《二項式系數(shù)的性質》示范公開課教學設計【高中數(shù)學人教A版】

環(huán)節(jié)二《二項式系數(shù)的性質》教學設計教學目標教學目標1．掌握二項式系數(shù)的有關性質．2．應用性質解決簡單問題，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)．教學重難點教學重難點重點：掌握二項式系數(shù)的有關性質．難點：運用二項式性質解決問題．課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程（一）溫故知新【問題1】二項式系數(shù)是什么？二項展開式的通項是什么？【答案】二項式定理：，二項展開式：公式等號右邊的多項式叫做的二項展開式．二項式系數(shù)：二項展開式各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．二項展開式的通項：展開式的第項，用表示．【問題2】組合數(shù)的性質有哪些？【答案】性質1：；性質2：．設計意圖：檢測學生前節(jié)課的學習效果，也為本節(jié)課的順利開展做必要準備．(二)探究新知【問題3】根據(jù)二項式定理，利用工具計算的展開式的二項式系數(shù)，并填入下表．通過計算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？的展開式的二項式系數(shù)123456【答案】通過觀察發(fā)現(xiàn)每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)都是1．的展開式的二項式系數(shù)11121213133141464151510105161615201561【追問】為了方便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把上表寫成如下形式：觀察這些數(shù)，你還能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？【答案】同一行中，與兩端1等距離的兩個二項式系數(shù)相等．對于給定的n來說，其二項式系數(shù)滿足中間大、兩邊小的特點；利用二項式系數(shù)的對稱性可知，二項式系數(shù)先逐漸變大，再逐漸變?。O計意圖：通過設計這個探究活動，學生可以從二項式系數(shù)表中獲得二項式系數(shù)相關性質的直觀感受．【問題4】對于展開式的二項式系數(shù)，我們能否從函數(shù)的角度來分析它們呢？那么函數(shù)的定義域和值域又是什么呢？【答案】從函數(shù)角度看，可看成是以為自變量的函數(shù)．其定義域是，值域是．【追問1】當，你能畫出函數(shù)（）的圖像嗎？【答案】當，函數(shù)（）的圖像是7個離散點，如圖．【追問2】分別畫出當,9時，函數(shù)的圖像，比較它們的異同，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】當,9時，函數(shù)的圖像如圖所示．對比分析,9時，函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：（1）對稱性：首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等；直線是圖像的對稱軸，它將函數(shù)的圖像分成對稱的兩部分．（2）增減性：當，隨k的增加而增大；當，隨k的增加而減?。?）最大值：當n是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；當n是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)與相等，且同時取得最大值．【追問3】你能證明二項式系數(shù)性質的對稱性與增減性么？【答案】（1）從n個不同的元素中取出m個元素有種情況，等價于從n個不同的元素中取出n－m個元素有種情況，所以．因此與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等．（2）由于，，所以．若，即，則．當時，隨r的增加而增大；當時，隨r的增加而減?。O計意圖：通過利用函數(shù)思想的研究分析，使學生更加深刻地理解本節(jié)課的學習重點，即二項式系數(shù)的性質．【問題5】在的二項展開式中，如果令，你能得到哪些等式？【答案】因為，令，則有．這就是說，二項展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n．【追問】的二項展開式中，如果令，，你能得到哪些等式？【答案】因為，令，，則有，因此．因為，所以．這就是說，的二項展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，并且都等于．設計意圖：通過師生共同探索，學生再次發(fā)現(xiàn)了二項式系數(shù)的和的性質，并加深了對賦值法的理解.（三）知識應用【例1】已知的展開式所有的二項式系數(shù)之和為1024．（1）求展開式中含的項；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項．【解析】依題意知，因此．（1）從而可知展開式的通項公式為，要使此項含，必須有，從而有，因此含的項為．（2）因為是偶數(shù)，所以二項式系數(shù)最大項為第6項．由于展開式的通項公式為，所以二項式系數(shù)最大項為：．設計意圖：通過例題，學生再次加深了二項式系數(shù)的性質的理解，并進一步加深了對二項式定理的理解．【例2】已知，求滿足下列條件的值．（1）求；（2）求所有項的系數(shù)和；（3）求所有奇數(shù)項的系數(shù)和；（4）求所有偶數(shù)項的系數(shù)和．【解析】由題意知（1）令，可得出常數(shù)項；（2）令，可得出所有項的系數(shù)和．（3）令，可得出．①②由①－②得：．（4）由①－②得：．設計意圖：通過例題，學生再次加深了二項式系數(shù)的性質的理解，并進一步加深了對賦值法的理解．（四）歸納小結【問題6】回顧本節(jié)課所學內容，回答下列問題：（