在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即“絕相+"牽

0-arctan-=arctan—=26.6°

a2,左偏上.

2-6一質(zhì)量為〃？的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角夕=30。的初速"。從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)

點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2-6圖

題2-6圖

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,

而拋物線具有對(duì)y軸對(duì)稱性，故末速度與“軸夾角亦為3°",則動(dòng)量的增量為

邸—mv-mv0

由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為帆%|,方向豎直向下.

2-7一質(zhì)量為根的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞.并在拋出

1s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等.求小球與桌面碰撞過(guò)

程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過(guò)程中，小球的動(dòng)量是否守恒？

解：由題知，小球落地時(shí)間為85s.因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大

小為/=gr=0-5g，小球上跳速度的大小亦為嶺二0-5g.設(shè)向上為y軸正向，則動(dòng)量的

增量

醞=哂一網(wǎng)方向豎直向上,

|Ap|=mv2—（一/陰）=mg

碰撞過(guò)程中動(dòng)量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^(guò)程中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰

撞前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這理說(shuō)明動(dòng)量不守恒.

2-8作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為N,式中/的單位是s,(1)求4s后，

這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量.(2)為了使這力的沖量為200N?s,

該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來(lái)靜止的物體和一個(gè)具有初速度—6'm?s'的物體,

回答這兩個(gè)問(wèn)題.

解：(1)若物體原來(lái)靜止，則

A-△”]<4.-1=

AVj=---=5.6m,si

m

乙-A/?,=56kgm-s-lz

若物體原來(lái)具有一6m-s"初速，則

Po=一加環(huán)，p=m(-v0+￡—dr)=-mv0+1戶dr

JomJo于是

^P2=P-Po=I..W=口

?H)

同理，Av,=Av,I2=IX

這說(shuō)明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無(wú)初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大,

那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理.

(2)同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即

7=f(10+2r)d/=10/+r2

Jo

亦即t2+10r-200=0

解得f=10s,.'=20s舍去)

2-9一質(zhì)量為陽(yáng)的質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，,位置矢量多

r=acoscoti+bsina)tj

71

t=---

求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及f=0到2?y時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量.

解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為

p=mv=mco(-asina)ti+0COSG〃)

71

將f=0和2。分別代入上式，得

p[=mcobjp2=-mcoai

則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受，卜力的沖量為‘

7=Ap=p2-p,=-mco(ai+bj)

2-10一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為h111。;當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為

尸=(。-4)N(°力為常數(shù))，其中「以秒為單位：⑴假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零,

試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量.(3)求子彈的質(zhì)量.

解：(1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有

_a

F=(a-bt)=°得r—g

(2)子彈所受的沖量

/=[(a-bt)dt=at——bt2

Jo2

t_a

將馬代入，得

a2

2b

(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量

Ia1

m--=------

%2b%

2-11一炮彈質(zhì)量為陽(yáng)，以速率v飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥

使彈片增加的動(dòng)能為了，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的左倍，如兩者仍沿原方向飛行，試

證其速率分別為

證明：設(shè)一塊為叫

mx-ki”及m}+加2=m

kmm

m.=----、=----

12

于是得k+lk+\①

又設(shè)仍的速度為”/的速度為”,則有

2

T=~m^+^m2vl-^mv

②

mv=mv+mv

il22③

聯(lián)立①、③解得

v,=(k+l)v-lev1

④

將④代入②，并整理得

27/$

7—=(%-v)

km

V,=v+

于是有

將其代入④式，有

2kT

v2=v±

Vm

又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取

\2kT2T

km

證畢.

2-12設(shè)心=7'6]N.⑴當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至/=-3f+4）+16Em時(shí)，求戶所作

的功.（2）如果質(zhì)點(diǎn)到「處時(shí)需0.6s,試求平均功率.（3）如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能

的變化.

解：(1)由題知，"合為恒力，

.=F-r=(7F-6j)■(-37+4]+\6k)

=-21-24=-45J

P=—=—=75w

⑵△t0.6

（3）由動(dòng)能定理，=A="45J

2-13以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在

鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問(wèn)擊第二次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打

擊鐵釘時(shí)的速度相同.

