2021年遼寧省沈陽(yáng)市和平區(qū)某學(xué)校九年級(jí)分流考試數(shù)學(xué)試卷

2021年遼寧省沈陽(yáng)市和平區(qū)東北育才學(xué)校九年級(jí)分流考試

數(shù)學(xué)試卷

考試注意事項(xiàng)：

1、考生須誠(chéng)信考試,遵守考場(chǎng)規(guī)則和考試紀(jì)律，并自覺(jué)服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等信息；考試中途考生不準(zhǔn)以

任何理由離開(kāi)考場(chǎng)；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答（作圖可使用鉛筆），不準(zhǔn)用規(guī)定以外的筆

答卷，不準(zhǔn)在答卷上作任何標(biāo)記?？忌鷷?shū)寫在答題卡規(guī)定區(qū)域外的答案無(wú)效。

4,考試開(kāi)始信號(hào)發(fā)出后,考生方可開(kāi)始作答。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分.）

1.實(shí)數(shù)兀，1.2,」，返工中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

32

A.0B.1C.2D.3

2.下列平面圖形中，是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.截止到2021年1月2日，美國(guó)新冠患者累計(jì)確診約20500000人，則該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.2.05X107B.2.05X108C.20.5X106D.20.5XI07

4.同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（骰子有6個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6）,擲得

的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率為（）

5.如圖，為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

D.2n

6.如圖，下列解析式能表示圖中變量x,y之間關(guān)系的是（）

D.|y|=一

7.如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是時(shí)?，拱頂?shù)剿娴木嚯x是3〃?，則當(dāng)水面

寬為4"?時(shí)，水面上升了（）

3m\；；；；；；^

[,?.[.],??,I,I\????1I

-------6m------

145

A.—mB.\mC.—mD.-m

333

8.我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在公元263年撰寫的《九章算術(shù)》中提出了一種估計(jì)n的方法,

也就是“割圓術(shù)”：用圓內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)估計(jì)圓的周長(zhǎng)進(jìn)而估計(jì)7T的近似值，且"

越大時(shí)圓內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，估計(jì)值越接近7T.當(dāng)”=1時(shí)，如圖，

用這種方法估計(jì)此時(shí)n的近似值為（）

A.3B.3.1C.3.14D.3.141

9.“深究而悉討，慎思而明辨”，育才學(xué)子愛(ài)鉆研：如圖，將直角三角板豎直立于水平桌

面上，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿A-B-C路徑在三角板邊緣勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C處停止.已

知NA=30°,ZC=90°,記點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離平方為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,則能準(zhǔn)確反

映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象為（)

10.如圖，在正方形ABC。中，A8=4,延長(zhǎng)BA至M,使AM=1,連結(jié)。M,點(diǎn)、E、F分

別在邊A。、8上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且AE=Z）F,連結(jié)BE、CE,分別交AF于點(diǎn)

H、G,連結(jié)EF,以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①EF<4；

②AE2=E"EB；

③BGJ_EF；

④連結(jié)H。，則HC可能平分NEHF；

⑤點(diǎn)H到直線DM最小距離為山叵一2?

D.5

二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案填在題中的橫線上）

11.計(jì)算：3tan30°-20210-1=----------

12.若代數(shù)式/古」7有意義，則x的取值范圍是_____.

x-2

13.如圖，一個(gè)圓將平面分成2部分，兩個(gè)圓將平面最多分成4個(gè)部分，三個(gè)圓將平面最多

分成8個(gè)部分，則四個(gè)圓將平面最多分成個(gè)部分，五個(gè)圓將平面最多分成

個(gè)部分.

14.如圖，已知點(diǎn)A、B、C、。在圓。上，合=而，ZCAD=35°,ZACD=60°,則/

AOB—

15.恰有三個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)。的和

為

16.如圖，已知△ABC的面積為2,點(diǎn)E分別在邊48、4c上，滿足AE=EC,

BD3

則△AOF的面積為

一次函數(shù)），=x與反比例函數(shù)y音的圖象交于A、B兩點(diǎn),

M是以C（-2,2）為圓心以1為半徑的圓上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AM,若線段AM的中點(diǎn)N到

18.若函數(shù)y=|『-"的圖象與一次函數(shù)y=k（x-2）的圖象恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)后的取值范圍是

三、解答題（共8小題，共66分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19.（6分）先化簡(jiǎn)再求值：（岑」紅■--1）+與之，其中x=sin45。+1.

x?+2x+lx+1X<1

20.（4分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,。為BC中點(diǎn)，四邊形ABOE是平行四

邊形.

