2022年高考數(shù)學總復習高中數(shù)列常見的類型和解題思維

巧破數(shù)列迷陣

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即它是定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當n從小到大取

值時，所對應的一系列函數(shù)值，就是數(shù)列。

如一個數(shù)列中某項是最大的，它滿足｛:常：；，同樣的，如果某項是最小的，則｛::魯:：

通項公式：

用來表示序數(shù)和每一項的關系的式子(an=f(n))

題中會給到S0和通項an,a.的遞推式，常見的有以下經(jīng)典類型

20與50的關系對群才(?)

(一定要檢驗首項許=鳥是否符合通式，符合的話合并寫，不符合的話分

n=1和n>2來表述)

an+i=an+f(n的形式，如果f(n堤個方便求和的關于n的式子。則可以用累差法

an+i-an=f(n)

a

n-an.1=f(n-l)

......左邊的加在一起，右邊的也加在一起，通項公式就出來了，一定要

a2-a.=f(U

a'=a'檢驗首項是否符合通式，符合的話合并寫，不符合的話分

11=1和門22來表述

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an+1=f(n)a,t,其中f(n層個方便求積的成分。我們用累乘法求通項

-----—=f(n)?f(n-1)*f(n-2)......f(l),得到a。的通式。

anan-<ai

例：在數(shù)用向一an=p(an-a”])n>2

5.芻.阻=吐1?“_?t1…….2,進而得到a”的通式。

anan-ia!nn-1n-21

R鼬懶順嬲

型，其中p,q為常數(shù)。我們通過待定系數(shù)法，'二匚：：：：構造

b由《麻卿懈酈時捌

a?i=pan+q

,設

借助輔助數(shù)列求得,的通項，根據(jù)明和aM換算關系得到an

也可以兩邊同時除以P"'得到舒T+焉，令bn=*則1也=占，用累差法做。

rrrrr

也可以類”斕”推，…心融贏轡蝌

刀一i[------、，貝以看出是一個以~十

Gld1-a3?=a“+>1IJFt>n

設4r1+1r-fMLrP汨公比叱等比我歹u

1bn=an+1-an,bn是一個首項為az-a1，公比為p的等比數(shù)列

[I['I1第2頁共10頁

對于h+：=pan+q”型的，兩邊同時除以q"+，,變成

據(jù)=工41+，，止匕時設bn='，則又化歸成

qlqJqq?

問題，按照上邊的方法進行計算，就得到結果也可以用待定系數(shù)法，思路

是如果強行使得

-舸斕趟鼬儒順地》畿樨?

遞推式為an+2=pan+i+qa”的

第3a.+|=pan+q

它:是美于a—】不口3口白勺迂推式;

a?+2=（?+A,+1-?A^只需令也駕，解得必仇于是得鄴向-儂力是以，為公比的等比數(shù)列。

求得這個新數(shù)列的通項,

已知國的關于n的表達式時,|an與二的關系為｛貯之［；（心2）

用含S”和通項a”，a.的遞推式的表達式去推通項公式的時候，一定要檢驗

a1是否符合這個通式，如果符合，并入通項公式，不符合，單獨列出來。如由Sn表達式推出的

1,4,8,16,........的通項公式為=｛墨?2），首項就不符合2”，單獨列出來。

n

例1：5n=10-l

nl

a1=9,當nN2時，an=9xlO,檢驗當n=l時，等于9,我們發(fā)現(xiàn)a1剛好也符合這個通式,

則a”通項我們有理由寫他?1On-'

例2：S（n）='+1

Hj==2

當n=l時，

nN2時，an=Sb染|=2n-l,檢驗發(fā)現(xiàn)=2不符全n-1,所以我們將a”的通項表示為（an｝=｛溜%

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Sn=?圖，求a”

(1)例：求an的通項公式。

①Sn是數(shù)列｛22al,的前n項和，Sn=9-6n,

②an中小=1，當nN2時，其前n項和為Sn,滿足S；=a(s“-g)

解：①當n=l時，a|=$=3,當n?2時，an=SnY?W，31檢驗是否也同樣符

合這個急式，經(jīng)檢驗，不符合這個通式，故本題的an分兩種情況寫。

解②n22時，a0=S”-Sn4,我們給an來個巧妙地代換,得至|J25n5n,=Sn-Sn,=￡一==2,

令bn=￡,則bn是一個以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，據(jù)此我們得到bn的通項,

