【單元測(cè)試】常見的分布模型

第=page1414頁，共=sectionpages1515頁第=page1515頁，共=sectionpages1515頁常見的分布模型——單元測(cè)試一、單選題（本大題共8小題）設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X=1)-PA.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8一袋中有5個(gè)白球、3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X=12)等(

A.C1210(38)10(5有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則P(X<2)等于(A.715 B.815 C.1315設(shè)隨機(jī)變量ξ∽B(2,p)，η∽B(4,p)，若P(ξA.1127 B3281. C.6581 如表所示是采取一項(xiàng)單獨(dú)防疫措施感染COVID-19單獨(dú)防疫措施戴口罩勤洗手接種COVID-感染COVID-p1p一次核酸檢測(cè)的準(zhǔn)確率為1-10p.某家有3人，他們每個(gè)人只戴口罩，沒有做到勤洗手也沒有接種COVD-19疫苗，感染COVID-19的概率都為0.01.這3人不同的核酸檢測(cè)結(jié)果，以及其中任何一個(gè)人的不同次核酸檢測(cè)結(jié)果都是互相獨(dú)立的.他們3人都落實(shí)了表中的三項(xiàng)防疫措施，而且共做了10次核酸檢測(cè).以這家人的每個(gè)人每次核酸檢測(cè)被確診感染COVID-19的概率為依據(jù)，這10次核酸檢測(cè)中，有A.1.98×10-6 B.1.98×10-7有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有1個(gè)紅球，乙盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出n1≤n≤6,n∈N*個(gè)球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為ξ個(gè)，則隨著A.E(ξ)增加，D(ξ)增加 B.E(ξ)增加，D(ξ)減小在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率等于C74C8A.P(X=2) B.P(6≤X≤7)在體育選修課排球模塊基本功(發(fā)球)測(cè)試中，計(jì)分規(guī)則如下(滿分為10分)：①每人可發(fā)球7次，每成功一次記1分；②若連續(xù)兩次發(fā)球成功加0.5分，連續(xù)三次發(fā)球成功加1分，連續(xù)四次發(fā)球成功加1.5分，以此類推，…，連續(xù)七次發(fā)球成功加3分．假設(shè)某同學(xué)每次發(fā)球成功的概率為23，且各次發(fā)球之間相互獨(dú)立，則該同學(xué)在測(cè)試中恰好得5分的概率是(

)A.2635 B.2535二、多選題（本大題共4小題）“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”，這是我們常說的口頭禪，主要是說集體智慧的強(qiáng)大，假設(shè)李某智商較高，他獨(dú)自一人解決項(xiàng)目M的概率為P1=0.3；同時(shí)，有n個(gè)水平相同的人也在研究項(xiàng)目M，他們各自獨(dú)立地解決項(xiàng)目M的概率都是0.1.現(xiàn)在李某單獨(dú)研究項(xiàng)目M，且這n個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)也同時(shí)研究項(xiàng)目M，設(shè)這個(gè)n人團(tuán)隊(duì)解決項(xiàng)目M的概率為P2，若P2≥P1，則A.3 B.4 C.5 D.6拋擲一枚硬幣三次，若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”、“三個(gè)反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分別為P1,P2,PA.P1=P2=P3=P中華人民共和國第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年9月在陜西省舉辦.為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會(huì)志愿者隊(duì)伍，向全國人民奉獻(xiàn)一場精彩圓滿的體育盛會(huì)，第十四屆全國運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長.下列說法正確的有(????)A.設(shè)事件A：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則P(A)=67

B.設(shè)事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，則P(B|A)=217下列說法正確的是(

)A.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=1)=2P(X=0)，則P(X=0)=13

B.若隨機(jī)變量X?B4,?1三、填空題（本大題共4小題）已知某省2020年高考理科數(shù)學(xué)平均分X近似服從正態(tài)分布N(89,100)，則P(79<X≤109)=

.(附：P已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，若E(X)=30遺愛湖國家濕地公園是黃岡市城市亮麗的名片.2021年元月份以來，來黃岡參觀游覽的游客絡(luò)繹不絕，現(xiàn)通過對(duì)參觀遺愛湖的游客問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每位游客選擇繼續(xù)游玩遺愛湖的概率都是13，不游玩遺愛湖的概率都是23，若不游玩遺愛湖記1分，繼續(xù)游玩遺愛湖記2分，記已調(diào)查過的所有游客累計(jì)得分恰為n分的概率為an，則a4=甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在羽毛球場進(jìn)行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為p，乙勝的概率為1-p，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.當(dāng)比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為827.現(xiàn)甲、乙進(jìn)行6局比賽，則甲勝的局?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望為