求證：四邊形AOCE是矩形.

21.（8分）一超市預(yù)測(cè)某種品牌瓶裝食品有發(fā)展前途，先用1600元購(gòu)進(jìn)一批這種食品,

上市后供不應(yīng)求，于是又用4800元購(gòu)進(jìn)第二批這種食品.由于第二次購(gòu)買數(shù)量較大，J

家給出每瓶進(jìn)價(jià)降低2元的優(yōu)惠，結(jié)果第二批所購(gòu)食品的數(shù)量是第一批的4倍.

（1）求第一批食品每瓶進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）已知兩次進(jìn)貨附加費(fèi)由兩部分構(gòu)成：①固定的車費(fèi)50元/次；②搬運(yùn)費(fèi)為10元/百

瓶，其它費(fèi)用忽略不計(jì).若兩次購(gòu)進(jìn)的食品按相同價(jià)格銷售，當(dāng)兩批食品售完后，為實(shí)

現(xiàn)凈利潤(rùn)不少于2400元，那么每瓶的銷售價(jià)格至少是多少元？

22.（6分）新冠疫情防控期間，東北育才學(xué)校高中部響應(yīng)教育部“停課不停學(xué)”的號(hào)召，

開(kāi)展線上教學(xué)，經(jīng)過(guò)三個(gè)月的線上授課后，在六月初復(fù)學(xué).為了解學(xué)生線上與線下不同

階段學(xué)習(xí)效果，對(duì)高二學(xué)生進(jìn)行兩次跟蹤標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試（其中數(shù)學(xué)滿分150分，得分均為

整數(shù)），針對(duì)線上學(xué)習(xí)效果評(píng)估的測(cè)試在復(fù)學(xué)初進(jìn)行；針對(duì)線下學(xué)習(xí)效果評(píng)估的測(cè)試在

復(fù)學(xué)兩個(gè)月后進(jìn)行.隨機(jī)抽取部分學(xué)生把他們兩次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)分組表分別制成頻數(shù)

分布直方圖（圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）,根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)選擇一個(gè)角度對(duì)兩次成績(jī)做出簡(jiǎn)要的對(duì)比分析：

（2）在第二次測(cè)試中，分?jǐn)?shù)高于125分的概率至少是,至多是.

（3）請(qǐng)估計(jì)在第二次測(cè)試中全體高二300名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（120分及以上）的人數(shù).

兩組測(cè)試成績(jī)分組表

組另IJ測(cè)試成績(jī)?yōu)閄

Ax<90

B90?100

C100^x<110

D110^x<120

E120^x<130

F130^x<140

Gx）140

23.（8分）如圖，由正方形ABC。頂點(diǎn)A作一條直線分別交80、CD、CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E、F、G,且的外接圓記為OO.

（1）求證：CE與。。相切；

（2）若tan/ECF=￡,A￡>=3,求。。的半徑.

24.如圖，一次函數(shù)y=-x+6與正比例函數(shù)y=2x的圖象和x軸分別交于點(diǎn)4與點(diǎn)8.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作ACLy軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)B作直線/〃），軸，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線/從點(diǎn)B的位置出發(fā)，以相

同速度沿x軸負(fù)方向向左平移，在平移過(guò)程中直線/交x軸于點(diǎn)R,交線段BA或者線段

4。于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線/都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①當(dāng)點(diǎn)P在線段0C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接用含t的代數(shù)式表示的面積SMPR，并寫出t

的范圍；

②是否存在以4、P、。為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求r的值；若不存在，

說(shuō)明理由.