進而得到Sn,接下來就是熟悉的故事了。

兩種常見數(shù)列

等差數(shù)列:從第二項起，后項與前項之差為定值d的數(shù)列，d>0則數(shù)列遞增，反之遞減。

另外，等差中項也是判斷等差數(shù)列的一個依據(jù)。即2a"%4+2旬(北2)

nx中項「中項就是n為奇數(shù)時的中間數(shù)和1為偶數(shù)時的中間兩項的

2平均數(shù)7

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（Sn的前兩個表達式的形式為一個沒有常數(shù)項的二次函數(shù)，可以作為等差數(shù)列的一個

判斷方法。有時還可以結合二次函數(shù)的性態(tài)研究Sn單調性，最值，零點等）

特點：①把等差數(shù)列每隔相同的t項抽出來按相同的順序排列，構成的新數(shù)列仍然是

等差數(shù)列，公差是（t+1）d,剩下的則不確定是什么數(shù)列。

②若a”和b”是等差數(shù)列，則｛皿“+處力乃然是等差數(shù)列。

③若m+n=p+q,則

am+an=ap+aq,同一個數(shù)列中的項。即序數(shù)的和相等的兩部分數(shù)列和是相等的

例：an滿足a.i=2a_-aMn22）,a,=1,a2=3,求通項。

解：可以用等差數(shù)列定義，把右邊an移到左邊一個,；也可以用等差中項判定，把

a0」移到左邊。得到a”是個等差數(shù)列。接下來就不說了。。

等比數(shù)列：從第二項起，后項與前項之比為定值q的數(shù)列，q不為0.

數(shù)列求和方法匯總

公式法：能直接用等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的以及正整數(shù)平方和，立方和公式等

求和的方法。

等差數(shù)列：對于a”=aa（n-l）d,S”=*+嗎也=gd2n2=以節(jié)端（形式為一

個沒有常數(shù)項的二次函數(shù)，不過由于n的取值，這些點是間斷的）

等比數(shù)列：對an于=a4」，Sn=Wf*,如果我們令言=c,S"c-cqn

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請注意應用常見數(shù)列的求和公式：

①正整數(shù)前n項和公式：1+2+3+.....+nJ(；+l)

②正整數(shù)平方構成的數(shù)列｛r?｝的前n項和公式：/+22+32…+n2=(2n+lXn+l)n

6

裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消，剩下首尾若干項。

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常見的裂項公式

注意，以上的公式里的任何一個字母的含義是一個位置，公式傳達的是一種變換機制，即它描述了

它把一個量進行如何的加工的過程。字母位置E那里也可以是f(n),比如說，以2n替換n,式子依舊成立

分組轉化法：

把原數(shù)列中的每一項拆成兩項或多項。使其分解為幾個等差，等比數(shù)列，再求解。

例：an=-------------，求和就分成一個等比數(shù)列和等差數(shù)列。

并項求和法：

一個‘小"\數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和。

形如可采用并項求和，

222222

例如100-99+98-97+……+2-I=(100+99)+(98+97)+----+(2+1)=5050Sn=

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錯位相減法:

遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的形式，考慮錯位相減法。

例1：an=*2,求前n項和Sn

我們選擇錯位相減法。

23

Sn=lx2'+2x2+3x2……+n?2”①

1X22+2X23+3X24......H-n*2n+1

2Sn=②

23

①-②得到2'+2+2....2"-n.2--Sn=

n+l

Sn=（n-l）.2+2

例2：*=n?a|+（n-l）?a2..…+2an.1+an?已知7]=1,n=4

⑴求a”的通項。⑵求7；的通項。

解：an是等比數(shù)列，已知1=1，4=4,oa|=l,q=2,故a"2\

求Tn的通項時，我們發(fā)現(xiàn)，Tn是一個差比數(shù)列前n項和的造型。求它的通項我們可以

借助錯位相減法，得到結果。

a+a+a+a1

另外，（2）還可以用累差法做。^-^=>23n=2'-l,這個差是便于求和的。

7；=7]+（m）+Z—琪????+（￡—&）=1+（22-1）+（23-1）+..…（2n-l）接下來,進行分組求和即可。

推廣：我們知道差比數(shù)列求和用到錯位相減法，我們又知道差比數(shù)列是一定能寫成

（a?n+附后的,我們對這個結構使用錯位相減操作是一定能得到一個（A?n+8W+°結構

.a?b-A_c

的東西的，這里的A=QB=C=-B>這樣差比數(shù)列求和就變得傻