四、解答題（本大題共6小題）袋中有6個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取2次，每次取1個(gè)球．(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列;(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為Y，求Y的分布列．

為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目．某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進(jìn)行模擬選課，其中A組合：物理、化學(xué)、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學(xué)、地理．根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為35，選擇B組合的概率為15，選擇C組合的概率為(1)求這三位同學(xué)恰好選擇互不相同組合的概率；(2)記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求η的分布列及數(shù)學(xué)期望．

已知甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員人數(shù)分別為20，15，10.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取9人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員中分別抽取多少人？(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，現(xiàn)從這9人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的訪談?wù){(diào)研，若隨機(jī)變量X表示抽取的3人中睡眠充足的成員人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

在含有3件次品的8件產(chǎn)品中，任取3件，求：

(1)取到的次品數(shù)的分布列：(2)至少取到1件次品的概率．

甲、乙兩人做定點(diǎn)投籃游戲，已知甲每次投籃命中率均為p，乙每次投籃命中的概率均為12，甲投籃3次均未命中的概率為127(1)若甲投籃3次，求至少命中2次的概率；(2)若甲、乙各投籃2次，設(shè)兩人命中的總次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

22某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有2n-1個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率均為p，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，否則就需維修．

(1)當(dāng)n=2，p=12時(shí)，若該電子產(chǎn)品由3個(gè)系統(tǒng)G組成，每個(gè)系統(tǒng)的維修所需費(fèi)用為500元，

設(shè)ξ為該電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的總費(fèi)用，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)為提高系統(tǒng)G正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統(tǒng)G可以正常工作，問p滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)題號(hào)答案學(xué)科核心素養(yǎng)水平解析1C數(shù)學(xué)抽象水平一解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，

所以P(X=1)+P(X=0)=1，

又因?yàn)镻(X=1)-P(X=0)=0.2，

把上面兩式相加得，

2P(X=1)=1.2，解得P(X=1)=0.6．

故選C．2D數(shù)學(xué)抽象水平一解：由題意可得，每次取得紅球的概率為，

說明前11次取球中，有9次取得紅球、2次取得白球，且第12次取得紅球，

故PX=12=C119×(3D數(shù)學(xué)抽象水平一解：由題意，知X取0，1，2，X服從超幾何分布，它取每個(gè)值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即P(X=0)=C30C72C102=4A數(shù)學(xué)抽象水平一解：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ~B(2,p),

所以P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=59,

解得p=13,所以η~B(4,13),

則P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)

???????=1-(1-13)4-C45B數(shù)學(xué)抽象水平二解：根據(jù)條件，p=0.01，

一個(gè)人落實(shí)了表中三項(xiàng)防疫措施后，感染COVID-19的概率為145(1-p)p?p100=2.2×10-8

一次核酸檢測(cè)的準(zhǔn)確率為1-10×0.01=0.9，這個(gè)人再進(jìn)行一次核酸檢測(cè)，

可知此人被核酸檢測(cè)確診感染COVID-19的概率為2.2×10-8×0.9=1.98×10-8，

以這家人核酸檢測(cè)確診感染COVID-19的概率為依據(jù)，

這家每個(gè)人

6C數(shù)學(xué)抽象水平二解：依題意，從乙盒子里隨機(jī)取出n個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，即X～H(6,3,n)，

其中Px=k=C3kC3n-kC6n

，其中k∈N，k≤3且k≤n，E(X)=3n6=n2．

故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有n2+1

個(gè)紅球的n+1個(gè)球中取一球，取到紅球個(gè)數(shù)為ξ7D數(shù)學(xué)抽象水平二解：在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，

用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，

則P(X=2)=C72C88C1510，故A錯(cuò)誤；

P(6≤X≤7)=C76C84C8B數(shù)學(xué)抽象水平二解：∵某同學(xué)每次發(fā)球成功的概率為23，

且該同學(xué)在測(cè)試中恰好得5分的情況有兩種：

①有２次連續(xù)2次發(fā)球成功，３次發(fā)球失敗的情況有6種，

∴所求概率為：232×133×232×6=2536，

②有連續(xù)39BCD數(shù)學(xué)抽象水平二解：∵李某智商較高，他獨(dú)自一人解決項(xiàng)目M的概率為P1=0.3，

有n個(gè)水平相同的人也在研究項(xiàng)目M，他們各自獨(dú)立地解決項(xiàng)目M的概率都是0.1，

現(xiàn)在李某單獨(dú)研究項(xiàng)目M，且這n個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)也同時(shí)研究M，