圖I圖2備用圖

25.(12分)如圖1,平行四邊形ABC。中，于點(diǎn)”，點(diǎn)E是邊C￡＞上的點(diǎn)，作直

線EF_LC￡)交邊AB于點(diǎn)F,CE=3,ED=\,DH=M，ZA=60°.

(1)在圖1中，作FGL4D于點(diǎn)G且交04于點(diǎn)M,將△OGM沿OC方向平移得到△

CGM,則四邊形G7WWG的周長(zhǎng)為；

(2)如圖2,將△OHA繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊AD對(duì)應(yīng)線段4。分別交線段DH、AD

于點(diǎn)八0,問(wèn)。TO的值是否為定值？若為定值，求。TO的值；若不是定值，請(qǐng)

求出的最大值；

(3)如圖3,延長(zhǎng)C8、EF交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QR〃AB,點(diǎn)尸在直線CO上，過(guò)點(diǎn)P

作PK//EF并與QR交于點(diǎn)K,將△PKQ沿直線PQ翻折，使點(diǎn)K對(duì)應(yīng)的K恰好落在平

行四邊形ABCD邊所在直線上.

①點(diǎn)P在。C延長(zhǎng)線上，當(dāng)點(diǎn)K恰好落在直線AB上時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在直線CC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，K恰好落在直線AB或者直線CO上時(shí)，除了①的結(jié)果，

直接寫出CP長(zhǎng)的其它取值.

26.(12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=x2+法+。過(guò)點(diǎn)。(0,0)和點(diǎn)A(-

1,-3),拋物線的對(duì)稱軸繞其與x軸交點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線/,點(diǎn)A關(guān)于/

的對(duì)稱點(diǎn)為B,點(diǎn)、C為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為線段AB下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，

求PQ0Q的最小值：

(3)線段0N與0A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系

中是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)。、E、C、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2021年遼寧省沈陽(yáng)市和平區(qū)東北育才學(xué)校九年級(jí)分流考試

數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分.每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是

正確的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)涂在答題卡上）

1.實(shí)數(shù)兀，1.2,」?，返二L中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

32

A.0B.1C.2D.3

【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概

念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)

小數(shù)是無(wú)理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).

解：無(wú)理數(shù)有TT，亞」，共有2個(gè).

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：m2n等；

開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.下列平面圖形中，是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形的是（）

［分析］根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

解：A.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

B.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

C.是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意;

D.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)

稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自

身重合.

3.截止到2021年1月2日，美國(guó)新冠患者累計(jì)確診約20500000人，則該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.2.05X107B.2.05X108C.20.5X106D.20.5X107

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成“時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

解：20500000=2.05X107.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中〃為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

4.同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子（骰子有6個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6）,擲得

的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

3399

【分析】根據(jù)題意列出圖表得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)的和是3的

倍數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案.

解：根據(jù)題意列表如下：

123456

112341,56

224682,512

3369123,518

44812164,524

551015205,530

6612186,536

24

同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種，擲得的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的有20種,

則擲得的點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率為罷=3.

369

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了列表法求概率，明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)

為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.如圖，為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

C.ITD.2n

【分析】易得此兒何體為半圓柱，半圓柱的體積=底面積X高，把相關(guān)數(shù)值代入即可求

解.

解：觀察三視圖發(fā)現(xiàn)該幾何體為半圓柱，其底面直徑為2,高為2,

故該幾何體的體積為TtX（24-2）2+2X2=TT.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得到此幾何體的形

狀，易錯(cuò)點(diǎn)是得到計(jì)算此幾何體所需要的相關(guān)數(shù)據(jù).

6.如圖，下列解析式能表示圖中變量x,y之間關(guān)系的是（）

A.y=-p-rB.C.y=,1,D.|y|=-

IxIxIxIx

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的定義即可判斷.

解：結(jié)合反比例函數(shù)的圖象可得：第一象限所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式為：y,；第四象限所對(duì)應(yīng)

的關(guān)系式為：y=—,

X

.,.y與X的關(guān)系式為：Iy|

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的定義，解題關(guān)鍵是熟悉反比例函數(shù)

的圖象.

7.如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是6加時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x是3根，則當(dāng)水面

寬為4〃?時(shí)，水面上升了()

審京加泡式；：產(chǎn)、

3m

6m

A.—mB.\mC.D.—m

33

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為>=以2,進(jìn)而求出解析式，即可

得出水面上升的高度.