解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為>坐標(biāo)正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為

\]y

rdy

題2-13圖

f=-ky

第一錘外力的功為A

4=1/6，=卜心=伍3=2①

式中廣是鐵錘作用于釘上的力，,是木板作用于釘上的力，在山—（）時(shí)，

設(shè)第二錘外力的功為，2,則同理，有

A2=f^=l^-|②

由題意，有

2

A2=A]=△（；mv）=亨

所以，>2=如

于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為

△y=尢-必=V2-1=0.414cm

2-14設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)量為機(jī)）在其保守力場(chǎng)中位矢為'點(diǎn)的勢(shì)能為Ep（r）="/「"，試

求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向.

產(chǎn)（r）=典=_"

解：dr尸

方向與位矢尸的方向相反，即指向力心.

2-15一根勁度系數(shù)為%的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數(shù)為42的輕彈簧8,8的下端

一重物0,0的質(zhì)量為“，如題2T5圖.求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性

勢(shì)

能之比.

解：彈簧A、B及重物C受力如題2-15圖所示平衡時(shí)，有

A

F；

B

Mg

題2-15圖

又FA=心?

FB=&'2

所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為

_&2

AX2k、

彈性勢(shì)能之比為

2院以；

k2

?^2^2

2-16(1)試計(jì)算月球和地球?qū)τ梦矬w的引力相抵消的一點(diǎn)P,距月球表面的距離是多少?地

球質(zhì)量5.98X102,kg,地球中心到月球中心的距離3.84X10%,月球質(zhì)量935X10"g,

月球半徑1.74X10%.(2)如果一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，

那么它在「點(diǎn)的勢(shì)能為多少？

解：⑴設(shè)在距月球中心為「處心引生引，由萬(wàn)有引力定律，有

經(jīng)整理，得

回R

17.35x1()22

8

=15.98x1()24+,7.35x1()22x3.48xl0

=38.32x1()6m

則P點(diǎn)處至月球表面的距離為

"=r一%=(38.32-1.74)xlO6=3.66xl07m

(2)質(zhì)量為〔kg的物體在P點(diǎn)的引力勢(shì)能為

MuM

7.35xlO225.98x1()24

-11

=-6.67x10”X----6-.--6-7-X--10X(38.4-3.83)xl07

3.83xl07

=1.28xl06J

2-17由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長(zhǎng)的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為叫和加2

的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為％,自然長(zhǎng)度等于水平距離BC,"%

與桌面間的摩擦系數(shù)為〃，最初班靜止于A點(diǎn)，AB=BC=h,繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落

下m',求它下落到B處時(shí)的速率.

解：取8點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理，有

121

一"加2g力=_(加]+根2?-[migh+—k(Al)2]

式中△/為彈簧在A點(diǎn)時(shí)比原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量，則

△l=AC-BC=6-l)h

聯(lián)立上述兩式，得_____________________________

12(m1-/jm,)gh+%—(0—

\mx+m2

4〃〃/

2-18如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg,以初速度％=3m-s'從斜面A點(diǎn)處下滑，它

與斜面的摩擦力為8N,到達(dá)8點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系

數(shù)和物體最后能回到的高度.

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原

長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有

,12/12)

-frs=—kx--mv+mgssin37°

212J

12.

—mv+mgssin37-frs

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得

k=139ON-m-1

37°

題2T8圖

再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度〃'

-frs'=mgs'sin37°-；k￡

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s'=L4m,

則木塊彈回高度

?=s'sin370=0.84m

m

，〃力力〃〃〃〃力〃題2T9圖

2-19質(zhì)量為加的大木塊具有半徑為式的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示.質(zhì)量為的

小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從

靜止開(kāi)始，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度.

解：〃?從”上下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以〃?，M,地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力

勢(shì)能零點(diǎn)，則有

mgR=-/nv2+—MV2

22

又下滑過(guò)程，動(dòng)量守恒，以加，/為系統(tǒng)則在加脫離加瞬間，水平方向有

mv-MV=0

聯(lián)立，以上兩式，得

2-20一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向

互相垂直.

證：兩小球碰撞過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有

121212

—mv0=—mvj+—mv2

即V0=V12+V2①

(a)(b)

題2-20圖(a)題2-20圖(b)

又碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，即有

mv0=+mv2

亦即琳=%+丹②

由②可作出矢量三角形如圖(b),又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以“為斜邊,

故知凡與%是互相垂直的.

2-21一質(zhì)量為”的質(zhì)點(diǎn)位于(/，必)處，速度為"=匕'+""，質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿x負(fù)方向

的力/的作用，求相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩.

解：由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為