設(shè)這個(gè)n人團(tuán)隊(duì)解決項(xiàng)目M的概率為P2，

則P2=1-0.9n，n∈N*，

∵P210CD數(shù)學(xué)抽象水平一解：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲三次，

根據(jù)題意得，P1=123=18，P2=123=11ABD數(shù)學(xué)抽象水平二解：由題可知所有可能的個(gè)數(shù)為C73=35，

抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者的可能個(gè)數(shù)為C41C32+C42C31=12+18=30，

所以P(A)=3035=67，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：P(AB)=C43C73=435，P(A)=C41C32+C42C31+C43C30C73=3435，

∴P(B|A)=P(AB)P(A)=434=217，故選項(xiàng)12ACD數(shù)學(xué)抽象水平二解：A：設(shè)P(X=0)=x，因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，所以P(X=1)+P(X=0)=1，所以2x+x=1?x=1B：因?yàn)殡S機(jī)變量X～B(4?,?13)C：因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(2?,?σ2)而P(X<4)=0.8，所以P(2<X<4)=0.8-0.5=0.3，因此P(0<X<2)=0.3，故本選項(xiàng)說法正確；D：因?yàn)殡S機(jī)變量X～H(8?,?3?,?5)，所以P(X=2)=C故選：ACD130.8186數(shù)學(xué)抽象水平一解：P(79<X≤109)=P(μ-σ<X≤μ+2σ)=12P(μ-σ<X≤μ+σ)+1141數(shù)學(xué)抽象解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1-p)=20，則p=13，

故答案為：1561數(shù)學(xué)抽象水平一解：已知恰為n分的概率為an，則a4時(shí)恰得了4分，

因?yàn)槿藬?shù)未知，故得4分的情況分別為：2+2，1+1+1+1，或1+2+1，

此時(shí)分別有2，4，3人，

所以a4=(164數(shù)學(xué)抽象水平二解：因?yàn)楸荣惒捎?局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為827，每局比賽甲勝的概率p，所以C32p21-p?p=827，解得p=23，所以每局比賽甲勝的概率為23，乙勝的概率為13.甲、乙進(jìn)行617答案見解析數(shù)學(xué)抽象水平一解：(1)有放回地抽取時(shí)，取到的黑球個(gè)數(shù)X的所有可能取值為0，1，2．∵每次取到黑球的概率均為13，2次取球可以看成2次獨(dú)立∴X～B(2,∴P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C∴X的分布列為X012P441(2)不放回地抽取時(shí)，取到的黑球個(gè)數(shù)Y的所有可能取值為0，1，2，P(Y=0)=CP(Y=1)=CP(Y=2)=C∴Y的分布列為Y012P51118答案見解析數(shù)學(xué)抽象水平二解：設(shè)Ai表示第i位同學(xué)選擇A組合，Bi表示第i位同學(xué)選擇B組合，

Ci表示第i位同學(xué)選擇C組合，i=1,2,3．

由題意知：Ai、Bi、Ci相互獨(dú)立，且PAi=35，PBi=PCi=15．

(1)甲、乙、丙三位同學(xué)恰好選擇互不相同組合共有A33=6種情況，

每種情況的概率相同，

因此甲、乙、丙三位同學(xué)恰好選擇互不相同組合的概率為：

6×PA1B2C3=6×PA1Pη0123P2754368因此Eη=0×19答案見解析數(shù)學(xué)抽象水平二解：(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員人數(shù)之比為20:15:10=4:3:2，

∴應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員中分別抽取的人數(shù)為4x，3x，2x，

∴4x+3x+2x=9，解得x=1，

∴應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員中分別抽取4人，3人，2人．

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，

則P(X=0)=C50C43C93=484=X0123P15105隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×12120答案見解析數(shù)學(xué)抽象水平二解：(1)設(shè)在含有3件次品的8件產(chǎn)品中，任取3件，取到的次品數(shù)為X，

則X服從超幾何分布，

從8件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的概率為：

P(X=k)=C3kC53-kC83,k=0,1,2,3X0123P515151(2)根據(jù)隨機(jī)變