解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線解析式為)=以2,

由已知拋物線過(guò)點(diǎn)8(3,-3),則-3=aX32,

解得：a--

拋物線解析式為：>=-小2,

當(dāng)x=2,則y=-￡?22,

4

貝I」尸-萬(wàn)，

□

45

...水面上升了:-W-(-3)==(〃?).

33

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系得出拋物線解析式

是解題關(guān)鍵.

8.我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在公元263年撰寫的《九章算術(shù)》中提出了一種估計(jì)n的方法,

也就是“割圓術(shù)”：用圓內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)估計(jì)圓的周長(zhǎng)進(jìn)而估計(jì)TT的近似值，且〃

越大時(shí)圓內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，估計(jì)值越接近7T.當(dāng)〃=1時(shí)，如圖，

A.3B.3.1C.3.14D.3.141

【分析】連接OC、0D,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到NCOZ)=60°,得到△C。。是等邊三

角形，得到OC=C￡>,根據(jù)題意計(jì)算即可.

解：連接OC、0D,

'：六邊形ABCDEF是正六邊形，

二/。0。=60°,

又OC=OD,

.?.△CO。是等邊三角形，

...OC=CD,

正六邊形的周長(zhǎng)：圓的直徑=6C￡>：28=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

9.“深究而悉討，慎思而明辨”，育才學(xué)子愛(ài)鉆研：如圖，將直角三角板豎直立于水平桌

面上，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿A-B-C路徑在三角板邊緣勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C處停止.已

知NA=30°,ZC=90°,記點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離平方為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,則能準(zhǔn)確反

映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象為（）

【分析】分別討論“在AB和在BC上時(shí)M到點(diǎn)C的距離平方為y關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x的

增大而變化的情況即可判斷.

解：當(dāng)M在AB上時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x的增大先變小再變大，

當(dāng)M在8C上時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x的增大而變小，

Vy等于點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離平方，

是關(guān)于x的二次函數(shù)，圖象為拋物線的一部分，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息

廣泛，通過(guò)看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，還可以提高分析問(wèn)題、解

決問(wèn)題的能力.

10.如圖，在正方形ABC。中，AB=4,延長(zhǎng)54至使A歷=1,連結(jié)。點(diǎn)E、尸分

別在邊A。、CQ上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且AE=OF,連結(jié)BE、CE,分別交A尸于點(diǎn)

H、G,連結(jié)EF,以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①E/Y4；

②AE2=EH?EB；

③BG_LEF；

④連結(jié)HD,則HD可能平分NEHF；

⑤點(diǎn)H到直線DM最小距離為?/豆一￡

【分析】①正確.首先證明OE+D/=4,再利用三邊關(guān)系證明；

②正確.利用相似三角形的性質(zhì)證明即可；

③正確.根據(jù)三角形的三條高交于一點(diǎn)證明即可；

④正確.利用四點(diǎn)共圓，當(dāng)。E=O尸時(shí)，滿足條件；

⑤正確.設(shè)AB的中點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)J.利用相似三角形的性質(zhì)求出OJ

=衛(wèi)氏,由乙448=90°,推出點(diǎn)〃在AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)點(diǎn)，落在OJ

17

上時(shí)，點(diǎn)H到。M的距離最小.

解：如圖，'：AE=DF,

：.DE+DF=DE+AE=AD=4,

；EFVDE+DF,

：.EF<4,故①正確.

?.?四邊形A8C。是正方形，

：.AB=AD,ZBAE=ZADF=ZBAD=9Q°,

?：AE=DF,

：.^BAE^/\ADF(SAS),

/.NABE=NDAF,

'：ZDAF+ZBAH=90°,

ZABE+ZBAH=90°,

...NAHB=90°,BPBELAF,

：.ZAHE^ZEAB^90°,

NAEH=ZBEA,

:.XEAHSXEBA,

.AE=EH

??麗―記

：.EA2=EH'EB,故②正確.

連接B尸交EC于點(diǎn)K,同法可證8尸J_CE,

?:EK,F//都是△BEF的高，

：.BGLEF,故③正確.

連接。H.

■:NEHF=NEDF=90°,

：.D,E,H,F四點(diǎn)共圓，

.?.當(dāng)/時(shí)，NDHF=NDHE=45°,故④正確.

設(shè)AB的中點(diǎn)為0,過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)J.

"：AM=1,A0=4,ZDAM=90°,

DM^VAM2+AD2=V12+42=,

\'OA=OB=2,

：.0M=3,

VZM=ZM,N0JM=NDAM,

:.△0JMS/\DAM,

.OJ=OM

"ADDM'

4V17

：.O-應(yīng)亙,

17

VZAHB=90°,

???點(diǎn)”在AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)”落在0J上時(shí)，點(diǎn)”到DM的距離最小，最小距離=型叵-2,故⑤正確,

17

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，三角形的三條高交于一點(diǎn)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案填在題中的橫線上）

計(jì)算：3tan30°-2021°-（除）一」7.

【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，然后再計(jì)算.

解：原式=3X

3

=?-1-V3

=-1,

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，理解零指數(shù)事，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，熟記特

殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

12.若代數(shù)式4五一A7有意義，則X的取值范圍是.

x-2

【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不等于0即可得出答案.

解：Vx+l>0,x-2^0,

.?.X》-1且xW2.

故答案為：-I且xW2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)

方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不等于0是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，一個(gè)圓將平面分成2部分，兩個(gè)圓將平面最多分成4個(gè)部分，三個(gè)圓將平面最多

分成8個(gè)部分，則四個(gè)圓將平面最多分成14個(gè)部分,五個(gè)圓將平面最多分成22

個(gè)部分.

【分析】一個(gè)圓把平面分成圓里和圓外兩部分，兩個(gè)圓有1個(gè)交匯部分，lX2+2=4部

分；三個(gè)圓兩兩相交且不重合交點(diǎn)，有1+2=3個(gè)交匯部分，把平面分成3X2+2=8部分;

四個(gè)圓兩兩相交，且不重合交點(diǎn)，有1+2+3=6個(gè)交匯部分，把平面分成6X2+2=14部

分；…〃個(gè)圓兩兩相交且不重合交點(diǎn)，有1+2+3+4+-+(?-1)個(gè)交匯部分,

把平面分成［(n-1)X〃+2］部分；因此得解.

解：在同一個(gè)平面內(nèi)，1個(gè)圓把平面分成0X1+2=2,

2個(gè)圓把平面最多分成1X2+2=4個(gè)部分，

3個(gè)圓把平面最多分成2X3+2=8個(gè)部分，

4個(gè)圓把平面最多分成3X4+2=14個(gè)部分，

那么〃個(gè)圓把平面最多分成［(〃-1)X〃+2］個(gè)部分.

；.5個(gè)圓最多把平面分成：(57)X5+2=22.

故答案為：14；22.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，總結(jié)出正

確的規(guī)律.

14.如圖，已知點(diǎn)4、B、C、。在圓0上，正益，NC4D=35°,NACD=60°,則/

AOB=100°

D

C

o

【分析】先求出NAD8的度數(shù)，在根據(jù)圓周角定理即可求出NA08的度數(shù).

解：7CB=CD^NCAQ=35°,

：.ZCDB=ZCAD=35°,

VZCAD=35°,ZACD=60°,

AZADC=S5°,

：.ZADB=ZADC-ZCDB=50°,

AZAOB=2X50°=100°.

故答案為：100°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都

等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

'x-2(x-1

15.關(guān)于犬的不等式組工丁恰有三個(gè)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為

4xT》x+2a

1.

【分析】表示出不等式組的解集，由整數(shù)解共有3個(gè)，確定出。的范圍即可.

(x<4

解：不等式組整理得：\2a+l，

故組』xV4,

3

:不等式組整數(shù)解有3個(gè)，即1,2,3,

...0〈紅?W1.

3

--<<2^1,

2

二整數(shù)〃為1,0,其和為1+0=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的

關(guān)鍵.

16.如圖，已知△4BC的面積為2,點(diǎn)。、E分別在邊A2、AC上，滿足祟A(yù)E=EC,

BD3

則AA。廠的面積為二.

一14一

【分析】根據(jù)△ABC的面積為2,黑q,得至IJS?CD=、XSMBC=/，由于AE=EC,

得至!]SAABE="^"SAABC=1，設(shè)S^ADF-XtS^AEF—S^CEF—yy貝[IS&BDF=3X,歹！J方程組即

可得到結(jié)論.

解：???△ABC的面積為2,里=!，

\"AE=EC,

設(shè)&從。尸=羽S&AEF=SdCEF=y，則S^BOF=3x,

"4x+y=l

1>

x+2y=5

.??△ACF的面積為W_,

14

故答案為：名.

14

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，熟練掌握三角形的高相等，面積的比等于底的比是

解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y*的圖象交于A、8兩點(diǎn),

X

M是以C(-2,2)為圓心以1為半徑的圓上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AM,若線段AM的中點(diǎn)N到

原點(diǎn)。的距離最小值是1,則實(shí)數(shù)上的值為高.

一2一

【分析】先求得A、2的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)"為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)。為A5的中點(diǎn)，則0汽為4

M4B的中位線，求出BM的最小值，從而求得8c=3,利用勾股定理得到關(guān)于左的方程,

解方程即可求得k的值.

解：..?一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=K的圖象交于A、8兩點(diǎn)，

X

(五，瓜),B(-瓜,-瓜)，

?.?點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)0為A8的中點(diǎn)，

ON為△ABM的中位線，

ON=LMB=1,

2

:.MB=2,

當(dāng)8M的延長(zhǎng)線過(guò)圓心C時(shí)，MB最小為2,

此時(shí)BC=3,即Y-2)2+(+2產(chǎn)=3,

整理得2k+8=9,

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的

特征，三角形中位線定理等知識(shí)，將。N的最小值轉(zhuǎn)化為求BC的最小值是解題的關(guān)鍵.

18.若函數(shù)y=*-1］的圖象與一次函數(shù)y=k(x-2)的圖象恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)k的取值范圍是Q4+2E或k＜：E-4.

【分析】首先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后結(jié)合圖象得到Z的取值范圍.

解：一次函數(shù)y=%(x-2)的圖象與函數(shù)y=|d-i|的圖象如圖，

令火(x-2)=-『+1,

整理得#+日-2/-1=0,

當(dāng)直線y—k(x-2)與函數(shù)y=-x2+l有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則△=N-4(-2Z:-1)=0,

解得k—-4±2我，

當(dāng)直線y=k(x-2)與函數(shù)丫=7-1有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則△—k1-4(2k-1)=0,

解得4=4±2禽，

觀察圖象可知，滿足條件的后的值為：無(wú)＞4+2退或無(wú)＜2?-4.

故答案為：4＞4+2百或A＜2百-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的判別式等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題(共8小題，共66分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

19.(6分)先化簡(jiǎn)再求值：(與上紅-3)+與"，其中x=sin45°+1.

x*+2x+lx+1x'-l

【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出X,

代入計(jì)算即可.

2x(工+1)6(x+1)(x-1)

解:原式=「

(x+1)2x+1x-3

_/2x6、.(x+1)(x-1)

x+1x+1x-3

2(x-3)一(x+1)(x-1)

x+1x-3

=2x-2,

當(dāng)》=$m45°+I=^^~+1時(shí)，原式=J，+2-2=J，.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則、熟記特殊角的三角

函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

20.(4分)己知：如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn),西邊形A8DE是平行四

邊形.

求證：四邊形4DCE是矩形.

【分析】先證四邊形ADCE是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得AOLBC,則NAOC

=90。，即可得出結(jié)論.

【解答】證明：；四邊形A8QE是平行四邊形，

J.AE//BC,AE^BD,

為BC中點(diǎn)，

：.CD=BD,

：.CD//AE,CD=AE,

四邊形4OCE是平行四邊形，

?：AB=AC,。為BC中點(diǎn)，

J.ADA.BC,

ZADC=90Q,

???平行四邊形AOCE是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知

識(shí)；熟練掌握矩形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，證出四邊形AQCE為平行四邊形是解題

的關(guān)鍵.

21.（8分）一超市預(yù)測(cè)某種品牌瓶裝食品有發(fā)展前途，先用1600元購(gòu)進(jìn)一批這種食品，

上市后供不應(yīng)求，于是又用4800元購(gòu)進(jìn)第二批這種食品.由于第二次購(gòu)買數(shù)量較大，廠

家給出每瓶進(jìn)價(jià)降低2元的優(yōu)惠，結(jié)果第二批所購(gòu)食品的數(shù)量是第一批的4倍.

（1）求第一批食品每瓶進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）已知兩次進(jìn)貨附加費(fèi)由兩部分構(gòu)成：①固定的車費(fèi)50元/次；②搬運(yùn)費(fèi)為10元/百

瓶，其它費(fèi)用忽略不計(jì).若兩次購(gòu)進(jìn)的食品按相同價(jià)格銷售，當(dāng)兩批食品售完后，為實(shí)

現(xiàn)凈利潤(rùn)不少于2400元，那么每瓶的銷售價(jià)格至少是多少元？

【分析】（1）設(shè)第一批食品每瓶進(jìn)價(jià)是x元，則第二批食品每瓶進(jìn)價(jià)是（x-2）元，利

用數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)，結(jié)合第二批所購(gòu)食品的數(shù)量是第一批的4倍，即可得出關(guān)于x的

分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

（2）利用數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)，可分別求出第一、二批購(gòu)進(jìn)食品的數(shù)量，設(shè)每瓶的銷售價(jià)

格為y元，利用凈利潤(rùn)=銷售單價(jià)X銷售數(shù)量-（進(jìn)貨總價(jià)+固定車費(fèi)+搬運(yùn)費(fèi)），結(jié)合

凈利潤(rùn)不少于2400元，即可得出關(guān)于），的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得

出結(jié)論.

解：（1）設(shè)第一批食品每瓶進(jìn)價(jià)是x元，則第二批食品每瓶進(jìn)價(jià)是（x-2）元，

依題意得：駕9=4X&2,

x-2x

解得：x=8,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=8是原方程的解，且符合題意.

答：第一批食品每瓶進(jìn)價(jià)是8元.

（2）第一批購(gòu)進(jìn)瓶裝食品1600+8=200（瓶），

第二批購(gòu)進(jìn)瓶裝食品4800+（8-2）=800（瓶）.

設(shè)每瓶的銷售價(jià)格為y元，

依題意得：（200+800）y-（1600+50+10X200^-100）-（4800+50+10X800-^-100）>

2400,

解得：y29.

答：每瓶的銷售價(jià)格至少是9元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次

不等式.

22.（6分）新冠疫情防控期間，東北育才學(xué)校高中部響應(yīng)教育部“停課不停學(xué)”的號(hào)召，

開(kāi)展線上教學(xué)，經(jīng)過(guò)三個(gè)月的線上授課后，在六月初復(fù)學(xué).為了解學(xué)生線上與線下不同

階段學(xué)習(xí)效果，對(duì)高二學(xué)生進(jìn)行兩次跟蹤標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)試（其中數(shù)學(xué)滿分150分，得分均為

整數(shù)），針對(duì)線上學(xué)習(xí)效果評(píng)估的測(cè)試在復(fù)學(xué)初進(jìn)行；針對(duì)線下學(xué)習(xí)效果評(píng)估的測(cè)試在

復(fù)學(xué)兩個(gè)月后進(jìn)行.隨機(jī)抽取部分學(xué)生把他們兩次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)分組表分別制成頻數(shù)

分布直方圖（圖1）和扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）,根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)選擇一個(gè)角度對(duì)兩次成績(jī)做出簡(jiǎn)要的對(duì)比分析；

（2）在第二次測(cè)試中，分?jǐn)?shù)高于125分的概率至少是40%,至多是70%.

（3）請(qǐng)估計(jì)在第二次測(cè)試中全體高二30（）名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（120分及以上）的人數(shù).

八）/人數(shù)/--------2%

16-----------------------昌/

[I/

10-----------------------------羋F

8二-----二--------用----:?m\

「ABCDEFG工力數(shù)

圖1:第一次圖2：第二次

兩組測(cè)試成績(jī)分組表

組別測(cè)試成績(jī)?yōu)閄

Ax<90

B90?100

C100^x<110

D110^x<120

E120^x<130

1304V140

Gx）140

【分析】（1）根據(jù)兩次成績(jī)的變化可得結(jié)論；

（2）計(jì)算出廠組所占的百分比可得答案；

（3）求出“優(yōu)秀”所占得百分比，再根據(jù)總?cè)藬?shù)可得答案.

解：（1）第二次測(cè)試中，F(xiàn)組和E組的人數(shù)明顯增多；

（2）由扇形統(tǒng)計(jì)圖可得，F(xiàn)組的百分比為1-2%-4%-4%-20%-30%-10%=30%,

...分?jǐn)?shù)高于125分的概率至少是30%+10%=40%,至多是30%+30%+105=70%.

故答案為：40%,30%；

（3）300X（30%+30%+10%）=210（人）,

答：在第二次測(cè)試中全體高二300名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（120分及以上）的人數(shù)有210

人.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布直方圖，掌握頻數(shù)、頻率、總數(shù)之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的前

提.

23.（8分）如圖，由正方形ABC。頂點(diǎn)A作一條直線分別交BO、CD、C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E、F、G,且的外接圓記為。O.

（1）求證：CE與0。相切：

（2）若tanNECF=工，4。=3,求。。的半徑.

3

【分析】（1）連接OC,先證明△4OE絲△CDE,得進(jìn)而證明/G=N

ECF,再由/尸CG=90°證明FG是。。的直徑，點(diǎn)。在尸G上，則0c=。凡所以/

OCF=NOFC,則/OCE=NECF+/OCF=NG+/OFC=90°,即可證明CE與。。相

切；

nFCF11

(2)由2=—=tanNE4O=tanNG=tanNECF=三得。則C尸=4,GC

ADGC33

=3CF=12,即可由勾股定理求出FG的長(zhǎng)，再求出。尸的長(zhǎng)即可.

【解答】（1）證明：如圖，連接。C,

???四邊形A3c。是正方形,

：.AD=AB=CD=CBfZBAD=ZADC=ZBCD=90°,

AZADB=ZABD=^5°,ZCDB=ZCBD=45°,

AZADE=ZCDE=135°,

在△ADE和△COE中，

'AD=CD

<NADE=NCDE，

DE=DE

AAAD￡^△CDE(SAS),

：.ZAED=ZCED,

A45°-NAEO=45°-ZCED,

VZG=ZCBD-ZAED=45°-ZAED,/ECF=NCDB-NCED=450-ZCED,

:?/G=/ECF,

VZFCG=90°,

???bG是。。的直徑，點(diǎn)。在/G上，

：.OC=OF,

：.ZOCF=ZOFC9

：?/OCE=NECF+NOCF=NG+NOFC=90°,

???CE經(jīng)過(guò)。0的半徑。。的外端，且CELOC,

???CE與。0相切.

(2)解：由(1)得/G=NECF,

\UAD//GC,AD=CD=3,

AZADF=ZGCF=90°,/FAD=/G,

DFCF1

/.----=-----=tanZFAD=tanZG=tanZECF=—,

ADGC3

：.DF=—AD=—X3=\

33t

???CF=DF+CD=1+3=4,

???GC=3CF=3X4=12,

AFG=^CF24<JC2=^42+122=4710,

?，?OF=-^FG=*X4^/^0=,

.??。。的半徑長(zhǎng)為20i.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓的切線的判定、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等

腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、銳角三角函數(shù)、

勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，一次函數(shù)y=-x+6與正比例函數(shù)y=2x的圖象和無(wú)軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)8作直線/〃)，軸，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線/從點(diǎn)B的位置出發(fā)，以相

同速度沿x軸負(fù)方向向左平移，在平移過(guò)程中直線/交x軸于點(diǎn)上交線段BA或者線段

A。于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)尸和直線/都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

①當(dāng)點(diǎn)在線段